整体代换思想在三角函数中的应用

整体代换思想在三角函数中的应用

合江中学 赵益玖

【摘要】整体代换思想是高中数学的一种重要思想方法，有意识地用整体代换思想解题是培养学生数学能力的重要途径，有些问题，局部求解难以各个击破，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易。

【关键词】三角函数的化简、求值问题、三角函数的最值问题。

整体代换思想是高中数学的一种重要思想方法，贯穿于中学数学的各个阶段，几乎涵盖了各个章节，应用广泛。整体代换思想运用得当能简洁高效地解决数学问题，有意识地用整体代换思想解题是培养学生数学能力的重要途径，有些问题，局部求解难以各个击破，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易。下面例谈整体代换思想在三角函数中的几个简单应用。

一、 三角函数的化简、求值：

例1已知：函数4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f （b a 、、、βα为非零实

数），且满足6)2006(=f ，则=)2009

(f . 解析：由4)2006cos()2006sin()2006

(++++=βπαπb a f 64cos sin =++=βαb a

2cos sin =+∴

βαb a 4)2009cos()2009sin()2009(++++=∴βπαπb a f

4)cos sin (++-=βαb a

242=+-=

说明：本例运用诱导公式，把βαcos sin b a +作为整体代值，使问题得以巧妙解决。

例2已知：54)cos(-=-βα，54)cos(=+βα，且),2(ππβα∈-，)2,2

3(ππβα∈+，求β2cos 的值. 解析：5

4)cos(,54)cos(=+-=-βαβα 且),2(ππβα∈-，)2,2

3(ππβα∈+ 5

3)sin(,53)sin(-=+=-∴βαβα )]()cos[(2cos βαβαβ--+=∴

)s i n ()s i n ()c o s ()c o s

(βαβαβαβα-++-+= 15

3)53()54(54-=⨯-+-⨯= 说明：本例解决中的关键在于)()(2βαβαβ--+=，把βα+和βα-看作整体，从而将问题转化为两角差的问题。

二、 求三角函数的单调区间：

例3求函数)43sin(2π+

-=x y 的单调递增区间. 解析：)43sin(2)43sin(2ππ--=+

-=x x y 当Z k k x k ∈+≤-≤+,22

34322πππ

ππ 即Z k k x k ∈+≤≤+,32127324ππππ时 函数)43sin(2π

+-=x y 单调递增 说明：本例实质上是求复合函数的单调区间，因而必须先把)43sin(2π+-=x y 化成)43sin(2π-

-=x y 的形式，否则容易产生运算错误。另外求解时应注意三角函

数的周期性。

三、 解方程及不等式： 例4已知：]3

7,3[,cos 3sin )(ππ∈-=x x x x f （1） 求方程2)(=x f 的解；

（2） 解不等式 01)(≥-x f .

解析：（1）2)3sin(2)(=-

=πx x f 即 2

2)3sin(=-π

x 又 ]37,3[ππ∈x ]2,0[3

ππ∈-∴x 43ππ=-∴x 或 4

33ππ=-x 127π=∴x 或12

13π=x （2）由 01)(≥-x f 即 2

1)3sin(≥-πx 又 ]2,0[3

ππ∈-x 6

536πππ≤-≤∴x 6

72ππ≤≤∴x 说明：本例解题的关键在于把)(x f 化成一个三角函数的形式。

四、 求三角函数的最值：

例5已知：函数1cos 22sin sin 2)(-++=x x x x f

求函数)(x f 的最值.

解析：令x x t cos sin += 则)4sin(2π

+=x t ， 且 ]2,2[-∈t

又 x x x x x 2sin 1cos sin 21)cos (sin 2+=+=+

11)cos (sin 2sin 22-=-+=∴t x x x

∴ 原函数化为

222-+=t t y

]2,2[,3)1(2-∈-+=t t

故 当1-=t 时，)(x f 有最小值3-；

当2=t 时，)(x f 有最大值22.

说明：本例巧妙代换x x t cos sin +=，利用x x x 2sin 1)cos (sin 2+=+，从而将已知函数转化为关于t 的二次函数，化难为易。解题时，一定要注意引入的参数t 的取值范围。

【参考文献】：《高中数学教材》、《高中数学新教材优秀教案》、《高中数学同步测控优化设计》、《聚焦课堂》