弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程
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板壳理论 15
2 wt at 2 t 2 wt qi m t 2
wt wt ( x, y, t )
其中qi — 薄板的惯性力（单位面 积）
其中m — 薄板单位面积的质量
D 4 we q
2 we 0 t 2
2 wt D ( wt we ) m 2 t 2 4 D ( wt we ) m 2 ( wt we ) t
1 D 振形函数 2x y 4 W sin sin 21 2 2 21 a b b m a 薄板在x有两个正弦半波，y方向有一个正弦半波。 a 在x 处，挠度为零 2
2
——称为节线，在薄板振动时保持静止。
板壳理论 薄板的振动问题 8
（3）当m=1,n=2时，得到
薄板的振动分为横向振动和纵向振动薄板的自由振1薄板的振动频率特别是最低频率2已知初始条件薄板在任一瞬时的挠度进而求得瞬时内力板壳理论薄板的振动问题弹性曲面微分方程二薄板自由振动的微分方程称为静挠度此时所受的横向荷载为薄板的惯性力单位面其中薄板单位面积的质量其中板壳理论薄板的振动问题若将坐标选在平衡位臵则任一瞬时的挠度可写为设微分方程具有如下解挠度的形式则有薄板自由振动的微分方程三振动的挠度与频率一般解sincos1薄板上在给定任意点的挠度可以表示成无数多个简谐振动下挠度的叠加各个简谐振动的频率是2在每一瞬时t薄板的挠度被表示成无数多种振形下的挠度叠加而每一种振形下的挠度是由振形函数表示
横向振动是工程中的重要问题，而纵向振动在工程中无关重要，且数学 上难以处理，故本章只讨论横向振动
薄板的自由振动： 在一定荷载作用下处于平衡位臵的薄板，受到干扰力 的作用而发生垂直于中面的挠度和速度，去掉干扰力 后，在该平衡位臵附近作微幅振动。 在此讨论 （1）薄板的振动频率，特别是最低频率 （2）已知初始条件，薄板在任一瞬时的挠度，进而求 得瞬时内力
wt wt ( x, y, t )
其中qi — 薄板的惯性力（单位面 积）
其中m — 薄板单位面积的质量
D 4 we q
2 we 0 t 2
2 wt D ( wt we ) m 2 t 2 4 D ( wt we ) m 2 ( wt we ) t
1 D 振形函数 2x y 4 W sin sin 21 2 2 21 a b b m a 薄板在x有两个正弦半波，y方向有一个正弦半波。 a 在x 处，挠度为零 2
2
——称为节线，在薄板振动时保持静止。
板壳理论 薄板的振动问题 8
（3）当m=1,n=2时，得到
薄板的振动分为横向振动和纵向振动薄板的自由振1薄板的振动频率特别是最低频率2已知初始条件薄板在任一瞬时的挠度进而求得瞬时内力板壳理论薄板的振动问题弹性曲面微分方程二薄板自由振动的微分方程称为静挠度此时所受的横向荷载为薄板的惯性力单位面其中薄板单位面积的质量其中板壳理论薄板的振动问题若将坐标选在平衡位臵则任一瞬时的挠度可写为设微分方程具有如下解挠度的形式则有薄板自由振动的微分方程三振动的挠度与频率一般解sincos1薄板上在给定任意点的挠度可以表示成无数多个简谐振动下挠度的叠加各个简谐振动的频率是2在每一瞬时t薄板的挠度被表示成无数多种振形下的挠度叠加而每一种振形下的挠度是由振形函数表示
横向振动是工程中的重要问题，而纵向振动在工程中无关重要，且数学 上难以处理，故本章只讨论横向振动
薄板的自由振动： 在一定荷载作用下处于平衡位臵的薄板，受到干扰力 的作用而发生垂直于中面的挠度和速度，去掉干扰力 后，在该平衡位臵附近作微幅振动。 在此讨论 （1）薄板的振动频率，特别是最低频率 （2）已知初始条件，薄板在任一瞬时的挠度，进而求 得瞬时内力
四边支承矩形薄板自振频率计算
四边支承矩形薄板自振频率计算1. 基本假定及振动微分方程弹性板是假定其厚度远小于其他两尺寸的板，且材料假设为各向同性。
板的振动理论是以以下几个假定为基础的：1）板中原来在中面法线上的各点，在板弯曲变形后仍在中面的法线上。
