任意Bethe树上马尔可夫链场的一类局部强极限定理

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GIG1排队系统队长的强大数定律和中心极限定理

GIG1排队系统队长的强大数定律和中心极限定理

GI/G/1排队系统队长的强大数定律和中心极限定理*董海玲(深圳大学数学与计算科学学院,深圳, 518060)摘要:本文首先证明当服务强度小于1时,GI/G/1排队系统的队长是一个特殊的马尔可夫骨架过程——正常返的Doob 骨架过程,然后运用马尔可夫骨架过程的强大数定律和中心极限定理等重要结果,给出了队长的累积过程的期望和方差, 并给出了该累积过程满足强大数定律和中心极限定理的充分条件.关键词:GI/G/1排队系统;队长;马尔可夫骨架过程;强大数定律;中心极限定理Law of Strong Large Numbers and Central Limit Theoremof Queue Length in a GI/G/1 Queueing SystemDong Hailing(School of Mathematics and Computer Science, Shenzhen University, 518060)Abstract First, when service intensity is less than 1, the queue length in a 1GI G // queueing system is proved to be a positive recurrent Doob skeleton process, which is a special case of Markov skeleton processes. Second, the expectation and variance of the cumulative process of the queue length are obtained by using law of strong large numbers, central limit theorem and other important results of Markov skeleton processes. And finally, sufficient conditions for law of strong large numbers and central limit theorem of the accumulated process are given, respectively. Keywords GI/G/1 queueing system; Queue Length; Markov skeleton processes; Law of strong large numbers; Central limit theorem1. 引言近几十年来,随着马尔可夫理论的不断深入和完善,关于排队论的研究得到了很大程度上的丰富和发展,获得了一系列研究成果,代表性文献参见[1]-[6]. 然而,关于 GI/G/1 排队系统,由于其到达时间和服务时间都服从一般的分布,队长过程不再是马尔可夫过程,也无法通过嵌入马尔可夫链的方法来进行研究,因此关于这方面的研究相对较少.侯振挺教授[7]给出了GI/G/1 排队系统队长的瞬时分布,文献[8]给出了队长的极限分布,本文主要研究该队长的累积过程的期望和方差, 大数定律和中心极限定理.2. GI/G/1排队系统本文讨论的1GI G // 排队系统细节如下(参见文献[9]):(i)顾客到达系统的时间间隔是独立同分布的随机变量,其分布函数是()A x .令00τ=, 12ττ,, 为 0τ 之后顾客陆续到达服务台的时刻, 到达时间间隔1m m m t ττ-=-,于是 ()()(12)m A t P t t m =≤=,,.01()xdA x λ∞=⎰. (ii)每个顾客的服务时间为独立同分布的随机变量,其分布函数是()B x ,并且与{}m t m Z ,∈独立. 令 0v 为 0t = 时系统的所有顾客总的剩余服务时间(即系统的剩余工作负荷),(12)i v i =,, 为 0t = 之后第 i 个到达系统的顾客的服务时间.于是()()(12)i B t P v t i =≤=,,,01()xdB x μ∞=⎰. (iii) 有一个服务员, 且按先到先服务规则进行服务. 令λμρρ=, 称为系统的服务强度. 假定 (0)0(0)00A B λμ=,=,<,<∞. 基金项目:国家自然科学基金青年基金资助项目 (11001179)3. 队长的强大数定律和中心极限定理设()L t 表示GI/G/1排队系统在时刻 t 的队长(即时刻 t 在服务台前等待的顾客数与正在被服务的顾客数之和). 令inf{()0}t L t d |=⎧=⎨+∞,,⎩如果上述集合为空 0111inf{()1}0 12n n n t t d L t n γγγγγθγ+|>,=⎧=,=⎨+∞,,⎩=+⋅,=,,如果上述集合为空根据繁忙循环的定义,n γ表示从0开始,第n 个繁忙循环开始的时刻. 令0111i i i Y Y i γγγ+=,=-,≥,, 则i Y 表示第i 个繁忙循环的长度.引理1.[10]如果 1ρ<, 则111[]exp k i k a E Y k λ∞=-=<+∞,∑ (1)其中 ()()0[1()]()k k k a A x dB x ∞-=-⎰. 定理 1. 对于1GI G //排队中的队长()L t , 如果1λμρ=<, ()L t 是正常返的 Doob 骨架过程.证明: (1) 已知n γ表示第n 个繁忙循环开始的时刻,此时,()1n L γ=, 则n γ之后()L t 的取值,仅依赖于n γ时刻()L t 的值,与前面的繁忙周期中 队长的取值完全无关, 即()L t 在1n n γ,≥ 处有马尔可夫性. 于是,()L t 是一个马尔可夫骨架过程,1n n γ,≥ 为其骨架时序列. (2) 对于1n ∀≥, ()1n L γ≡, 即()n L γ服从聚点分布{1}()I x ,根据定义3.1.2[8],()L t 是以{}n γ为更新点的Doob 骨架过程.(3) 如果1λμρ=<, 根据引理3.1,[]i m E Y =<+∞, 于是根据定义3.1.3[8], ()L t 是一个正常返的 Doob 骨架过程.由于()L t 是以 {}n γ 为更新点的 Doob 骨架过程,根据引理3.1.3[8]知i Y , 1i ≥为独立同分布的随机变量序列,设 ()F t 为 1i Y i ,≥ 的分布函数. 令2m m <>,分别表示i Y 的期望和二阶矩.令 1100()()i i i y L s ds y L s ds γγγ+=,=⎰⎰, 1i ≥. 则{1}i y i ,≥表示()L s 在两个更新点之间的累积过程. 由()L s 为正常返的Doob 骨架过程和i Y , 1i ≥为独立同分布的随机变量序列可得, {1}i y i ,≥也为独立同分布的随机变量序列. 令212ασ,分别为i y 的期望和方差, 1122()max max ()012N n n n n t t n n t t t L s ds Z t W t n γγγγγ++≤<≤<∆=,=|∆|,=∆,=,,,⎰,其中t N 表示t 之前更新点的数目.引理2.[6] 设1200T T >,>,为独立同分布的随机变量序列,其共同的分布函数为 ()A x , 期望 A μ<∞.令 1σ≥为一随机变量满足 E σ<∞, 并且对于任意的 n ,1n n T T +,, 与 {}n σ≤独立, 则12C T T T σ=+++ 的分布函数()K x 为非格子分布当且仅当 ()A x 是非格子分布.定理 2. 对于1GI G //中的队长()L t , 如果 1λμρ=<, ()A t 是非格子的, (i) 如果1α<∞,1EV <∞,10()E L s ds γ<∞⎰, 则当t →∞时,有10(())()tE L s ds t o t m α=+⎰ (2)(ii) 如果1α<∞,1EV <∞, 2m <><∞,2α<∞,2()n E W <∞,10()Var L s ds γ<∞⎰,其中2212σσ,分别是i Y 和i y 的方差, 则当t →∞时, 2221210(())(())()t t Var L s ds o t m mασσ=++⎰ (3) 证明: 当()A t 是非格子分布时,根据引理3.2, 1i Y i ,≥的分布函数()F t 也是非格子分布. 如果 1λμρ=<,由定理3.1可知 ()L t 是正常返的Doob 骨架过程.于是,根据定理 3.3.3[8] 可得(2)式和(3)式成立,定理得证.定理 3. (强大数定律) 对于1GI G //中的队长()L t , 如果1λρ=<, ()A t 是非格子的,1α<∞,1EV <∞,10()L s ds γ<∞⎰,则对任意的0ε>,下式几乎必然成立 01()lim t t L s ds t mα→+∞=.⎰ (4)证明: 当()A t 是非格子分布时,根据引理3.2,1i Y i ,≥的分布函数()F t 也是非格子分布. 如果 1λμρ=<,由定理3.1可知 ()L t 是正常返的Doob 骨架过程.于是,根据定理 3.3.2[8] 可得(4)式成立,定理得证.定理 4. (中心极限定理) 对于1GI G //中的队长()L t , 如果1λμρ=<, ()A x 是非格子的, 1α<∞, 1EV <∞, 2m <><∞,10()L s ds γ<∞⎰, 则 1120()lim {}()()t m t t m L s ds t P ααασ→∞-≤=Φ⎰ (5)其中 ()αΦ是一标准正态分布, 12()i i m var y Yασ=-. 证明: 当()A t 是非格子分布时,根据引理3.2,1i Y i ,≥的分布函数()F t 也是非格子分布. 如果 1λμρ=<,由定理3.1可知()L t 是正常返的Doob 骨架过程.于是,根据定理 3.3.4[8]可得(5)式成立,定理得证.参考文献[1] Kendall, G. Some problems in the theory of queues [J]. J. Roy. Statist. Soc. (Series. B), 1951,13,151-185.[2] Kendall, G. Stochastic processes occurring in the theory of queues and their analysis by themethod of imbedded Markov chains [J]. Ann. Math. Statist, 1953, 24,338-354.[3] Kingman, J.F.C. The single server queue in heavy traffic [J]. Proc. Cambridge Phil. Soc, 1961,57,902-904.[4] Kingman, J.F.C. On queues in heavy traffic [J]. J. R. Statist. Soc, 1962, 24,383-392.[5] Assumen, S. Calculation of the steady state waiting time distribution in GI/PH/c andMAP/PH/c Queues [J]. Queueing Systems, 2001, 37, 9-29.[6] Asmussen, S. Applied Probability and Queue (second edition) [M]. New York: Springer, 2003.[7] Hou Zhenting. Markov skeleton processes and application to queueing systems [J]. ActaMathematicae Applicatae Sinica, English Series, 2002, 18(40), 537-552.[8] 董海玲.马尔可夫骨架过程的极限理论[D].长沙:中南大学,2008.[9] Hou Zhengting, Liu Guoxin. Markov skeleton processes and their applications [M]. Beijing:Science Press, and Boston: International Press, 2005.[10] 徐光辉. 随机服务系统[M]. 北京:科学出版社, 1988.。

