初中数学知识点精讲精析 平均数

第一节 平均数
要点精讲
一、平均数的概念
1．平均数：一般地，如果有n 个数那么，
叫
做这n 个数的平均数，读作“x 拔”．
2．加权平均数：如果n 个数中，出现次，出现次，…，出现次（这
里
）
，那么，根据平均数的定义，这n 个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权．
二、平均数的计算方法 1．定义法
当所给数据
比较分散时，一般选用定义公式：
2．加权平均数法：
当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：
，其中
．
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算术平均数，又称均值，是统计学中最基本、最常用的一种平均指标，分为简单算术平
均数、加权算术平均数．它主要适用于数值型数据，但不适用品质数据．根据表现形式的不同，算术平均数有不同的计算形势和计算公式．其中，算术平均数是加权平均数的一种特殊形式（它特殊在各项的权相等），当实际问题中，当各项权不相等时，计算平均数时就要采用加权平均数，当各项权相等时，计算平均数就要采用算数平均数．
,,,,21n x x x )(1
21n x x x n x +++=
x 1x 1f 2x 2f k x k f n f f f k =++ 21n f x f x f x x k
k ++=
2211x k f f f ,,,2
1 ,,,,21n x x x )(1
21n x x x n x +++=
n f x f x f x x k
k ++=
2211n f f f k =++ 21
典型解析
1．为了检查一批电风扇的使用寿命，从中抽取10台电风扇进行检测，以下说法正确的是（） A ．这一批电风扇是总体；
B ．从中抽取的10台电风扇是总体的一个样本；
C ．10台电风扇的使用寿命是样本容量；
D ．每台电风扇的使用寿命是全体． 【答案】D
【解析】本题中的考察对象是电风扇的使用寿命，不是电风扇本身，因此这批电风扇的使用寿命是总体，每台电风扇的使用寿命是个体，从中抽取的10台电风扇的使用寿命是总体的一个样本，样本容量是10．故应选D ．
中考案例
1．（2012陕西省3分）某中学举行歌咏比赛，以班为单位参赛，评委组的各位评委给九年级三班的演唱打分情况（满分100分）如下表，从中去掉一个最高分和一个最低分，则余下
A ．92分
B ．93分
C ．94分
D ．95分 【答案】C ． 【解析】先去掉一个最低分去掉一个最高分，再根据平均数等于所有数据的和除以数据的个数列出算式进行计算即可：
由题意知，最高分和最低分为97，89，则余下的数的平均数=（92×2+95×2+96）÷5=94．故选C ．
针对训练
1．某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从八
请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（） A ．130m3 B ．135m3 C ．6．5m3 D ．260m3
2．为了解某公司员工的年工资情况，小王随机调查了10位员工，其年工资（单位：万元）如下：3，3，3，4，5，5，6，6，8，20，下列统计量中，能合理反映该公司年工资中等水平的是（）
A ．方差
B ．众数
C ．中位数
D ．平均数
3．某农场各用10块面积相同的试验田种植甲、乙两种大豆，收成后对两种大豆
产量（单位：吨/亩）的数据统计如下：，，，，则由上述数据推
0.54x ≈甲
0.5x ≈乙20.01s ≈甲2
0.002s ≈乙
断乙品种大豆产量比较稳定的依据是（）
A ．
B ．
C ．
D ． 4．一组数据：－1、2、l 、0、3，则这组数据的平均数和中位数分别是（） A ．1，0 B ．2，1 C ．1，2 D ．1，1
5．某射击运动员在一次射击练习中，成绩（单位：环）记录如下：8，9，8，7，10．这 组数据的平均数和中位数分别是（）
A ．8，8
B ．8．4，8
C ．8．4，8．4
D ．8，8．4 6．对于一组统计数据：2，3，6，9，3，7，下列说法错误的是（）
A ．众数是3
B ．中位数是6
C ．平均数是5
D ．极差是7 7．对于一组统计数据：2，3，6，9，3，7，下列说法错误的是（）
A ．众数是3
B ．中位数是6
C ．平均数是5
D ．极差是7 8．已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（） A ．平均数是9 B ．中位数是9 C ．众数是5 D ．极差是5 参考答案 1．【答案】A
【解析】20名同学各自家庭一个月平均节约用水是：（0．2×2+0．25×4+0．3×6+04×7+0．5×1）÷20=0．325（m3），
∴这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是：400×0．325=130（m3）．故选A ． 2．【答案】C
【解析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），反映的是一组数据的中间水平．因此能合理反映该公司年工资中等水平的是中位数．故选C ． 3．【答案】B
【解析】根据平均数和方差的意义，方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定 ．故选B ． 4．【答案】D
【解析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．所以，－1、2、l 、0、3的平均数为（－1＋2＋l ＋0＋3）÷5=1．
中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此将这组数据重新排序为－1，0，1，2，3，∴中位数是按从小到大排列后第3个数为：1． 故选D ． 5．【答案】B
【解析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．因此，8，9，8，7，10的平均数为：1
5×（8＋9＋8＋7＋10）＝8．4．中位数是一组数据从小到大（或从大到小）
重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此将这组数据重新排序为7，8，8，9，10，∴中位数是按从小到大排列后第3个数为：8．故选B ． 6．【答案】B
【解析】分别计算该组数据的众数、平均数、中位数及极差后，选择正确的答案即可：A ．∵3出现了2次，最多，∴众数为3，故此选项正确；B ．∵排序后为：2，3，3，6，7，9，∴中位数为：（3+6）÷2=4．5，故此选项错误；
x x 乙甲＞2s 2
乙甲＞s 2x s 甲甲＞2x s 乙甲＞
C．
2+3+6+9+3+7
x==5
5；故此选项正确；D．极差是9﹣2=7，故此选项正确．故选B．
7．【答案】B
【解析】分别计算该组数据的众数、平均数、中位数及极差后，选择正确的答案即可：A．∵3出现了2次，最多，∴众数为3，故此选项正确；B．∵排序后为：2，3，3，6，7，9，∴
中位数为：（3+6）÷2=4．5，故此选项错误；C．
2+3+6+9+3+7
x==5
5；故此选项正确；D．极
差是9﹣2=7，故此选项正确．故选B．
8．【答案】D
【解析】分别计算该组数据的平均数、中位数、众数及极差后即可得到正确的答案
平均数为（12+5+9+5+14）÷5=9，故选项A正确；重新排列为5，5，9，12，14，∴中位数为9，故选项B正确；5出现了2次，最多，∴众数是5，故选项C正确；极差为：14﹣5=9，故选项D错误．
扩展知识
1．加权算术平均数同时受到两个因素的影响，一个是各组数值的大小，另一个是各组分布频数的多少．在数值不变的情况下，那一组的频数多，该组的数值对平均数的作用就大，反之，就小．
频数在加权算术平均数中起着权衡轻重的作用，这也是加权算术平均数“加权”一词的来历．
2．算术平均数易受极端值的影响．比如有下列资料：5、7、5、4、6、7、8、5、4、7、8、6、20，全部资料的平均值是7．1，实际上大部分数据（有10个）不超过7，如果去掉20，则剩下的12个数的平均数为6．
由此可见，极端值的出现，会使平均数的真实性受到干扰．。