这个假设称为直法线假设，表示横向剪切变形忽略不计。
2）板的挠度比板厚小很多，板弯曲时中面不产生变形，即中面为中性面。
3）板的横向正应力与其他两个方向正应力相比较，可以忽略不计。
在此基础上，若假定板的挠度不从平面位置算起，而从平衡位置算起，对板内平行六面体进行微元分析，由平衡条件、变形协调条件和物理方程得板的弯曲平衡方程式，然后分析板在振动过程中的动力平衡，可得板的自由振动微分方程[1]：022********=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂twm y x w D y w D x w D （1） 等式中)1(1223ν-=Eh D ，式中： m 为板的单位面积的质量；D 为板的弯曲刚度,E ,ν分别为板的弹性模量和泊松比，h 为板的厚度。
微分方程(1)的解答形式为薄板上每一点),(y x 的挠度),()sin cos (1y x W t B t A w m m m m m m ωω+=∑∞=。
被表示成无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的圆频率是m ω。
另一方面，薄板在每一瞬时t 的挠度，则表示成为无数多种振形下的挠度相叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数),(y x W m 表示的，为求出各种振形下的振形函数m W ，以及与之相应的圆频率m ω，我们取),()sin cos (y x W t B t A w ωω+=代入方程（1）消除因子)sin cos (t B t A ωω+得到振形微分方程：0222244444=-∂∂+∂∂+∂∂W m yx WD y W D x W D ω (2) 2. 边界条件振形函数需要满足各边界条件，板的边界一般有固支边，简支边，自由边三种情况，这里以x=0的边为例，其相应的边界条件为：固定边：沿固定边的位移和转角为0，即0)(0==x W ，0)(0=∂∂=x xW； 简支边：沿简支边的位移和弯矩为0，即0)(0==x W ，0)(022=∂∂=x xW；自由边：沿自由边的弯矩和剪力为0，即0)(02222=∂∂+∂∂=x y W x W ν，0))2((02333=∂∂∂-+∂∂=x yx Wx W ν 对于四边支承板有如下6中不同边界条件：（a ） （b ）（c ） （d ）（e ） （f ）一般而言，假定合适的位移函数，利用边界条件可以求解上述微分方程。
应用力学学报-弹性梁式 薄板在横向绕流中的大 变形
x 弯曲应力 ∃ 图 4 是上述条件下 ∃ x 沿 x 轴的变化曲线。 由图
可知 , 当流体以恒速运动绕流悬臂梁式薄板时 : ∃x 的 数值由固定端沿 x 轴单调递减至零 ; 越临近固定端 , 弯曲应力 ∃ x 曲线的梯度越大。 综上所述, 流速、 板的几何尺寸、 材料属性对位 移和应力的影响都很明显 : 横向位移、 纵向位移的绝
066004
摘要: 采用相容拉格朗日 欧拉( UL E) 法 , 给出了弹性薄板理想流体横向绕流条件下变形与应力的 理论算法, 其中 : 对固体采用拉格朗日法 ; 对流体采用欧拉法 ; 对相互接触面采用拉格朗日法和欧拉 法。建立了不间断横向绕流条件下弹性梁式薄板的大弯曲变形的非线性微分方程 。 求解该方程 时, 将纵向位移分量和曲率的改变量用挠度表示。 通过具体算例分析了各参数对悬臂梁式薄板挠 度、 纵向位移及应力大小的影响。理论解与数值解进行比较 , 验证了理论解的可靠性 。 关键词 : 流固耦合; 相容拉格朗日 欧拉 ( UL E) 法 ; 梁式板; 挠度 ; 纵向位移 ; 应力 中图分类号 : O33; T B12 文献标识码: A 结合这两种方法。其优点在于: 在求解流固耦合问 题时, 可以直接利用流体力学和固体力学中的基本 方程。在接触面上应用这两种描述方法 , 建立接触 面的运动学条件和动力学条件, 从初始状态下表面 接触条件的导出到运动状态下接触条件的确定, 通 过动力学方程、 边界条件就可以使这两种方法相互 联系起来。采用此法建立有关的流固耦合方程和关 系式, 可方便地求解壳体的内力和变形及流场流动 状态的变化。 本文应用 UL E 法, 求解了弹性悬臂梁式薄板在 理想流体横向绕流条件下的变形和应力, 并讨论了流 速、 板的几何尺寸、 材料性质对变形和应力的影响。