4.马尔可夫链1

4.马尔可夫链1
而其一步转移概率为
qr p
i 1
p,
pij
r, q,
0,
i i 1
j i 1 j i j i 1 其它
其一步转移概率矩阵为
i 2 i 1 i i 1... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... q r p 0 0 ... 0 ... i 1 ... 0 q r p 0 ... 0 ... i ... 0 0 q r p ... 0 ... i 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ...
(时间离散、状态连续的马尔可夫过程,通常用泛函中 二元函数的范数进行研究)
例1 独立过程 X t,t T 是马尔可夫过程
证 设Xt,t T是独立过程,对于t1 t2 ... tn T,
X t1, X t2 ,..., X tn 相互独立,因此
P X tn xn X t1 x1, X t2 x2,..., X tn1 xn1 =P X tn xn =P X tn xn X tn1 xn1
率r原地不动。若以 X n 表示时刻 n 时质点的位置,
则X n,n 0,1, 2,...是一个随机过程。而且当
X n i 时,X n+1,X n+2,...,X n+k,...等 n时刻后质点所处的状态,只与X n i 有关,而与
质点在n以前是如何到达i的完全无关。所以它是一
个齐次马尔可夫链,其状态空间为I= ,-2,-1,0,1,2,
则称 Xn,nT 为马尔可夫链.
定义4.1 设有随机过程Xn ,n T,若
对于任意的整数n T和任意的 i0,i1,...,in1 I 条件概率满足

