第四课推理理论

例5 用CP规则证明下列各式： 1. A∨B, C B A C (1) A (2) A∨B (3) B (4) C B (5) C (6) A C Ｐ(附加前提) Ｐ Ｔ(1) (2) I Ｐ Ｔ(3) (4) I ＣＰ
2. A (B C) , D∨A, B D C 3. P∨Q, Q∨R, R S PS (1) P (2) P∨Q (3) Q (4) Q∨R (5) R (6) R S (7) S (8) PS Ｐ(附加前提) Ｐ Ｔ(1) (2) I Ｐ Ｔ(3) (4) I Ｐ Ｔ(5) (6) I ＣＰ
则要证S C即证S C为真，即证 定义2 相容（不相容） (S C)为假，即S ∧ C为假，即 设P1, P2, …, Pm 是H1, H2, H3, …, Hn的全部变元， Hn∧ ∧H C∧ 证H1 ∧ H2 ∧ H3 ∧ … ∧H 对于P1, P2, …, Pm的一些真值指派，如果能使 1 2 为假。 H3 ∧ … ∧ Hn 为T，则称 H1, H2, H3, …, Hn是相容的， 否则称H1, H2, H3, …, Hn是不相容（矛盾）。
例1：应用真值表证明 (P∨Q) ∧(P R) ∧(Q R) R 见书Ｐ42
二、直接证法
直接证法就是由一组前提，利用一些公认的推理规 则，根据已知的等价式或蕴含式，推演得到有效结论。 推理规则 P规则：假设前提为真，且这个为真的前提在任何时候 都可以引用。 T规则：由前提得出的阶段性有效结论（由一个或多 个公式重言蕴含着的公式）也可以在证明中使用。 P43两个表要熟练
证明见书P46
4. P (Q∨R) ,Q P, S R P S (1) P (2) P (Q∨R) (3) Q∨R (4) Q P (5) Q (6) R (7) S R (8) S (9) P S Ｐ(附加前提) Ｐ Ｔ(1) (2) I Ｐ Ｔ(1) (4) I Ｔ(3) (5) I Ｐ Ｔ(6) (7) I ＣＰ
2 . R Q，S ∨ R，S Q，P Q P (1) P (2) P Q (3) Q (4) S Q (5) S (6) S ∨ R (7) R (8) R Q (9) Q (10) Q ∧ Q ( 矛盾 ) Ｐ(附加前提) Ｐ Ｔ(1) (2) I Ｐ Ｔ(3) (4) I Ｐ Ｔ(5) (6) I Ｐ Ｔ(7) (8) I Ｔ(3) (9) I
前提
有效结论
论证方法
一、真值表法
证明：H1, H2, H3, …, Hn C 设P1, P2, …, Pm 是H1, H2, H3, …, Hn和C的全部变 元，对P1, P2, …, Pm作全部真值指派，得到H1, H2, H3, …, Hn和C所有真值，列出真值表，由真值表可以看出结论 是否成立。 (1)所有前提皆为T的所有行对应的结论C也为T，则蕴含 成立。 (2)结论C为F的所有行对应的前提中至少有一个为F，则 蕴含成立。
1.反证法：
假设结论的否定为真，并作为一个附加前提来用， 最后证明出这些前提之间是矛盾的。 即要证： H1 ∧ H2 ∧ H3 ∧ … ∧ Hn C 可通过证明H1 ∧ H2 ∧ H3 ∧ … ∧ Hn ∧ C 为永假。
例4：用反证法证明： 1 . A B, (B ∨ C) A (1) A (2) A B (3) B (4) (B ∨ C) (5) B ∧ C (6) B (7) B ∧ B ( 矛盾 ) Ｐ(附加前提) Ｐ Ｔ(1) (2) I Ｐ Ｔ(4) E Ｔ(5) I Ｔ(3) (6) I
CP规则的连续使用
