非惯性系中的质点动力学

m a r F F ge F gC ~ d 2 r 写成微分方程的形式有 : m 2 F F ge F gC dt
例一 . (书上P2 例1－1)
单摆的摆长为L, 小球的质量为m , 其悬挂点O以加速度 ao 向上运动.
求此单摆的微振动周期.
解 : (分析 : 求运动周期就要先求运 动方程)


900
z k

o
y j

gt cos 2 g cos 2C sin 2t 2D cos 2t y 2 g cos 0 0 可得 C 0 D 由 y0 0 y 42 g cos g cos y sin 2 t t 5 42 2 y C cos 2t D sin 2t

即为:
m r m g Fg C
o
y j
m r mg k 2m r I r g k 2 r
j 0 y k sin z

R
x i

i 2 cos 2 r x
sin i 2 x sin z cos k cos j y 2y
1 4 x v0 2 t 3 sin 2 g 2 t 4 sin 2 3 3 1 1 y v 0 t 2 cos gt 3 cos v 0 3 t 4 cos 3 3 1 2 1 z v0 t gt 2 v0 2 t 3 cos 2 g 2 t 4 cos 2 2 3 6
m a a m(a e a r a C ) F F 在这里应理解为作用在 质点或平动刚体上的合 力. 上式可写成: ma r F ma e ma C
我们定义：牵连惯性力 F ge m a e 即有
科氏惯性力 F gC m a C
~ d 2 r 称为相对矢径r 的局部导数 .(参见五版上册 P 332) 2 dt


6
这就是考虑科氏惯性力影响的自由落体公式
5 这里, 地球的自转的角速度 7.29 10 rad / s

R
x i

借助于幂级数, 我们来分析上面的方程. 取 sin 2t 2t 3 t 3
4 3 2 cos 2t 1 22 t 2 4 t 4 3
1 2 v0 cos 2 g cos 2 cos 2t 1 z sin v0 t gt sin 2t 2 2 42
取 sin 2t 2t 3 t 3 代入 上 式 可得:
4 3
2 cos 2t 1 22 t 2 4 t 4 3
线平动’, 则许多力学现象的分析与计算结果是可用的.
但是, 对于一些精确的力学问题, 以及大尺度的力学问题, 必须考虑相应的惯性力. 对于地球上的许多大尺寸的运动学问题, 科氏惯性力的影响不容忽视. 下面, 我们来研究 地球上物体的运动与科氏惯性力.


90
0
建立地面坐标系如图示 质点相对于地球的运动微分方程为 z k
y
dz 2 tg y dy g
2 2 z y C 2g
由图示坐标系的选择可 知 C0 2 2 z y ( AOB线为抛物线) 2g
习 1 – 5 . 图示一离心分离机的鼓室, 鼓室的半径为R , 高为H . 以匀角速度ω 绕 Oy 轴转动. 当鼓室无盖时, 为使被分离的液体不致溢出. 试求:
∴( I ) 式的投影方程为:
2y sin 1 x 2 x sin 2 z cos 2 y cos g 2y 3 z

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z k

2y sin 1 x 2 x sin 2 z cos 2 y cos g 2y 3 z


900
z k

o
y j

1 4 x v0 2 t 3 sin 2 g 2 t 4 sin 2 3 3 1 1 y v 0 t 2 cos gt 3 cos v 0 3 t 4 cos 3 3 1 2 1 z v0 t gt 2 v0 2 t 3 cos 2 g 2 t 4 cos 2 2 3 6
x
g sin 2 g sin 2 2 cos 2 t 1 t 82 4
g cos g cos sin 2 t t 42 2
4
5
z k

y
o
y j

g cos 2 1 2 z cos 2 t 1 gt cos 2 1 h 2 4 2
2 n
mg F ge
例二. ( 参见书上 习 1 – 4 )
质点M其质量为m, 被限制在旋转面容器内光滑的经线AOB运动. 旋转面容器绕 其几何轴Oz 以匀角速度ω 转动.
求: M点相对静止处曲线的切线斜率与回转半径r 的关系. 如果r为任意值时M点 都静止, 求旋转面经线AOB的形状.
解 : 若 小 球 相 对 静 止则 ,
< 2 > 竖直上抛物体落点偏西


900
z k

2y sin 1 x 2 x sin 2 z cos 2 y cos g 2y 3 z
由初始条件: x0 y0 z0 0
a0
O φ
取小球分析 , 小球相对以 O为原点的平动参考系的 动力学方程为 m a r F m g F ge 将其沿切向投影 : mg sin ma o sin ml
l
F

l
( g ao ) sin 由微振动 , sin l ( g ao ) 2 0 n 0 l g ao l T 2 l 2 n g ao
z ω A B τ M θ n Fge r θ FN O mg x
ar 0
将
0 F N F ge m g 沿 切 向 投 影 0 Fge cos mg sin 2r 即 tg g
m r cos mg sin
2
若r为任意值即是变量y . 于是有 :
< 1 > 自由落体偏东
o
y j