马尔可夫链课件

马尔可夫链课件
1的概率向左或向右移动一 3
格,或以
Q现在处于1(或5)这 1的概率留在原处;如果 3
一点上,则下一时刻就以概率1移动到2(或4)这点上,1 和5这两点称为反射壁,这种游动称为带有两个反射壁的
随机游动。以Xn表示时刻n时Q的位置,说明{Xn,n =
0,1,2 …}是一齐次马氏链,并写出它的一步转移概率矩 阵。
二、转移概率
定义3 设 { X n,n 0} 是齐次马尔可夫链,其一步 矩阵的每一行都 转移概率为 pij (i, j S ),记 是一条件分布律
p00 p10 P ( pij ) p 20 pi 0
.
p 01 p 02 p11 p12 p 21 p 22 pi1 pi 2
1 2 3 4 5
三、马氏链的例子
解:它的一步转移概率矩阵为: 0 1 0 0 0
1 3 P 0 0 0
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3
0
1 3 1 3
0 0
0
1
0 0 1 3 0
如果把1这点改为吸收壁,即Q一旦到达1这一点,则永远 留在点1时,此时的转移概率矩阵为:
• 第一节 基本概念 • 第二节 状态的分类及性质 • 第三节 极限性态及平稳分布
• 第四节 Markov链的应用
第一节
基本概念
一、Markov链的定义 二、转移概率 三、Markov链的例子 四、n步转移概率,C-K方程
第一节
基本概念
一、Markov链的定义
马尔可夫性(无后效性 )过程(或系统)在时刻t 所处的状态为已知的条件下,过程在时
1 1 3 P 0 0 0 0
1 3 1 3
0

第4章马尔可夫链1-2

第4章马尔可夫链1-2
假设马尔可夫过程 { X n , n T } 的参数集 T 是离散的 时间集 I 合,即 T {0,1, 2,} ,其相应 X n 可能取值的 全体组成的状态空间 I 是离散的状态集。
定义 1 设有随机过程{ X n , n T } ,若对于任意的整数 n T 和任意的 i0 , i1 , , in1 I ,条件概率满足
转移概率矩阵为
q 0 p 0 P 0 q 0 p
设在第k步转移中向右移了x步,向左移了y步,且 经过k步转移状态从i进入j,则
x y k x y j i
从而
k ( j i) k ( n 和 i , j I ,n 步转移概率 ij 具有下列
性质
( n) ( l ) ( n l ) (1) pij pik pkj ; k I
(2) p
( n) ij

k1I

kn1I
pik1 pk1k2 pkn1 j ;
(3) P ( n ) PP ( n1) ; (4) P ( n ) P n .
第4章 马尔可夫链
定义 2.9 设 X t , t T 为随机过程,若对任意正 整数 n 及 t1 t2 , tn , P X (t1 ) x1 , , X t n1 xn1 0 ,且其 条件分布
P X (tn ) xn | X t1 x1 ,, X t n1 xn1 P X ( t n ) xn | X t n 1 x n 1
定义 2 称条件概率
pij (n) P{ X n1 j | X n i }
为马尔可夫链 { X n , n T } 在时刻 n 的一步转移概率,其 中 i , j I ,简称为转移概率。

关于可列非齐次马尔可夫链的一类强极限定理

关于可列非齐次马尔可夫链的一类强极限定理

关于可列非齐次马尔可夫链的一类
强极限定理
可列非齐次马尔可夫链(nonhomogeneous Markov Chains)是一种应用于研究随机过程的工具,它由一系列由当前状态而决定的随机概率变量构成。

强极限定理是可列非齐次马尔可夫链的一个重要的理论,也称为Borel-Cantelli定理。

该定理旨在证明,即使马尔可夫链的各个状态之间的转移概率不相等,但可以实现极限概率下的平均行为。

具体来说,它声称,如果每个状态的转移概率都大于0,则存在一个转移概率矩阵P,它将最终逼近极限状态ω*,使得每个状态在极限状态ω*中的概率为1.。

第2章 马尔可夫链

第2章 马尔可夫链

Pi,i+1=p, Pi,i-1=q, Pi,i=r, 其余Pi,j=0
(2)带吸收壁的随机游动 设(1)中的随机游动限制在 S={0,1,2, …b},当质点移动到状态0或b后就永远停留在该位 置,即p00=1, pbb=1,其余pij(1≤i,j ≤b-1)同(1),这时 {Xn,n≥0}称为带两个吸收壁0和b的随机游动 ,它是一有限状 态马尔可夫链。
a j i , pij 0,
例2 M/G/1排队系统
j i j i
显然{Yn,n≥1}也是一马尔可夫链。
若以X(t)记在t时刻系统中的顾客数,{X(t),t≥0}则不具马 尔可夫性。
Xn-----第n个顾客走后剩下的顾客数, Yn -----第n+1个顾客接受服务期间来到的顾客数,则
(1)无限制的随机游动 设有一质点在数轴上随机游动, 每隔一单位时间移动一次,每次只能向左或向右移动一单位, 或原地不动。设质点在0时刻的位置为a,向右移动的概率为p, 向左移动的概率为q,原地不动的概率为r(p+q+r=1),且各次 移动相互独立,以Xn表示质点经n次移动后所处的位置,则 {Xn,n≥0}是一马尔可夫链,转移概率为
k 0

P X n k X 0 i P X n m j X n k
k 0 n m pik pkj k 0
P n P P n 1 P P P n 2 P n
例(马尔可夫预测)P82
解 一阶转移矩阵为
0.95 0.30 P 0.20 0.20
初始分布为
0.02 0.60 0.10 0.20
0.02 0.06 0.70 0.10

