北京大学留学生入学考试数学模拟试卷

北京大学留学生招生考试数学模拟试卷

姓名 班级 成绩

一. 选择题：（共10题，每题5分，共50分）

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10

1.设{|21,},{|41,}A x x n n Z B x x n n Z ==+∈==±∈，则下列关系式成立的是（ ）

（A ）A B = （B ）A B ? （C ）A B ? （D ）A B φ=

2.设(),()f x g x 都是奇函数，且()()()2F x af x bg x =++，若在(0,)+∞上，()F x 有最大值8，则在(,0)-∞上()F x 有 （ ）

（A ）最小值8- （B ）最大值8- （C ）最小值4- （D ）最小值6-

3.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)= —f(x)，则f(6)的值为（ ）

（A ）—1 （B ）0 （C ）1 （D ）2

4.函数212

log (4)y x x =-的值域是 （ ）

（A ）[2,)-+∞ （B ）R （C ）[0,)+∞ （D ）(0,4]

5.若α是第二象限角，则tan (sin )αα与sin (csc )αα的大小关系是 （ ）

（A ）12y y > （B ）12y y ≥ （C ）12y y < （D ）12y y ≤

6.当,(,)m n m n R ∈满足什么条件时才能使,,a b c 的终点在一条直线上（设,,a b c 有公共始点），其中=c m +a n b （ ）

（A ）1m n +=- （B ）0m n += （C ）1m n -= （D ）1m n +=

7. ABC ?中，三边,,a b c 与面积S 的关系式为2221()4

S a b c =+-，则C =（ ） （A ）30 （B ）45 （C ）60 （D ）90

8.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高是4，体积是16，则这个球的表面积是 （ ）

（A ）16π （B ）20π （C ）24π （D ）32π

9.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有 （ ）

（A ）10种 （B ）20种 （C ）36种 （D ）52种

10.若5(1)ax -的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 （ ）

（A ）2- （B ）22 （C ）34 （D ）2

二. 填空题：（共6题，每题5分，共30分）

11.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于 .

12.直线1y kx =+与椭圆22

15x y m

+=总有公共点，则m 的取值范围是 . 13.ABCD 是长方形，AB=2，BC=1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机 选取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为 .

14.已知,,a b c 成等比，,,a b b c c a +++是等差数列，则等比数列的公比等

于 .

15.函数24cos cos y x x =-的最小正周期是 .

（以下三题选做一题）

16.若||1,||2,===+a b c a b ，且⊥c a ，则向量a 与b 的夹角为 .

17.已知样本99, 100, 101, x, y 的平均数是100，方差是2，则xy= .

18.从圆222210x x y y -+-+=外一点(3,2)P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为 .

三. 解答题：(共5题，每题14分，共70分)

19.已知函数22(),[1,)x x a f x x x

++=∈+∞ （1）当12

a =时，求()f x 的最小值. （2）若对任意[1,)x ∈+∞,()0f x >恒成立.求实数a 的取值范围.

20.甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互之间没有

影响.求：

（1）前三局比赛甲队领先的概率.

（2）本场比赛乙队以3：2取胜的概率.（精确到0.001）

21.已知A 是抛物线24y x =上的一点，F 是它的焦点. O 为坐标原点，联结并延长AF 与抛物线交与B .联结并延长AO 与抛物线的准线交与C .

(1)求证：BC //x 轴

(2)若A 的纵坐标为4，求ABC ?的面积.

22. ABC ?的三个内角为,,A B C ，求当角A 为何值时，cos 2cos 2

B C A ++取得最大值，并求出这个最大值.

23.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1111,3

n n a a S +==，求： （1）234,,a a a 的值及数列{}n a 的通项公式；

（2）2462n a a a a ++++的值.