3.清华大学数学竞赛试题

二、清华大学数学竞赛试题 一、求证：⎰<+-

421π 。

二、求⎰--++-+-+-x

n n t x t x t x 012])!1()(!2)(!11[ dt e nt 对x 的n 阶导函数。（⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1

111n e n e n n x nt n 当时当）

三、J 是所有元素都为1的n 阶矩阵，X 是n 阶矩阵，证明：矩阵方程

X=XJ+JX 仅有零解（即X 是一个n 阶零矩阵）。

四、已知方程组

⎪⎩

⎪⎨⎧++=++++=++++=++c b a bzx ax cz c b a ayz cz by c b a cxy by ax 证明这个方程组的唯一非负解为

（1，1，1）。

五、设函数)(x f 在10≤≤x 上连续、单调减少、且0)(>a f 求证： ⎰⎰⎰⎰≤10

10

21

0102)()()()(dx x f dx x f dx x xf dx x xf 并给予物理解释。

六、A，B，C，D四个动点，开始分别位于一个正方形的四个顶点（图36），然后A点向着B点，B点向着C点，C点向着D点，D点向着A 点，同时以相同的速率运动，求每一点运动的轨迹，并画出这运动轨迹的大致图形。