2 * * *
可知 , 当流体以恒速运动绕流悬臂梁式薄板时 : ∃x 的 数值由固定端沿 x 轴单调递减至零 ; 越临近固定端 , 弯曲应力 ∃ x 曲线的梯度越大。 综上所述, 流速、 板的几何尺寸、 材料属性对位 移和应力的影响都很明显 : 横向位移、 纵向位移的绝
066004
摘要: 采用相容拉格朗日 欧拉( UL E) 法 , 给出了弹性薄板理想流体横向绕流条件下变形与应力的 理论算法, 其中 : 对固体采用拉格朗日法 ; 对流体采用欧拉法 ; 对相互接触面采用拉格朗日法和欧拉 法。建立了不间断横向绕流条件下弹性梁式薄板的大弯曲变形的非线性微分方程 。 求解该方程 时, 将纵向位移分量和曲率的改变量用挠度表示。 通过具体算例分析了各参数对悬臂梁式薄板挠 度、 纵向位移及应力大小的影响。理论解与数值解进行比较 , 验证了理论解的可靠性 。 关键词 : 流固耦合; 相容拉格朗日 欧拉 ( UL E) 法 ; 梁式板; 挠度 ; 纵向位移 ; 应力 中图分类号 : O33; T B12 文献标识码: A 结合这两种方法。其优点在于: 在求解流固耦合问 题时, 可以直接利用流体力学和固体力学中的基本 方程。在接触面上应用这两种描述方法 , 建立接触 面的运动学条件和动力学条件, 从初始状态下表面 接触条件的导出到运动状态下接触条件的确定, 通 过动力学方程、 边界条件就可以使这两种方法相互 联系起来。采用此法建立有关的流固耦合方程和关 系式, 可方便地求解壳体的内力和变形及流场流动 状态的变化。 本文应用 UL E 法, 求解了弹性悬臂梁式薄板在 理想流体横向绕流条件下的变形和应力, 并讨论了流 速、 板的几何尺寸、 材料性质对变形和应力的影响。
2 * * *
第十五章--薄板的振动问题(徐芝纶第四版)
2 r2
1 r
r
1 r2
2
2
2
W
0
得常微分方程
d2 F d r2
或
2 r2
1 r
r
1 r2
2
2
2
W
0
取振形函数为如下的形式：
W F(r) cosn
其中n=0，1，2，…。相应于n＝0，振形是轴对 称的。相应于n＝1, 2；圆板的环向围线将分别 具有一个及两个波，板的中面将分别具有一根 或两根径向节线，余类推。将上式代入式
(1)试求薄板振动的频率，特别是最低频 率。
(2)设已知薄板的初始条件，即已知初挠 度及初速度，试求薄板在任一瞬时的挠度。
当然，如果求得薄板在任一瞬时的挠度， 就易求得薄板在该瞬时的内力。
设薄板在平衡位置的挠度为we＝we(x，y)，这
时，薄板所受的横向静荷为q＝q(x，y)。按照薄板 的弹性曲面微分方程，我们有：
kx ny
Dkn sin a sin b
Ckn
4 ab
a 0
b
kx ny
0 w0 sin a sin b d x d y
Dkn
4 ab
a 0
b 0
v0
sin
kx
a
sin
ny
b
d
x
d
y
根据初始条件为
(w)t0 w0( x, y)
可得
w t
t0
薄板在平行于中面方向的所谓纵向振动，由 于它在工程实际中无关重要，而且在数学上也难 以处理，所以不加讨论。首先来讨论薄板的自由 振动。
弹性力学的基本方程
弹性力学的基本方程引言：弹性力学是研究物体在受力作用下的形变和应力分布规律的一门学科。
作为物理学和工程学的重要组成部分，弹性力学在众多领域中扮演着重要角色。
一、背景介绍弹性力学的研究对象是弹性体，它是指在外力作用下能够发生可逆形变的物质。
而这种可逆形变与外力的大小和形状是密切相关的。
二、应变与应力的关系在弹性力学中，应变是指物体在外力作用下发生的形变。
应变可以分为线性应变和非线性应变。
而应力则是物体单位面积上的力，它与应变密切相关。
