巧用定义求椭圆中四类最值问题(精)

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巧用定义求椭圆中四类最值问题
聂文喜
圆锥曲线的定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据,又是用来解决一些问题的重要方法,一般情况下,当问题涉及焦点或准线,且用其它方法不易求解时,可考虑运用定义求解,下面以椭圆为例归纳四类最值问题。

一、的最值
若A为椭圆内一定点(异于焦点),P是C上的一个动点,F是C的一个焦点,e 是C的离心率,求的最小值。

例1. 已知椭圆内有一点A(2,1),F是椭圆C的左焦点,P为椭圆C上的动点,求的最小值。

分析:注意到式中的数值“”恰为,则可由椭圆的第二定义知等于椭圆上的点P到左准线的距离。

这种方法在本期《椭圆中减少运算量的主要方法》
一文中已经介绍过,这里不再重复,答案为。

二、的最值
若A为椭圆C内一定点(异于焦点),P为C上的一个动点,F是C的一个焦点,求的最值。

例2. 已知椭圆内有一点A(2,1),F为椭圆的左焦点,P是椭圆上动点,求的最大值与最小值。

解:如图1,设椭圆的右焦点为,可知其坐标为(3,0)
图1
由椭圆的第一定义得:
可知,当P为的延长线与椭圆的交点时,最大,最大值为,当P为的延长线与椭圆的交点时,最小,最小值为。

故的最大值为,最小值为。

三、的最值
若A为椭圆C外一定点,为C的一条准线,P为C上的一个动点,P到的距离为d,求的最小值。

例3. 已知椭圆外一点A(5,6),为椭圆的左准线,P为椭圆上动点,点P到的距离为d,求的最小值。

解:如图2,设F为椭圆的左焦点,可知其坐标为
图2
根据椭圆的第二定义有:,即
可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时,最小,最小值。

故的最小值为10。

四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值
例4. 定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆
上移动,求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。

解:设F为椭圆的右焦点,如图3,作于A”,BB”⊥于B”,MM”⊥于M”
图3

当且仅当AB过焦点F时等号成立。

故M到椭圆右准线的最短距离为。

评注:是椭圆的通径长,是椭圆焦点弦长的最小值,是AB能过焦点的充要条件。

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