【2012考研精品资料】考研数学笔记

【2012考研精品资料】考研数学笔记
积化和差公式 倍角公式
U ( x0 , ),使得x U ( x0 , ) ,均有 f(x)≤g(x)≤h(x),则 lim g ( x) A 。
x x0
2.单调收敛原理:单调有界函数必收敛。 3. 柯西收敛准则:函数 f(x)收敛的充要条件是:∀ε>0, ∃>0, ∀x’,x’’∈ 有|f(x’)-f(x’’)|<ε。
n n
第 1 章 极限与连续
1.1 集合、映射、函数 空集,子集,有限集,无限集,可列集,积集,区间,邻域,上界,下界, 上有界集,下有界集,无界集,上确界,下确界 确界存在定理:凡有上(下)界的非空数集必有有限的上(下)确界。 映射,象,原象,定义域,值域,满映射,单映射,双射,函数,自变量, 因变量,基本初等函数 1.2 数列的极限 性质: 1. (唯一性)收敛数列的极限必唯一。 2. (有界性)收敛数列必为有界数列。 3. (子列不变性)若数列收敛于 a,则其任何子列也收敛于 a。 注1. 一个数列有若干子列收敛且收敛于一个数, 仍不能保证原数列收敛。 注2. 若数列{xn}有两个子列{xp},{xq}均收敛于 a,且这两个子列合起来 就是原数列,则原数列也收敛于 a。 注3. 性质 3 提供了证明了某数列发散的方法,即用其逆否命题:若能从 该数列中选出两个具有不同极限的子列,则该数列必发散。 4. (对有限变动的不变性)若数列{xn}收敛于 a,则改变{xn}中的有限项所 得到的新数列仍收敛于 a。 5. (保序性)若 lim x a, lim y b ,且 a<b,则存在 N,当 n>N 时,有 n n
1 f ( x)
f (b) f (a) f ( ) . ba
3.柯西定理:若函数 f(x)和 g(x)满足以下条件;(i)在闭区间[a,b]上连续;(ii)在 开区间(a,b)内可导;(iii) ∀x∈(a,b),g’(x)≠0,则在(a,b)内至少存在一点 ξ,使得

一类隐非齐次马尔可夫模型的强极限定理

一类隐非齐次马尔可夫模型的强极限定理
p’。“”I=1
n・豇
(7)

由引理3与(4),有
lira土∑{^(x。,E)一EEA(x。,yI)I
XH])=0
n^
(8)
注意到 E[^(x。,Y。)l X卜。]= 则(8)可以表示为

N∑一 M∑㈨
^f
^0 D “
,k
X -L
、,
巩 ,、 X 卜



1i巴}∑(^(x。,yI)一∑∑^(』,z)Ⅱ。(x卜-,歹)仇(x卜。;歹,1)1=0 …日I一1

class of hidden
nonhomogeneous Markov models WU Xiao—tai
(Dep.of
Appl.Math.&Phy..Anhui University of Technology and Scicnce.Wuhu 241000,China)
Abstract.A class of hidden Markov models is researched when the Markov chain is nonhomogeneous and the transition matrix from hidden chains
tO
observed chains depends on,1.This hidden Markov model is
not
widely used in studying the speech process,its characteristic is that the observed chain
on
Y,.∈T,f(x,y)为定义在S×T上的实值函数,则
收稿日期:2007—12—17

马尔可夫链-浙江大学数学系

马尔可夫链-浙江大学数学系

a1 0 a0 0
a2 1 a0 a1 a2 a1 1 a0 a1 0 1 a0 a0 1 a0
•21
例7:独立重复地掷骰子,用X n 表示第n次 掷出的点数,令Yn X n 1 X n 2, n 0. ()计算 1 P(Y2 12 | Y0 2, Y1 7), P(Y2 12 | Y1 7) (2)判断{Yn }是否是Markov链?
P{S8 S4 2} 4 p q
P{S8 4 | S1 1, S3 1, S4 2} P{S8 4 | S4 2}
3
•3
Markov性
更一般地:k 1, n0 n1 ... nk 1, 状态i0 , i1 ,...ik 1 , i, j P{S nk 1 j | S n0 i0 ,..., S nk 1 ik 1, S nk i} P{S nk 1 j | S nk i}
•2
解:P{S8 4 | S1 1, S3 1, S 4 2} P{S8 S 4 2 | S1 1, S3 1, S 4 2}
3 4 p q P{S8 S4 2}
P{S8 4 | S 4 2} P{S8 S 4 2 | S 4 2}
则称{ X n;n 0, 1, ...}是马尔可夫链(Markov chain)
•7
P ( X n j | X m i )== pij (m, n) 在m时处于状态i的条件下,到n时转移到 状态j的转移概率 性质 : pij (m, n) 0, pij (m, n) 1
k
i 0 s
j
su suv
t
C K方程可以写成矩阵形式: P s, s u v P s, s u P s u, s u v

第四章 马尔可夫链(讲稿2)

第四章 马尔可夫链(讲稿2)
一、马氏链中的状态性质
1.周期性 定义 对于状态i,若正整数集合 {n : n 1, pii (n) 0} 非空, 则称该集合的最大公约数L为状态i的周期,记作 d (i) 。 若 L 1,则称状态i是周期的,若 L 1 ,则称状态i是非周 期的。如果上述集合为空集,则约定 d (i) 2.常返性 定义 设 {X (n), 为 {X (n),
f ij () P{X m j, 对一切m | X 0 i}
计算公式
f ij (n) P{X n j ; X m j, m 1,2, , n 1 | X 0 i}
i1 j in 1 j
p
ii1
pi1i2 pin1 j
有限状态分解定理
定理(分解定理)状态空间E必可分解为
E N C1 C2 Ck C 其中N是全体非常返态组成的集合, 1 C2 Ck 是互不相交的常返
态闭集组成。而且
(1)对每一确定的k, Ck 内任意两状态相通; (2) Ck 与 Cg ( k g )中的状态之间不相通;
下面求n步转移概率 pij (n) 如在n次转移的结果是从i到j,n次转移中恰好向前游走m次,向后游 走k次,则有
mk n
m 1 k (1) j i
联立上两式求解可得
m n j i 2
k
n ji 2
根据概率法则,不难求得n步转移概率为
pij (n) n n2j i n2j i n j i p q 2 0 n j i为偶数 n j i为奇数
这样 f ij (1)
f ij (2), f ij (n) ,至少有一个为正(不为0),所以