弹性力学的基本原理之一是胡克定律，它表明应力与应变成正比。
三、弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程是描述物体在弹性形变下的运动和力学性质的数学方程。
其中最基本的方程是平衡方程和弹性本构方程。
1. 平衡方程平衡方程是根据牛顿第二定律推导出来的，它描述了物体在力的作用下的平衡状态。
根据平衡方程，物体所受的外力与物体的质量和加速度之间存在着等式关系。
在弹性力学中，平衡方程包括了动力学平衡方程和力学平衡方程。
2. 弹性本构方程弹性本构方程描述了应力与应变之间的关系。
由于弹性体的应力与应变呈线性关系，因此可以用弹性模量来表示。
最常见的弹性本构方程是胡克定律，它表明应力与应变成正比，在各向同性的弹性体中，胡克定律可以表示为：σ = Eε其中，σ表示应力，E代表弹性模量，ε表示应变。
弹性本构方程的具体形式可以根据材料的性质和应变分布进行推导和求解。
四、应用与发展弹性力学理论不仅在工程领域中有着广泛应用，还在石油勘探、地震学、生物力学等领域发挥着重要作用。
它的应用不仅仅局限于弹性材料的研究，还可以用于推断地壳的应力状态、预测地震的发生等。
随着科学技术的不断发展，弹性力学理论也在不断完善和拓展，为实际问题的解决提供了重要的理论支持。
结语：弹性力学作为一门重要的学科，通过建立和研究各种力学方程，揭示了弹性体变形和应力分布的规律。
它不仅在工程领域有着广泛应用，还涉及到地震学、生物力学等多个领域。
弹性力学 薄板弯曲
10
zx x yx
z
x y
zy y xy
z
y x
将应力分量用挠度 表示的物理方程代入上式，并化
简得：
zx
z
1
Ez
2
2
x
zy
z
1
Ez
2
2
y
由于挠度 不随z 变化，且薄板在上下面的边界条
件为：
zx z t 0, 2
zy z t 0 2
11
将上列二式对z 进行积分，得：
16
将上节给出的应力分量与挠度 之间关系代入，并积分
得：
Mx
D
2
x 2
ห้องสมุดไป่ตู้
2
y 2
My
D
2
y 2
2
x 2
M xy
M yx
D1 2
xy
Qx
D
2
x
Qy
D
y
2
上式称为薄板弯曲问题中内力与变形之间的弹性方程。
17
利用应力分量与挠度 之间的关系、薄板挠曲微分方 程以及内力与形变之间的弹性方程，消去 ，可以给出各
（1）几何方程
在薄板的中面上取一微
小矩形ABCD如图所示。它的 边长为dx和dy，载荷作用后， 弯成曲面A’B’C’D’。设A点的挠
度为 ，弹性曲面沿x和y方
向的倾角分别为 和 ，则
x y
A
dy A
w
D y
z
y
D
dx
w x
Bx
B
C
C
6
B点的挠度为 dx
x
D点的挠度为 dy
y
由
xz
0和
薄板的弹性曲面微分方程
板壳力学
Mechanics of Plate and Shell
§ 13-2 弹性曲面的微分方程
wq
三个位移 六个应变 六个应力
u(w), v(w), w
x (w), y (w), xy (w) z xz yz
x (w), y (w), z (w), xy (w), xz (w), yz (w)
y2 b2
1
2y b2
0
三.确定待定系数m
D4w q
4w
4w x4
2
4w x2y
2
4w y 4
4w
24 a4
m
2
a
8 2b2
24 b4 m
代入方程
8Dm
3 a4
2 a2b2
3 b4
q0
m
q0
8D
3 a4
2 a2b2
3 b4
四.m代入所设w
w
8D
3 a4
q0
2 a2b2
3 b4
A
B
y
O
b
z
A y
a
C
B
x 写出x=a边界条件 BC边
B点
§13-5 解法概述 逆法算例
一、解法概述
*1.正解法
*2.逆解法
*3.半逆法 的w
4. 迭加法
从方程解出含有待定系数的w 满足边界条件确定系数 预先满足边条选取具有待定系数w 用满足(13-10)定系数 预先满足部分边条选取有待定系数
1 b2
3y2 a4
y2 a2b2
1 a2
