随机系统建模与仿真
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2 随机过程、样本函数 随机过程(Stochastic Process)：设 Sk
（ k 1,）2,是...随机实验， 每一次实
验都有一条时间波形（称为样本函数），记
为 X (t，) 所有可能出现的结果总体 x1(t), x2(t),...
就构成一随机过程，记作 xi (t。) 如图6-1
所示。
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6.1 随机系统基本知识
6.1.1 随机系统概述
1 随机事件与随机变量
随机事件:在随机实验中，可能出现也可能
不出现，而在大量重复实验中具有某种规律
性的事件。
随机变量:设S为随机实验，它的样本空间
为 ，对于每一个
，有一个实数
与之对应，则X 就称之为随机变X量。
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6.1 随机系统基本知识(续）
布。若连续型随机变量 X的概率密度函数为
f (x)
1
x 2
e 2 2
2
(6.12)
其中 为大于零的常数，则 称X 服从参数 的,正
态分布，记作 X ~ (。, 2 )
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6.1 随机系统基本知识(续）
(3)泊松分布
若离散型随机变量 X的概率分布为
Fk
F(xk )
k e
k!
k 0,1, 2,
②随机变量 x的均方值 E(定x2义) 为
E( x2 ) x2 f ( x)dx
③随机变量 x的均方根 rms定(x义) 为
rms( x)
E ( x 2
1
)
2
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rms(x)
(6.6) (6.7) (6.8)
6.1 随机系统基本知识(续）
4 方差 x2
随机变量 x的方差 定x义2 为
若随机变量的概率密度函数为
f
(x)
ap
(
p)
x p1eax
x0
(6.16)
0
x0
其中p>0为常数，则称X服从a,p参数的 分布。
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6.1 随机系统基本知识(续）
k个相互独立，具有相同分布的指数分布随机 变量之和服从爱尔朗分布。即若有k个相互独立 的机变量 ，Xi 其概率密度函数为
分布。
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6.1 随机系统基本知识(续）
（a）指数分布的曲线 (b) 指数分布的曲线 图6-5 指数分布曲线
第15页/共88页
6.1 随机系统基本知识(续）
(5) 分布和爱尔朗分布
以p为参数的广义积分0 exxp，1d当x p>0时收
敛，它所确定的函数p称为 的函数，记作
( p) ex xP1dx 0
如下：
联合概率分布函数
FX
联合概率密度函数
,Y
( x,
y)
2 xy
F (x,
y)
(6.4)
F (x, y) FX ,Y ( X x,Y y)
(6.5)
第6页/共88页
6.1 随机系统基本知识(续）
3 均值 E(x、) 均方值
、E(均x2方) 根
①随机变量 x的均值 E定(x义) 为
E(x) xf (x)dx
x2
均方根
rms(x)
概率分 布函数
F(x)
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6.1 随机系统基本知识(续）
1 概率密度函数 f (x)
x 概率密度函数 f表(x示) 每个 值发生的可能
性，即每个事件发生的概率分布，表示其中
一个事件。
概率密度函数 的f (x性) 质如下
f (x) 0
(6.1)
f (x)dx 1
x2 E x E(x)2 E(x2) E2(x)
(6.9)
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6.1 随机系统基本知识(续）
常用的几种概率分布
分布类型
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6.1 随机系统基本知识(续）
(1)均匀分布
若在区间 (a,中b)，连续型随机变量
数为
f
(x)
b
1
a
a xb
0
其它
的X概率密度函 （6.10）
则 X称在区间 (a上,b服) 从均匀分布，记作
。
X ~ U (a,b)
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6.1 随机系统基本知识(续）
均匀分布的概率密度函数和分布函数可 用图6-2的曲线表示。
图6-2 均匀分布的分布曲线
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6.1 随机系统基本知识(续）
(2)正态分布 正态分布又称为高斯分布，是最常用的一种连续分
f (x) kekx
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6.1 随机系统基本知识(续）
那么，随机变量
T X1 X2 Xk
其概率密度函数为
f
(t
)
(k
(k
)k 1)!
