推理与证明单元测试题及答案

A B C 1. 用数学归纳法证明“22111(1)1n n a a a a a a
++-+++
+=≠-”，在验证1n =成立时，等号左边的式子是_________. 2. 由命题“存在x ∈R ，使220x x m ++≤”是假命题，求得m 的取值范围是(,)a +∞，则实数a 的值是
3.空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是P ,A ,B ,C 四点共面的充要条件．在平面中，类似的定理是 ．
4. 设函数)1
2ln()(-++=x a x x f 是奇函数的充要条件a = ． 5. 如图，在每个三角形的顶点处各放置一个数，使位于ABC △的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别成等差数列．若顶点A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为1，则所有顶点上的数之和等于 ．
6．已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：23b ac a -<．
7. 等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x
y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值；
（11）当b=2时，记 22(log 1)()n n b a n N +=+∈
证明：对任意的n N +∈ ，不等式
1212111·······1n n
b b b n b b b +++>+
16.证明：(分析法)因为a b c >>，且0a b c ++=，
所以0a >，0c <，要证明原不等式成立，只需证明23b ac a -<， 即证223b ac a -<，从而只需证明22()3a c ac a +-<， 即()(2)0a c a c -+>，因为0a c ->，20a c a c a a b +=++=->，
所以()(2)0a c a c -+>成立，故原不等式成立．
17.解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数的图像上.所以得n n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2
n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列,所以1r =-,公比为b ,1(1)n n a b b -=-
（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+=
则1212n n b n b n ++=,所以1
21211135721·······2462n n b b b n b b b n
++++=⋅⋅ 下面用数学归纳法证明不等式121211135721 (1246)
2n n b b b n n b b b n ++++=⋅⋅>+成立. ① 当1n =时,左边=32,右边=2,因为322
>,所以不等式成立. ② 假设当n k =时不等式成立,即
121211135721·······12462k k b b b k k b b b k ++++=⋅⋅>+成立.则当1n k =+时,左边=11212111113572123·······246222k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅+ 2223(23)4(1)4(1)111(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)
k k k k k k k k k k k ++++++>+⋅===+++>++++++ 所以当1n k =+时,不等式也成立.
由①、②可得不等式恒成立.。