§13-6 双正弦级数解法—Navier
法
（逆法经
典解法之一）
适用范围 优点 缺点
Mechanics of Plate and Shell
§ 13-2 弹性曲面的微分方程
wq
三个位移 六个应变 六个应力
u(w), v(w), w
x (w), y (w), xy (w) z xz yz
x (w), y (w), z (w), xy (w), xz (w), yz (w)
y2 b2
1
2y b2
0
三.确定待定系数m
D4w q
4w
4w x4
2
4w x2y
2
4w y 4
4w
24 a4
m
2
a
8 2b2
24 b4 m
代入方程
8Dm
3 a4
2 a2b2
3 b4
q0
m
q0
8D
3 a4
2 a2b2
3 b4
四.m代入所设w
w
8D
3 a4
q0
2 a2b2
3 b4
A
B
y
O
b
z
A y
a
C
B
x 写出x=a边界条件 BC边
B点
§13-5 解法概述 逆法算例
一、解法概述
*1.正解法
*2.逆解法
*3.半逆法 的w
4. 迭加法
从方程解出含有待定系数的w 满足边界条件确定系数 预先满足边条选取具有待定系数w 用满足(13-10)定系数 预先满足部分边条选取有待定系数
1 b2
3y2 a4
y2 a2b2
1 a2
§13-6 双正弦级数解法—Navier
法
（逆法经
典解法之一）
适用范围 优点 缺点
第二章 薄板振动分析
第二章 薄板的振动问题
§2-1 薄板的自由振动
等厚度各向同性薄板的非齐次运动方程为
4w
m D
2w t 2
px, y,t
D
（1）
其中 m 为板的单位面积上的质量。p 为动载荷。
首先考虑齐次运动方程，即自由振动问题
4w m 2w 0 D t 2
（2）
令 w = T(t)W(x,y), 代入齐次方程，两边同除TW, 得
wt
ab 00
mx ny
0 sin a sin b
w sin mx st t0a来自dxdy cosmnt
in
ny
b
dxdy
sinmnt
s
in
mx
asinny
b
讨论 运用分离变量法解偏微分方程，必然导致固有值问题：
•分离变量法要求分离变量后每个函数有非零解，因此要求固有 值存在；
•方程和定解条件要求固有函数具有正交性和完备性； •非齐次初值条件或自由项（受迫振动时）或方程的解等，应能 用固有函数展开成平均收敛的级数。
2
2
dW dr
d2W dr 2
dr
对于夹支圆形薄板，可简化为
（7）
UW
Dr
d2W dr 2
2
1 r
dW dr
2
dr
（8）
设薄板振形泛函为
4W 2 m W 0
D
U
W
2
1 2
m
W
2dxdy
（9）
其中W为可能的振形函数。可以证明由泛函的驻值条件可以 导出方程（4）。
为了求固有频率或固有函数的近似解，设
32D
3a2
2m
§2-1 薄板的自由振动
等厚度各向同性薄板的非齐次运动方程为
4w
m D
2w t 2
px, y,t
D
（1）
其中 m 为板的单位面积上的质量。p 为动载荷。
首先考虑齐次运动方程，即自由振动问题
4w m 2w 0 D t 2
（2）
令 w = T(t)W(x,y), 代入齐次方程，两边同除TW, 得
wt
ab 00
mx ny
0 sin a sin b
w sin mx st t0a来自dxdy cosmnt
in
ny
b
dxdy
sinmnt
s
in
mx
asinny
b
讨论 运用分离变量法解偏微分方程，必然导致固有值问题：
•分离变量法要求分离变量后每个函数有非零解，因此要求固有 值存在；
•方程和定解条件要求固有函数具有正交性和完备性； •非齐次初值条件或自由项（受迫振动时）或方程的解等，应能 用固有函数展开成平均收敛的级数。
2
2
dW dr
d2W dr 2
dr
对于夹支圆形薄板，可简化为
（7）
UW
Dr
d2W dr 2
2
1 r
dW dr
2
dr
（8）
设薄板振形泛函为
4W 2 m W 0
D
U
W
2
1 2
m
W
2dxdy
（9）
其中W为可能的振形函数。可以证明由泛函的驻值条件可以 导出方程（4）。