t
k
e 1 k
t
0
t 0 t0
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6.1.3 随机过程的统计特性
1
幅值域(时域)特性
2
自相关域特性
3
频域特性
第19页/共88页
(6.13)
其中 为0常数，则称 服X从参数 的泊松分
布，记作 X ~ Pois。son其(中) 参数 为泊松 分布
随机变量 X的均值和方差。
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6.1 随机系统基本知识(续）
(4)指数分布 若连续型随机变量的概率密度函数为
ex x 0
f (x) 0 x0
(6.14)
其中 为0常数，则称 服X从参数 的指数
6.1 随机系统基本知识(续）
S1
S2 Sn
样本空间
x1(t) x2(t)
t t (t)
xn(t) t
tk
图6-1 样本函数的总体----随机过程
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6.1 随机系统基本知识(续）
6.1.2 随机变量的统计特性
均值
E(x)
均方值
E(x2)
概率密度 函数 f (x)
随机变量的统计特性 方差
E ( xK
(t))
E(
X
(t))
源自文库
lim
T
1 T
T
0 xK (t)dt
(2)方差
2 xK
2X
lim 1 T T
T 0
xK (t) E
xK (t) 2
dt
(3)均方值
2 xK
2 x
lim
T x2 (t) dt
0
T
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(6.18) (6.19) (6.20)
6.1.3 随机过程的统计特性(续）
1.幅值域(时域)特性 对于各态历经平稳随机过程（即平稳随机
过程的数据特征与一个样本函数 xK (的t) 时间平 均数据特征相同），随机过程统计特性可以简 化为 xK (的t) 时间统计特性。统计特性有:
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6.1.3 随机过程的统计特性(续）
(1)均值
(6.2)
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6.1 随机系统基本知识(续）
2 概率分布函数 F (x)
x ①随机变量 的概率分布函数 F是(x指) 变量的值小
x 于或者等于 的随机变量的概率。
F(定x) 义为
F(x) x f (x)d(x6.3)
②如果有两个随机变量 X ，,Y则可以用联合概率分
布函数及联合概率密度函数来加以描述，定义
（ k 1,）2,是...随机实验， 每一次实
验都有一条时间波形（称为样本函数），记
为 X (t，) 所有可能出现的结果总体 x1(t), x2(t),...
就构成一随机过程，记作 xi (t。) 如图6-1
所示。
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6.1 随机系统基本知识
6.1.1 随机系统概述
1 随机事件与随机变量
随机事件:在随机实验中，可能出现也可能
不出现，而在大量重复实验中具有某种规律
性的事件。
随机变量:设S为随机实验，它的样本空间
为 ，对于每一个
，有一个实数
与之对应，则X 就称之为随机变X量。
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6.1 随机系统基本知识(续）
布。若连续型随机变量 X的概率密度函数为
f (x)
1
x 2
e 2 2
2
(6.12)
其中 为大于零的常数，则 称X 服从参数 的,正
态分布，记作 X ~ (。, 2 )
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6.1 随机系统基本知识(续）
(3)泊松分布
若离散型随机变量 X的概率分布为
Fk
F(xk )
k e
k!