15 马尔可夫链

15 马尔可夫链

7、艾伦费斯特模型

该模型可以用一个模型来说明。设一个 坛中装有c个球,它们或是红色的,或者 黑色的。随机地从坛子中取出一个球, 并换以另一个颜色的球放回坛中。经过n 次摸换,研究坛中的黑球数。
设原来黑球数为i作为状态。经过 一次摸换,坛子中的黑球数可能是 i -1个,也可能是i 1 。 pi ,i -1 i c i , pi ,i 1 c c
P X n j | X m i
i, j 1, 2,L , N
表示已知在时刻 m 系统处于状态 ai , 或说 X m 取值 ai 的条件下,经 ( n-m ) 步转 移到状态 a j 的概率,也可理解为已知在 时刻 m 系统处于状态 i 的条件下,在时刻 n 系统处于状态 j 的条件概率。
p m 1
jS ij
3、转移概率性质-k步
类似地,定义k步转移概率 p
(k ) ij
m P{ X m k (k ) pij m 0;
(1) ij
j | X m i}, i, j S
p m 1
jS (k ) ij
令k 1, p 规定:p

求:P{ X 1 b, X 2 c, X 3 a | X 0 c} P{ X n 2 c | X n b}
3、马尔可夫链-3
设{ X n , n N }是数轴上整数点上的随机 徘徊过程,即X n X 0 Y1 Y2 ... Yn 式中X 0,Y1,相互独立,且 ... Y1 , Y2 ,...具有公 共概率分布P{Yn k} pk , k 0, 1...且
随机游走-转移概率矩阵
p pij q 0 n步转移概率

Bethe树和Cayley树上奇偶马尔可夫链场的强极限定理

Bethe树和Cayley树上奇偶马尔可夫链场的强极限定理
学 科 分 类 号 : O2 16 . 1 .5
§ . 引 1

我们 将 主要 沿用 文献f1 3和『 中的记 号. 于树 , 定一个 顶 点作 为根 顶点( 1、[ 5 1 1 对 选 简
称 根) 并 记之 为0 , .设 丁 树 上 的两 个 顶 点, 是连接0 的唯 一 路径 上 的顶 点, ,是 若丁 和 则
点( 包括根顶点0的子 图. ) 设 是树 的子图, 令XA:{ , ∈ 】 { I . A 表示 中含有的顶点 ;
数.
定义 117 设 是一个具有根 顶点0 .I J 的无 限树 , Ⅳ是正整数.如果第佗 佗 0上 的 层( ) 每 个顶 点均 与第n+ 1 层上 的Ⅳ个 顶 点相邻, 则称 为Ⅳ元C ye树 , 为 .; al y 记 Ⅳ 如果 根顶 点0 与第1 层上 的Ⅳ +1 顶点相邻, 个 而第礼 ( 1上 的每个顶点均 与第n+1 层 n ) 层上 的Ⅳ个
摘 要
本文介绍 JNj Beh 树 , N; ye 树 , 上 的奇偶马尔可夫链场的定义, "  ̄ te Ⅳ(  ̄Ca l y Ⅳ) 并通过构造两
个 非 负 鞅 证 得 了随 机 变 量 序 列 的 强 极 限定 理 , 用 此 强 极 限 定 理 获 得 了奇 偶 马 尔 可 夫 链 场上 的 一 个 强 应
顶点相邻, 则称 为Ⅳ元B te 记为 . . eh 树, Ⅳ
天津商业大学应用数学重点学科( 0 0) x 83、国家 自然科学基金(0 708 、 19 14) 天津商业大学专项基 ̄(3 14 资助 000 Q)
本 文2 0 年 8 4日收 到 , 0 0 6 1 日收 到 修 改 稿 . 0 6 月2 2 1年 月 4
以及

不可约马氏链极限定理__理论说明以及概述

不可约马氏链极限定理__理论说明以及概述

不可约马氏链极限定理理论说明以及概述1. 引言1.1 概述不可约马氏链极限定理是概率论中重要的一部分,它涉及到马尔可夫过程以及极限定理的概念。

马尔可夫过程是一个具有马氏性质的随机过程,它具有时序上的依赖关系,即下一个状态只与当前状态有关,而与之前的状态无关。

不可约性与遍历性质是马尔可夫过程中的两个重要概念。

不可约性指的是任意两个状态之间都存在一条转移路径,这样的马尔可夫链被称为不可约链;而遍历性质表示在不可约马氏链中,从任意一个状态出发可以到达所有其他状态。

极限定理是概率论中研究随机变量序列极限行为的重要工具。

切比雪夫不等式和中心极限定理是两个基本原理。

切比雪夫不等式给出了随机变量集合上个体与均值之间差异的界限;而中心极限定理则揭示了当随机变量满足一些条件时,其样本均值会收敛于正态分布。

文章旨在介绍不可约马氏链极限定理的基本理论原理,并给出其证明和解读。

本文将首先介绍马尔可夫过程的概念及其马氏性质和平稳分布,然后详细讲解不可约性与遍历性质的定义和特点。

接着,我们将阐述切比雪夫不等式及其在极限定理中的应用,以及中心极限定理及其推广形式。

最后,我们将进行不可约马氏链极限定理的证明,并对其结果进行解读。

通过本文的介绍和讲解,读者将对不可约马氏链极限定理有更深入的了解,并能够应用相关原理解决实际问题。

1.2 文章结构本文共分为五个部分:引言、不可约马氏链相关概念、极限定理的基本原理、不可约马氏链极限定理的证明和解读、总结与展望。

接下来我们将依次介绍这些部分内容。

1.3 目的本文旨在提供一个全面而清晰的关于不可约马氏链极限定理的讲解和说明,使读者能够了解该定理在概率论中的重要性以及它背后所涉及的马尔可夫过程和极限定理的基本原理。