设运动初始条件:
x0 y0 0 , z0 h . 0 y 0 z 0 0 x

R
x i

将( 1 ) 、( 3 ) 式分别积分:
2y sin A x gt 2y cos B z
由初始条件可得: A = 0, B = 0
理论力学 ( II )
第 一 章
非惯性系中的质点 动力学
第一章 : 非惯性系中的质点动力学
§1 – 1 非惯性系中质点动力学的基 本方程 前面讲过, 牛顿第二定律只适用于惯性系. 如果在非惯性系内建立动力学方程, 则 质量与非惯性系下的加速度乘积的度量, 除了与真实力有关, 还与非惯性系下产生 的各种惯性力有关. 由牛顿第二定律和运动学的加速度合成公式, 有:
(1) 鼓室旋转时, 在平面内液面所形成的曲线形状.
(2) 注入液体的最大高度H´ .
解 : (1) 设曲线方程为y f ( x ) 对曲线上相对静止的任 意点m进行受力分析 , 由上一题的解答可知曲 线方程为 2 2 y x 2g
( 2) 设旋转抛物面下xz 面以上的液体体积为v
y ω
yo


900
z k

o
y j

1 g sin 2 2 t 4 12 1 y g cos t 3 3 1 1 z h gt 2 g cos 2 2 t 4 2 6 x
如果略去 2项 上式变为:
x0 1 g cos t 3 3 1 z h gt 2 2 y
由 x0 0 得 : E
x
g sin 2 g sin 2 2 cos 2 t 1 t 82 4
4
6
同理可得:
g cos 2 1 2 z cos 2 t 1 gt cos 2 1 h 2 4 2




900
0 y 0 0 x 0 v0 z
o
y j

y
2
重复前面的解题过程可得:

R
x i

x
v0 sin 2 v sin 2 g sin 2 g sin 2 2 sin 2t 0 t cos 2 t 1 t 4 2 82 4
v0 cos cos 2t 1 g cos2 sin 2t g cos t 2 4 2

R
x i

代入
x 积分得: x
2y sin x 可得 gt 2y cos z
g sin 2 g sin 2 sin 2t t 4 2
g sin 2 g sin 2 2 cos 2 t t E 2 8 4
g sin 2 82
代入 ( 4 ) 、( 5 ) 、( 6 ) 式 可得:
2 n1 2t sin 2t 1 2n 1 ! n 0 n 2n 2t cos 2t 1 2n ! n 0 n
1 x g sin 2 2 t 4 12 1 y g cos t 3 3 1 1 z h gt 2 g cos 2 2 t 4 2 6
认识地球上的 科氏惯性力
在非惯性系下的力学系统, 无论处于什么状态, ( 静止、运动 ) 必存在着惯性力. 这些惯性 力所产生的力学效应, 可以通过相关的仪器测出, 或可以通过人的感官感觉到.
公共汽车在转弯的时候对车上的物体作用有离心惯性力, 这已是常识.
还有一些感觉是一般人体会不到的 . 飞机加速上升, 使人身上的血往下流, 脑中失血, 眼睛失明 — 这就是飞行中的 ‘ 黑晕’ 现象. 飞机加速下降, 使人身上的血往上流, 脑中充血, 眼睛红视 — 这就是飞行中的 ‘ 红视’ 现 象. 地球本身就是一非惯性系, 而且是一有转动的非惯性系. 所以, 严格地讲,以 地球作为 参照 系 的上的力学现象中, 应有牵连惯性力和科氏惯性力的效应. 如果考察地球上局部空间内的力学现象, 把地球的这一部分运动空间视为‘ 匀速直

R
x i

如果不考虑地球的角速度, 即是略去、²项, 则有: 从这几组方程可明确得知: 自由落体运动, 在考虑地球的自 转效应时, 落到地面后位置偏东, 若在精确一点讲, 还有一点偏南 (北半球) 或偏北( 南半球) . ( 只有两极处无此现象 )
x0 y0 z h 1 2 gt 2
2y sin x gt 2y cos z
代入( 2 ) 式整理可得:
其解为:
22 y 2 gt cos y
gt cos 2 g cos 2C sin 2t 2D cos 2t y 2 y C cos 2t D sin 2t
H H –h
o mg R
F
F h
n ge
x
v 2xydx
0
R
R
0
2 3 2 4 x dx R g 4g
静止时, xz面以上的液体体积为R 2 yo 2 4 由题意得 R yo v R 4g
2
2 R 2 yo 4g 2 2 由曲线方程可知 h R 2g 2 2 H ' H h yo H R 4g