k 0,1, 2,
②随机变量 x的均方值 E(定x2义) 为
E( x2 ) x2 f ( x)dx
③随机变量 x的均方根 rms定(x义) 为
rms( x)
E ( x 2
1
)
2
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rms(x)
(6.6) (6.7) (6.8)
6.1 随机系统基本知识(续）
4 方差 x2
随机变量 x的方差 定x义2 为
若随机变量的概率密度函数为
f
(x)
ap
(
p)
x p1eax
x0
(6.16)
0
x0
其中p>0为常数，则称X服从a,p参数的 分布。
第16页/共88页
6.1 随机系统基本知识(续）
k个相互独立，具有相同分布的指数分布随机 变量之和服从爱尔朗分布。即若有k个相互独立 的机变量 ，Xi 其概率密度函数为
分布。
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6.1 随机系统基本知识(续）
（a）指数分布的曲线 (b) 指数分布的曲线 图6-5 指数分布曲线
第15页/共88页
6.1 随机系统基本知识(续）
(5) 分布和爱尔朗分布
以p为参数的广义积分0 exxp，1d当x p>0时收
敛，它所确定的函数p称为 的函数，记作
( p) ex xP1dx 0
如下：
联合概率分布函数
FX
联合概率密度函数
,Y
( x,
y)
2 xy
F (x,
y)
(6.4)
F (x, y) FX ,Y ( X x,Y y)
(6.5)
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6.1 随机系统基本知识(续）
3 均值 E(x、) 均方值
、E(均x2方) 根
①随机变量 x的均值 E定(x义) 为
E(x) xf (x)dx
x2
均方根
rms(x)
概率分 布函数
F(x)
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6.1 随机系统基本知识(续）
1 概率密度函数 f (x)
x 概率密度函数 f表(x示) 每个 值发生的可能
性，即每个事件发生的概率分布，表示其中
一个事件。
概率密度函数 的f (x性) 质如下
f (x) 0
(6.1)
f (x)dx 1
x2 E x E(x)2 E(x2) E2(x)
(6.9)
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6.1 随机系统基本知识(续）
常用的几种概率分布
分布类型
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6.1 随机系统基本知识(续）
(1)均匀分布
若在区间 (a,中b)，连续型随机变量
数为
f
(x)
b
1
a
a xb
0
其它
的X概率密度函 （6.10）
则 X称在区间 (a上,b服) 从均匀分布，记作
。
X ~ U (a,b)
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6.1 随机系统基本知识(续）
均匀分布的概率密度函数和分布函数可 用图6-2的曲线表示。
图6-2 均匀分布的分布曲线
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6.1 随机系统基本知识(续）
(2)正态分布 正态分布又称为高斯分布，是最常用的一种连续分
f (x) kekx
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6.1 随机系统基本知识(续）
那么，随机变量
T X1 X2 Xk
其概率密度函数为
f
(t
)
(k
(k
)k 1)!
t
k
e 1 k
t
0
t 0 t0
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6.1.3 随机过程的统计特性
1
幅值域(时域)特性
2
自相关域特性
3
频域特性
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(6.13)
其中 为0常数，则称 服X从参数 的泊松分
布，记作 X ~ Pois。son其(中) 参数 为泊松 分布
随机变量 X的均值和方差。
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6.1 随机系统基本知识(续）
(4)指数分布 若连续型随机变量的概率密度函数为
ex x 0
f (x) 0 x0
(6.14)
其中 为0常数，则称 服X从参数 的指数
6.1 随机系统基本知识(续）
S1
S2 Sn
样本空间
x1(t) x2(t)
t t (t)
xn(t) t
tk
图6-1 样本函数的总体----随机过程
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6.1 随机系统基本知识(续）
6.1.2 随机变量的统计特性
均值
E(x)
均方值
E(x2)
概率密度 函数 f (x)
随机变量的统计特性 方差
E ( xK
(t))
E(
X
(t))
源自文库
lim
T
1 T
T
0 xK (t)dt
(2)方差
2 xK
2X
lim 1 T T
T 0
xK (t) E
xK (t) 2
dt
(3)均方值
2 xK
2 x
lim
T x2 (t) dt
0
T
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(6.18) (6.19) (6.20)
6.1.3 随机过程的统计特性(续）
1.幅值域(时域)特性 对于各态历经平稳随机过程（即平稳随机
过程的数据特征与一个样本函数 xK (的t) 时间平 均数据特征相同），随机过程统计特性可以简 化为 xK (的t) 时间统计特性。统计特性有:
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6.1.3 随机过程的统计特性(续）
(1)均值
(6.2)
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6.1 随机系统基本知识(续）
2 概率分布函数 F (x)
x ①随机变量 的概率分布函数 F是(x指) 变量的值小
x 于或者等于 的随机变量的概率。
F(定x) 义为
F(x) x f (x)d(x6.3)
②如果有两个随机变量 X ，,Y则可以用联合概率分
布函数及联合概率密度函数来加以描述，定义