同时,通过详细的证明和解读,读者将能够更好地理解不可约马氏链极限定理,并掌握其应用方法。

最后,文章还会对该定理的研究前景进行展望,为读者提供进一步深入探索的方向。

2. 不可约马氏链相关概念:2.1 马尔可夫过程介绍:马尔可夫过程是一种随机过程,具有马尔可夫性质。

关于非齐次隐马尔科夫模型的强极限定理

关于非齐次隐马尔科夫模型的强极限定理

( 11 )
n =1
an
在 A 中 a. s. 收敛 。设
Tn = f3n (Xn - 1 , Xn , Yn ) - E [ f3n (Xn - 1 , Xn , Yn )
Xn -
1
] ,
an
易知 , { Tn , n≥1}是一个鞅差序列 。由于
E [ T2n Fn - 1 ] =
{E[ (f3n (Xn - 1, Xn , Yn ) )2 Fn - 1 ] - E2 [f3n (Xn - 1, Xn , Yn ) Fn - 1 ]} a2n
下面给出两个引理 。
引理 1[1 ] 设 { Xn , Fn , n ≥0} 是一个鞅差序列 ,
n

则 Sn = ∑Xk 在集 { ∑ E [ X2k Fk - 1 ] < ∞}上 a. s.
k =1
k =1
收敛 。
引理 2[2 ] 设 { ( Xn , Yn ) , n ≥0 }是如上定义的 非齐次隐马尔科夫模型 , fn ( x, y, z) 是定义在 S × S ×T的三元函数列 , {Φn ( x) , n ≥1 }是一列定义在 R 上的非负可测函数 , 则


( fn
(Xn - 1 ,
Xn ,
Yn )
- f3n
( Xn - 1 , Xn , Yn ) )
( 10 )
n =1
an
在 Ak 中 a. s. 收敛 。由于 A = ∪Ak , 由式 ( 10)知 k


( fn
(Xn - 1 ,
Xn ,
Yn )
- f3n
( Xn - 1 , Xn , Yn ) )
Yn ) )

4 马氏链

4 马氏链

P X1 1, X 2 1, X 3 1| X 0 0
7.2 马尔可夫链的状态分类
设 { Xn , n >0 } 是齐次马尔可夫链,其状态空间
I = { 0, 1, 2, … },转移概率是 pij , i , j I
1
7 1
8
1
9
1
1 1/3 121源自3615
2/3
4
1
(1)状态的周期性
2
设初始分布p1 0 P X 0 1 , p0 0 P X 0 0 1 ,
若系统经n级传输后输出为 1,求原发字符也是 1的概率。
0.9 0.1 0.82 0.18 2 解:(1)P , P 2 P , 0.1 0.9 0.18 0.82 0.756 0.244 3 P 3 P 0.244 0.756
马尔可夫链
内容提要
马尔可夫链的概念及转移概率 马尔可夫链的状态分类 状态空间的分解
pij(n) 的渐近性质与平稳分布
马尔可夫过程的四种类型

马尔可夫链(马氏链)

时间、状态都离散 时间连续、状态离散

连续时间马氏链


马尔可夫序列

时间离散、状态连续
时间、状态都连续

连续时间马尔可夫过程(或扩散过程)
[定义] 如集合 { n : n 1, pii(n) > 0 } 非空,则称该集合
的最大公约数 d = d(i) = G.C.D{ n : pii(n) > 0 }为状态 i
则称 { Xn , n T } 为马尔可夫链,简称马氏链。
马氏性 (无后效性)

4-4离散参数马尔可夫链(4)-极限定理

4-4离散参数马尔可夫链(4)-极限定理
Ci { j : i j}, 证明:设有某状态i是零常返状态,令
Ci 是相通的常返闭集,且为有限集。因
( n) p ij 1(n 1) jci

n ( n) lim pij 0 jci
矛盾.故S有限时无零常返状态
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推论l 有限马尔可夫链没有零常返状态,也不 可能全是非常返. 推论2 不可约的有限马尔可夫链的状态都是正常 返状态.
的极限性质

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j为非常返状态或零常返状态
j为非常返状态或零常返状态
定理:若j为非常返状态或0常返状态,则对任意 i S
n (n) lim pij 0
(n) ( l ) ( n l ) ( l ) ( n l ) 证:pij fij p jj fij p jj l 1 l 1
lim p
n
(n) ij
1 . uj
推论3:设不可约、正常返、周期d的马氏链, 其状态空间为C,则有
( nd ) lim pij
其中C
d 1
n
Cr
r 0
d , i, j同时属于Cr j 0, 其他

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单位时间内平均返回的次数
定理:对任意状态i, j , 有 1 (k ) lim pij n n k 1
f
l 0
ij
l N 1


f ij (ld r )

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f 已证
l 0
N
ij
(ld r ) p jj ((n l )d ) pij (nd r ) fij (ld r ) p jj ((n l )d )

