位移法
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第十六章位移法
16.1 位移法的基本概念
位移法是以节点位移作为基本未知量求解超静定结构的方法。
16.1.1 位移法基本变形假设：
1. 各杆端之间的轴向长度在变形后保持不变；
2. 刚性节点所连各杆端的截面转角是相同的
16.1.2 位移法的基本未知量
力法的基本未知量是未知力，位移法的基本未知量是节点位移。(节点是指计算节点)。节点位移分为节点角位移和节点线位移两种。每一个独立刚节点有一个转角位移(基本未知量)，是整个结构的独立刚节点总数。
角位移数为6 角位移数为1
对于结点线位移，由于忽略杆件的轴向变形。这两个节点线位移中只有一个是独立的，称为独立节点线位移。
独立节点线位移为位移法一种基本未知量。独立节点线位移的数目可采用铰接法确定(即将所有刚性结点改为铰结点后，添加辅助链杆使其成为几何不变体的方法) 。“限制所有节点线位移所需添加的链杆数就是独立节点线位移数”。
独立节点线位移数为1 独立节点线位移数为2
16.1.3 位移法的杆端内力
位移法中杆端弯矩、固端剪力正负号规定：杆端弯矩使杆端顺时针转向为正。固端剪力使杆端顺时针转向为正。位移法中节点弯矩正负号规定：节点弯矩使节点逆时针转为正。固端弯矩是荷载引起的固端弯矩,固端剪力是荷载引起的固端剪力。固端弯矩、固端剪力可通过查表16.1获得。
i称为线刚度：
EI
i
l
其中：EI是杆件的抗弯刚度；l 是杆长。
16.2 位移法的原理
将刚架拆为两个单杆。AB杆B端为固定支座，A端为刚节点，视为固定支座。AC杆C
端为固定铰支座，A 端为刚节点，视为固定支座。
写出各杆的杆端弯矩表达式（注意到AC 杆既有荷载，又有节点角位移，故应叠加：
以上各杆端弯矩表达式中均含有未知量θA ，所以又称为转角位移方程。
把上面的表达式代入：
再把i θA 代回各杆端弯矩式得到：
16.3 位移法的应用
位移法求解超静定结构的一般步骤如下： 1、确定基本未知量；
2、将结构拆成超静定(或个别静定)的单杆；
3、查表16 .1，列出各杆端转角位移方程。
16
3
342=-===CA A AC A AB A BA M Fl i M i M i M θθθ0
A
M
=∑0AB AC M M +=343016A A i i Fl θθ+-=3
112
A i Fl
θ=3566566560
BA AB AC AC
M Fl M Fl M Fl
M ===-=
4、根据平衡条件建立平衡方程
（一般对有转角位移的刚结点取力矩平衡方程，有结点线位移时，则考虑线位移方向的静力平衡方程）。
5、解出未知量，求出杆端内力。
6、作出内力图。
例16.1 用位移法作连续梁的弯矩图，已知3
2
F ql =
，各杆刚度EI 为常数。
解 1. 确定基本未知量。连续梁只有一个刚节点B ， 2. 将连续梁拆成两个单杆梁，
3. 写出转角位移方程（两杆的线刚度相等）：
4. 考虑刚节点B 的力矩平衡，
（负号说明B θ逆时针转）
5. 代回转角位移方程，求出各杆的杆端弯矩：
2
2
2
13
2281613
448161
38
AB B B BA B B BC B CB M i Fl i ql M i Fl i ql M i ql M θθθθθ=-=-=+=+=-=0
B
M
=∑0
BA BC M M +=2
143016
B B i i ql θθ++=21112
B i ql θ=-
6. 根据杆端弯矩求出杆端剪力，
7. 并作出弯矩图、剪力图。
弯矩图
剪力图
例16.2 用位移法计算图示超静定刚架，并作出此刚架的内力图。
解：1. 确定基本未知量：此刚架有B 、C 两个刚节点，所以有两个转角位移，分别记作
C θ、B θ，各杆的线刚度均相等
2. 将刚架拆成单杆
22
22
22
32321611231741611211738112
0AB B BA B BC B CB M i ql ql M i ql ql
M i ql ql
M θθθ=-
=-=+==-=-=
3．写出转角位移方程（各杆的线刚度均相等）
4. 考虑刚节点B 、C 的力矩平衡，建立平衡方程。
将上两式联立，解得两未知量为：
（负号说明C θ是逆时针转）
2
2
241
421212412
423AB B BA B
BC B C CB B C CD C
DC C CE C
M i M i M i i ql M i i ql M i M i M i θθθθθθθθθ===+-=++===0
B
M
=∑0
BA BC M M +=21820
12B C i i ql θθ+-=0
C
M
=∑0
CB CD CE M M M ++=21
2110
2B C i i ql θθ++=2
13
1008
B i ql θ=
2
5
1008
C i ql θ=-