数学中的分析方法

数学中的分析方法

一、分析法的含义

分析法是将整体分解为若干部分的思维方法。具体来说，先把研究的对象分解成若干个组成部分，然后通过对各个组成部分的研究，达到认识事物的基础和本质。

分析法在数学方法中还特指由结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法，即所谓“执果索引”的方法。在数学证明中，它表现为：从数学题的特征结论或需求问题出发，一步步地进行探索到题设的已知条件。

分析法的逻辑模式为：若要……，只需……，即要证明什么，为此只需证明什么，如果要证明的命题是p q

→，则分析法的思想过程可表示成如下的框图：

.利用导数证明：当0x >时：2

cos 12

x x >-。 证 要证当0x >时，恒有

2

cos 12

x x >-。 只需证，当0x >时，2

cos 102

x x -+>。 设2

()cos 1,2

x f x x =-+只需证当0x >时，()0f x >。 因为，(0)0,f =所以只需证当0x >时()(0)f x f >。即只需证0x >时()f x 单调增加，只需证'()0f x >。因为'()sin ,f x x x =-所以当0x >时，显然有'()0f x >（因为当0x >时，sin x x >）。

因而命题得证。

由以上例题可以看出，在分析过程中，思维是十分重要的，只要有了正确明晰的分析思路，就可以按照分析法的推理模式，逐步将分析过程写出来。同时也就完成了分析证明。

二、分析法的种类

1. 元抽象分析法

元抽象分析法是从对事物部分（即“元”）的研究，直接揭示整体规律的思维方法。例如，对某个物理过程（或几何图形），从中取出任何一个小部分，并对这个小单元进行深入细致的分析研究，找出局部的关系及变化规律，从而建立整个物理过程（或几何图形）的数量关系，再加以综合计算，最终得出整体的量值.

元抽象分析法的思维模式为：

例2 计算曲边AabB 梯形的面积.

微积分中的“元素法”如图下图所示，在曲边梯形AabB 中，任取一个小的曲边梯形CEFD （即“元”），它的面积()CEFD S dS f x dx ≈=，由此求整个曲边梯形AabB 的面积

()b

AabB a S f x dx =⎰. 在元抽象分析中，选取的这个元（小部分）应是整体中任意抽取的，应具有“代表性”如果这个元一经找到，整个结果也就迎刃而解了.

追溯型分析法

追溯性分析法是将研究对象看成一个整体，假设它存在或成立的情况下，将它分解为各个部分，再研究各个组成部分存在的原因或成立的条件，从而得出整体事物存在的原因或原命题成立的条件.

追溯型分析法的思维模式为：

例3 设x 、y 、z 为互不相等的正数，求证 6x y y z z x z x y

+++++>. 证 先将证明的不等式 6x y y z z x z x y

+++++>. 看成一个整体，并且假设它成立，然后通过变形，将它分解成一些适当的部分 6x y y z z x z z x x y y

+++++>. 再通过适当的组合，将不等式左端的各个部分进行结合而组成新的部分 ()()()6x

z y z y x z x z y x y

+++++>. 再分析三个新的部分：

,,x z y z y x z x z y x y +++，由于 22

22

22

2,2,2,x z x z z x xz

y z y z z y yz

y x x y x y xy

++=>++=>++=> 因而根据题设条件，这三个部分显然成立，所以原不等式成立.

追溯型分析法的关键是如何恰当地将整体分解为各个组成部分，并寻求出各部分成立的条件，这两个问题一旦解决，整体成立的条件就不难的到了.

3．构造分析法

构造分析法是将研究对象中成立的部分和不明确的部分看作是成立的情况下（因而整个事物也被看作是成立的，此即为“构造”）来进行分析研究的，由此找出不明确部分成立的条件，从而得出整体事物成立的条件.

构造型分析发的思维模式为：

例4 已知A B 、为锐角三角形的两内角，求证：tan tan 1A B >.

证 ABC 是研究的整体，它的边角以及有关线段、比值等都是他的组成部分，

A B C 、、为锐角是整体中成立的部分，tan tan 1A B >是整体中不明确的部分.现在的问题为：在假设 tan tan 1A B >

成立的情况下，要找出不明确的部分tan tan 1A B >成立的条件，从而得出整体事物成立的条件.

要使tan tan 1A B >，如下图所示，由于 2

tan tan ,CD CD CD A B AD BD AD BD

== 只需 2

1,CD AD BD > 即2

.CD AD BD >

这样不明确的部分变为找出使2CD AD BD >成立的条件.假若能在CD 所在的直线上找一点E ,使得2,ED AD BD =并且有.CD ED >(此时22CD ED AD BD >=),则不明确部分又变为2ED AD BD =,且CD ED >.

由于我们假设不明确的部分是成立的，在现在的情况下就是有假设有2ED AD BD =,且CD ED >.根据这一假设，就不难在CD 所在的直线上找出点E ：以AB 为直径的圆与线段CD 的交点，因而命题是成立的，即有 tan tan 1A B >.

4.前进型分析法

前进型分析法是从整体事物中成立的某一部分出发，逐步寻找扩及其他部分成立的条件，最终得出是原整体事物成立的条件.

前进型分析法的思维模式为：

5.混合性分析法

混合性分析法是从命题的充分性出发，由前进型分析法进行至某一中间结果，再从命题的必要条件出发，用追溯型分析法追溯至同一中间结果，进而获得全过程的思维方法，因此，混合型分析法，也称之为“中途点发”.

混合型分析法的思维模式为：

例 5 已知三角形的三个内角A B C 、、成等差数列出发，由前进型分析法可得60B ∠=,于是得到中间结果：222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-..

再从问题的必要条件 113a b b c a b c

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