树上路径过程的随机路径条件概率的极限性质

树上路径过程的随机路径条件概率的极限性质

树上路径过程的随机路径条件概率的极限性质石志岩;杨卫国;王蓓【摘要】本文研究了树上路径过程的极限性质.利用构造鞅的方法得到了树上路径过程的条件概率调和平均的极限性质.所得结果推广了树上非齐次马氏链随机转移概率和任意随机变量序列随机条件概率的调和平均极限性质.%In this paper, we study the limit property of path process indexed by a tree. By constructing a nonnegative martingale, we get a limit property of the harmonic mean of random path conditional probability for path process indexed by a tree, which is an extension of the limit property of harmonic mean for random transition probability of a nonhomogeneous Markov chain indexed by a tree and random conditional probability of a sequence of random variables.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2012(032)003【总页数】7页(P499-505)【关键词】路径过程;非齐次马氏链;随机路径条件概率;调和平均【作者】石志岩;杨卫国;王蓓【作者单位】江苏大学理学院,江苏镇江212013;江苏大学理学院,江苏镇江212013;江苏大学理学院,江苏镇江212013【正文语种】中文【中图分类】O211.6设T是一个无限树,σ,t(σ 6=t)是T中任两个顶点,则存在唯一的以σ到t的路径,σ=z1,z2,...,zm=t,其中z1,z2,...,zm互不相同且zi,zi+1为相邻两顶点,m−1称为σ到t的距离.为给T中的顶点编号,我们选定一个顶点作为根顶点(简称根),并记之为o.如果一个顶点t位于根o到顶点σ的唯一路径上,则记σ≤t.若σ,t为T上不同的两个顶点,记σ∧t为同时满足σ∧t≤t和σ∧t≤σ且离根o最远的顶点.本文中T表示任意局部有限无穷树.若t为T中的任一顶点,记|t|为顶点t到根o的距离.若|t|=n,则T位于树的第n层.记T(n)表示从根o到第n层所有顶点的子图,Ln 表示第n层所有顶点的集合,Lnm表示含有T的从层m到n层所有顶点的集合.对于任一个顶点t,从根o到顶点t的路径上存在唯一一个离顶点t最近的顶点称为t 的父代,记为1t,且称t为1t的子代.1t的父代记为2t,(n−1)t的父代记为nt,也称nt 为t的第n代父代.令XA={Xt,t∈A},xA为XA的实现,且记|A|为A中顶点的个数. 定义1设T为局部有限无穷树,且G={1,2,...,N}.令定义2设有限状态空间G={1,2,...,N},X={Xt,t∈T}为定义在概率空间(Ω,F,P)上的G 值变量族.设分别为G上的概率分布和路径条件概率矩阵族.如果对于任何顶点t(t 6=o),则称X={Xt,t∈T}为具有初始分布(1)和路径条件概率矩阵族(2)的树指标G值路径过程.注1对任意顶点t(t 6=o),如果该顶点只与它的父代1t有关,与树T上的其他顶点无关,则树指标路径过程{Xt,t∈T}就是树上非齐次马氏链[11].树模型近年来已引起物理学,概率论及信息论界的广泛兴趣.Benjamini和Peres[1]给出了树指标马氏链的定义并研究了其常返性和射线常返性.Berger和叶中行[2]研究了齐次树图上平稳随机场熵率的存在性.叶中行和Berger[3,4]利用Pemantle在文献[5]中的结果及组合方法,在依概率收敛意义下研究了齐次树图上PPG不变和遍历随机场的Shannon-McMillan定理.杨卫国和刘文[6]研究了齐次树图上马氏链场(这实际上是树指标马氏链和PPG不变随机场的特殊情形)状态发生频率的强大数定律.杨卫国[7]研究了齐次树上齐次马氏链的状态发生频率的强大数定律和Shannon-McMillan定理.杨卫国[8]研究了齐次树上非齐次马氏链的强大数定律和渐进均分割性.近年来,黄辉林和杨卫国研究了一致有界树马氏链的强大数定律和渐进均分割性.石志岩和杨卫国[10]研究了m根树上m阶非齐次马氏链的强大数定律和Shannon-McMillan定理.石志岩和杨卫国[11]研究了树上非齐次马氏链的随机转移概率的调和平均的极限性质.设 Pt(xt|x1t,x2t,...,xo)=Pt(Xt=xt|X1t=x1t,X2t=x2t,...,Xo=xo), 则称Pt(Xt|X1t,X2t,...,Xo)为树上路径过程的随机路径条件概率.刘文[12]研究了随机条件概率的调和平均的a.e.收敛定理.刘文[13]研究了有限状态非齐次马氏链随机转移概率的调和平均的极限性质.本文主要研究了树上路径过程随机路径条件概率的调和平均的极限性质.作为推论,得到文献[11–14]中的结果.定理1 设X={Xt,t∈T}为定义2中的取值于G的树T上路径过程,其初始分布和路径条件概率族分别满足由(22)与(24)式即可以知(9)式成立.对于树T中的除根o外的任意顶点,若该顶点只与它的父代有关,而与树T上其他的顶点无关,则树指标路径过程{Xt,t∈T}就是树上非齐次马氏链,可得文献[11]中的定理.推论1[11]设X={Xt,t∈T}为取值于G的树T上非齐次马氏链,其初始分布和转移概率概率族分别满足若树T中每个顶点的子代只有一个顶点,则树上路径过程就是一般的随机变量序列,这样可得文献[12]中的定理.推论2[12]设{Xn,n≥0}是概率空间(Ω,F,P)上的随机变量序列,其联合分布为其中pk(xk|x0,...,xk−1)=P(Xk=xk|Xo=xo,...,Xk−1=xk−1). 若存在常数 a> 0,使得非齐次马氏链是随机变量序列的特殊形式,由推论2可以直接得到文献[13]和[14]中的定理.推论3[13,14]设{Xn,n≥1}是状态空间为G={1,2,...,N}的非齐次马氏链,其初始分布与转移概率分别为p(i)>0,i∈G,Pk(i,j)>0,i,j∈G,k=1,2,....令若存在常数a>0,使得【相关文献】[1]Benjamini I,Peres Y.Markov chains indexed by trees[J].Ann.Probab.,1994,22:219–243.[2]Berger T,Ye Z.Entropic aspects of random fi elds on trees[J].IEEE Trans Inform Theory,1990,36:1006–1018.[3]Ye Z,Berger T.Ergodic,regulary and asymptotic equipartition property of random fi elds on trees[J]bin Inform.System Sci.,1996,21:157–184,.[4]Ye Z,Berger rmation measures for discrete random fi elds[M].Beijing:Science Press,1998.[5]Pemantle R.Antomorphism invariant measure on trees[J].Ann.Probab.,1992,20:1549–1566.[6]Yang W G,Liu W.Strong law of large numbers for Markov chains fi elds on a Bethe tree[J].Statist Probab.Lett.,2000,49:245–250.[7]Yang W G.Some limit properties for Markov chains indexed by a homogeneoustree[J].Statist Probab.Lett.,2003,65:241–250.[8]Yang W G,Ye Z.The Asymptotic Equipartition property for Markov chains indexed by a Homogeneous tree[J].IEEE Trans.Inf.Theory,2007,53(9):3275–3280.[9]Huang H L,Yang W G.Strong law of large numbers for Markov chains indexed by an in fi nite tree with uniformly bounded degree[J].Science in China,2008,51(2):195–202. [10]Shi Z Y,Yang W G.Some limit properties for the mth-order nonhomogeneous Markov chains indexed by an m rooted Cayley tree[J].Statist Probab.Lett.,2010,80:1223–1233. [11]Shi Z Y,Yang W G.A limit property of random transition probability for a nonhomogeneous Markov chains indexed by a tree[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2008,31(4):648–653.[12]Liu W.A limit property of random conditional probabilities[J].StatistProbab.Lett.,2000,49:299–304.[13]Liu W.A strong limit theorem for the harmonic mean of the random transition probabilities of fi nite nonhomoge-neous Markov chains[J].Acta Mathematica Scientia,2000,20(1):81–84.[14]Liu W.A limit property of random conditional probabilities and an approach of conditional moment generating function[J].Acta Mathematicae ApplicataeSinica,2000,23(2):275–279.[15]Xi Q L,Yang W G,Shi Z Y.A strong limit theorem for arbitrary stochastic arrays[J].J.of Math.(PRC),2010,30(6):1001–1007.。

