随机事件与概率讲解

第一章 随机事件与概率

一、填空题

1．（1990年数学一）设随机事件A ，B 及其和事件A B 的概率分别是0.4，0.3和0.6

若B 表示B 的对立事件，那么积事件AB 的概率P AB （）=_________．

【解题分析】要求P AB （）时,一般应想到AB A B A AB =-=-，这是事件的差与事件的

积之间常见的转化关系，AB A ⊂而,所以有, ()

()()P AB P A P AB =-,这时只需要求出

()P AB 即可.

解: ()()()()P A B P A P B P AB =+- ，

又 ()

()()P AB P AB P A +=，

所以 ()

()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .

本题用文氏图考虑求解思路更为直观,见图10-1. 图10-1 注:本题()0.4P A =是多余的.

2．（1991年数学四）设A ，B 为随机事件，()0.7,P A =()0.3P A B -=,则

()

P AB =________．

【解题分析】 要求()

P AB ,由于AB AB 与是对立事件,只要求出()P AB 即可.利用关系A B A AB -=-，()()()P A B P A P AB -=-，可得()P AB .

解:由题设()()()

0.7,0.3P A P A B P AB =-==， 利用公式 AB AB A +=，知

()()()0.70.30.4P AB P A P AB =-=-=,

故 ()

()110.40.6P AB P AB =-=-=．

本题也可利用图10-1考虑求解思路.

3．（2000年数学一）设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1

9

，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =________．

【解题分析】 根据题设可以推出()()P A P B =,再利用事件A 和B 的独立性即可得出答案.

解:由题设 ()

P AB =

1

9

()1 ()P AB ()P BA = ()2

注意到 A AB AB B BA BA =+=+，,

所以 ()()

()()()()

P A P AB P AB P B P BA P BA =+=+，, 由()2有 ()()()()P A P AB P B P BA -=-, 可见 ()()P A P B = ()3

又由概率的加法公式与事件A B ，的独立性，由()1及()3式，有

()()()

()()11P AB P A P B P A P B ==--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()21

19

P A =-=, 于是()113P A -=±，当()113P A -=-时，得()2

3P A =，

当()113P A -=时，得()43P A =，事件的概率不可能>1，应舍去．所以, ()2

3

P A =.

本题也可利用图10-2考虑求解思路.可以看出()()P A P B =,再利用

()()()

()()11P AB P A P B P A P B ==--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()21

19

P A =-= 即可求解.

图10-2

4．（1993年数学四）设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件不合格品，则另一件也是不合格品的概率为_______.

【解题分析】本题是在抽取的两件产品中,已经知道有一件不合格品,要求另一件产品也是不合格品的概率.显然,这是一道求条件概率的题目,求条件概率一般有两种方法:公式法和缩减样本空间法.

解:方法1 以A 表示事件{从10件产品中任取两件，两件都是不合格品}，以B 表示

事件{从10件产品中任取两件，至少有一件是不合格品}，则所求的概率为()

P A B .

而 ()P A =2

4

210C C =215，()P B =1—26210C C =23

．

显然A ⊂B ,故()()P AB P A ==

2

15

,由条件概率的计算公式知 ()P A B =()()

P AB P B =2

1523

= 1

5．

方法2 缩减样本空间法．已知一件是不合格品,这时样本点总数可认为是

22112106464

C C C C C -+或.两件都是不合格品包含的样本点数为2

4C ,则 ()P A B =2422

10661

305

C C C ==-. 5．（1988年数学一）若在区间（0,1）内任取两个数，则事件“两数之和小于6

5

”的概率为_______.

【解题分析】这是一个几何概型问题.可利用几何概率求解.

解:设x y ，表示在()01，中随机地取得的两个数，则()x y ，点的全体是如下图所示的正方形 ，而事件“两数之和小于

65”发生的充要条件为6

5

x y +<，见图10-3．

图10-3

根据几何概率的定义，所求概率为

2

61417152525P x y ⎧

⎫⎛⎫+<=-⨯=⎨⎬ ⎪⎩

⎭⎝⎭．

具有特性:1)试验的结果有无限且不可列个;

2)每个结果出现的可能性相同

,