证明A(BC),(C∧D) E, F (D∧ E) A(BF) 证明(1) A P(附加前提） (2) A(BC) P (3) BC T (1) (2) I (4) B P(附加前提） (5) C T (3) (4) I (6) (C∧D) E P (7) (C∧D) E T (6) E (8) C D E T (7) E (9) C ( D E) T (8) E (10) D E T (5) (9) I (11) (D∧ E) T (10) E (12) F (D∧ E) P (13) F T (11) (12) I (14) BF CP (15) A(BF) CP
解： 设L:老李是小偷 W:小王是小偷 Z:小张工作负责 N:盗窃案发生在晚上 A:晚上仓库未上锁 B:晚上仓库灯未亮 根据案情，有下列命题： L ∨ W，Z，L N， A N，（A ∨ B） Z
此题做在作业本上
三、间接证法
令H1 ∧ H2 ∧ H3 ∧ … ∧ Hn 为S，
2 . 证明: P R , ( R∨Q )∧ Q , ( P ∧S) S (1) ( R∨Q )∧ Q (2) R∨Q (3) Q (4) R (5) P R (6) P (7) ( P ∧S) (8) P ∨ S (9) S Ｐ Ｔ (1) I Ｔ (1) I Ｔ (2) (3) I Ｐ Ｔ (4) (5) I Ｐ Ｔ (7) E Ｔ (6) (8) I
例2：用推理规则证明下列各式。 1 . 证明: (P∨Q) ∧(P R) ∧(Q S) S ∨ R (1) P∨Q (2) P Q (3) Q S (4) P S (5) S P (6) P R (7) S R (8) S ∨ R Ｐ Ｔ (1) E Ｐ Ｔ (2) (3) I Ｔ (4) E Ｐ Ｔ (5) (6) I Ｔ (7) E 证法2见书P44
第八节
推理理论Baidu Nhomakorabea
在实际应用推理中，常常将本门学科的一些定律、定 理和条件作为假设前提，尽管这些前提在数理逻辑中实 非永真，但在推理过程中，却总是假设这些命题为真， 并使用一些公认的规则，得到另外命题，形成结论。 定义1 有效结论 设A和C是两个命题公式，当且仅当A C为一重言式， 即A C，称C是A的有效结论。或C可由A逻辑地推出。 H1, H2, H3, …, Hn C
3 . (P∨Q) ∧(P R) ∧(Q S) S ∨ R 4 .有一个人说了下面四句话，是否矛盾？ 如果我去公园，就带弟弟一起去； 如果弟弟去公园，我就给他买玩具； 如果妹妹去公园，我就不给弟弟买玩具； 我和妹妹一起去公园。
见书P45
2 . CP规则
当待证有效结论是条件形式，如S R C时，我 们把R作为一个附加前提，和其它前提一起共同得出结 论C，则S R C 成立。 即要证S R C可通过证明S ∧ R C CP规则的正确性证明： S (R C) S ∨( R ∨ C) ( S ∨ R )∨ C (S ∧ R )∨ C (S ∧ R) C
3 . 半反证法
当结论是析取式，具有形式P∨Q时，我们把其中一析取 项的否定（ P或 Q）作为假设前提，并和其它前提 一起共同得出另外一析取项（ Q或P） 。 即要证S P∨Q，可通过证明( S ∧ P ) Q 半反证法的正确性证明： S ( P∨Q) S ∨ (P∨Q) ( S ∨P ) ∨Q ( S ∧ P ) ∨Q ( S ∧ P ) Q 例题 证明: (P∨Q) ∧(P R) ∧(Q S) S ∨ R 作业：P46(1)a, b (2)a,c (3)a,c (4)c
3. 证明: P∨Q, Q R ,PM, M R ∧ (P∨Q)
例3：公安人员破案问题。 一公安人员审查某工厂失窃案，他认为下列情况 是真的： (1)有两个怀疑对象，保管员小王和材料科长老李； (2)值班员小张工作一贯负责； (3)失窃案发生的那天白天，老李去兄弟厂开会； (4)如果晚上仓库上锁，就不会发生失窃案； (5)如果晚上仓库未上锁或灯未亮，则值班员小张失职。 请问谁是盗窃犯？