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第 2 第 2期 4卷
21 00年 4月
江 苏科 技大 学学 报 ( 自然科 学版 )
Jun l f i guU i r t o c n eadTc nl y N trl c neE io ) ora o a s nv sy f i c n eh o g ( aua S i c dtn Jn e i S e o e i
o o d t n l e p cai n w r ba n d I h r o ,t e n w tc n q e w s a pi d t h r o h i n c n i o a x e t t e e o ti e . n t e p o f h e e h i u a p l o t e Ma k v c an i o e
Vo. 4 No 2 12 . Apr 2 0 . 01
任 意 B te 上 马 尔 可 夫 链 场 的 eh 树 类 局 部 强 极 限定 理

王康康
( 江苏科技大学 数理学院 , 江苏 镇 江 2 20 ) 10 3 摘 要: 在介绍无限连通树 图 和 B te树上马氏链场概念 的基础上 , e h 采用 随机分析 中构造非负鞅 的方法 , 究任意 Bte 研 e h
i l s fed .
Ke r s:Beh r e;Ma k v c a n feds o dto a x e t t n;fe u n i so t ts;o d r d c u l so y wo d t e te r o h i l ;c n i n le p ca i i i o r q e ce fsae r ee o pe f
s at s t e
1 预 备 知 识
设 为一 无 限连通 树 图 , Y是 中任 意 两个 ,
则 称该树 图 7为 B te树 , 作 ., 记 为 用 ’ e h 记 Ⅳ简
表示 从第 m层 到 第 n层 的所 有 顶 点 的 子 图 , £ 表 示第 1层 的所 有顶 点 的 子 图 , ’ 1 , 表示 从 第 0层 到 第 r层 的所有 顶点 的子 图. t
树指标 马尔 可夫链 场上任意二元函数 的一类局部强极 限定 理. 采用鞅方法结合 D o ob鞅收敛定理 和一系列重 要不等式进行
研究 , 引用随机矩阵 中平稳 分 布 的性质 , 到 了任意 B te树上 状态 频率 和状 态 序偶 频率 的一 类强 极 限定 理 , 得 eh 以及 任意
B te eh树上二元 函数条件期 望的极限性质 , 推广了已有的结果. 关键词 : e e ; B t 树 马尔可夫链场 ; h 条件 期望 ; 状态频率 ; 状态序偶
W a g Ka g aபைடு நூலகம்g n nkn
( c ol f te ai n h s sJ ns nvrt o c nea dT cn l y hnin ins 10 3,hn ) Sho o h m tsadP yi ,i guU i sy f i c n eh oo ,Z ej gJ gu2 20 C ia Ma c c a e i S e g a a
中 图分 类 号 : 2 16 0 1 . 文献标志码 : A 文 章 编 号 :17 4 0 (00 0 0 0 0 6 3— 8 7 2 1 ) 2— 2 5— 5
A l s fl c lsr ng lm i he r m s f r M a ko ca so o a t o i tt o e o r v c i s fed o r t a y Be he te ha n l n a bir r t r e i
Ab ta t:On t sso h oin o r e g a h a d te Mako h i ed o t e te sr c heba i ft e n to fte r p n h r v c ansf l n Be h r e,t i a rsu i d i h sp pe t d e a c a s o c lsr n i tt e r msfrt ・ a i n u ci n o r o h i e d y u i g t en n e a ie ma — ls fl a to g l h o e o wo・ ra tf n to fMa k v c an f l sb sn h o n g t r o mi v i v ・ t gl i ae.Th r o han fe d n e e n t e a b ta y Beh r e n e Ma k v c i l si d x d o h r ir r t e te .Fu t r r i rhemo e,b ri g l t o y ma t ae meh d,Do b n o ma i ae c n e g n e t e r m ,a d s me i o a tie u l i s hi a e o l s fsr n i tt e r ms t r ng l o v r e c h o e n o mp r n n q a i e ,t s p p rg ta ca so to g lmi h o e t t o r q e ce fsae n r e e o p e fsa e n Beh r e.S me lmi pr p riso wo v ra tf ci n f rfe u n i so tt sa d o d r d c u ls o t tso t e te o i t o e t ft ・ a n un to e i
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