为了求固有频率或固有函数的近似解，设
32D
3a2
2m
板壳理论 课件 chapter1 弹性薄板弯曲的基本理论
2w 2w M x D 2 0 2 y x 2w 2w M y D 2 0 y x 2 2w D(1 )x M xy M yx D(1 ) x y ab Qx D 2 w 0, Q y D 2 w 0 x y M xy y 0, V y Q y M yx x 0
M yx M yx dx dx 内力 x
M
yx
dx
在D处作用由扭矩折算的横剪力
M yx M yx x dx M yx M yx x dx
单位长度的横剪力 M yx x
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
因此，可以认为在边界上任意一点处作用有一折算 M yx 剪力 Vy Qy (1.3.6) x 同时可以看到，此时在边界的两端有未被抵消的集 中剪力R RAB M yx A , RBA M yx B (1.3.7) 于是自由边上的边界条件可以表示为在y=b处：
(1.4.11)
Vx Qx
[练习]
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
应该注意的是虽然分布反力Vx和Vy都为零，但 是集中反力是存在的，其大小为
2w 2 D(1 )x RB 2 D(1 ) xy ab B
(1.4.12)
可见薄板在B点受有向下的反力，类似地不难 看出板在O点受有同样大小的向下的反力，而在A 和C点则受有同样大小的向上的反力。 [练习]
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
考虑任一边界（不一定是自由边界）上所受的扭矩Myx。 在微段CD上： 内力Myxdx
在C处有一集中力Myx 在D处有一反向集中力Myx 在D处有一集中力 M yx yx dx x M 在E处有一反向集中力 M x
M yx M yx dx dx 内力 x
M
yx
dx
在D处作用由扭矩折算的横剪力
M yx M yx x dx M yx M yx x dx
单位长度的横剪力 M yx x
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
因此，可以认为在边界上任意一点处作用有一折算 M yx 剪力 Vy Qy (1.3.6) x 同时可以看到，此时在边界的两端有未被抵消的集 中剪力R RAB M yx A , RBA M yx B (1.3.7) 于是自由边上的边界条件可以表示为在y=b处：
(1.4.11)
Vx Qx
[练习]
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
应该注意的是虽然分布反力Vx和Vy都为零，但 是集中反力是存在的，其大小为
2w 2 D(1 )x RB 2 D(1 ) xy ab B
(1.4.12)
可见薄板在B点受有向下的反力，类似地不难 看出板在O点受有同样大小的向下的反力，而在A 和C点则受有同样大小的向上的反力。 [练习]
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
考虑任一边界（不一定是自由边界）上所受的扭矩Myx。 在微段CD上： 内力Myxdx
在C处有一集中力Myx 在D处有一反向集中力Myx 在D处有一集中力 M yx yx dx x M 在E处有一反向集中力 M x
弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程
定二维挠曲面问题，并使问题大为简化。从力学角度看，假定（ａ）认为直
法线永远与中面垂直，即横向剪切变形为零，也即横向剪应力比平面方
向弯曲应力要小很多；假定（ｂ）则认为垂直方向法应力也比弯曲应力小
得多。
在 假 定 （ａ）、（ｂ ）、（ｃ）下 建 立 的 平 板 理 论 一 般 称 为 泊 松 — 克 希 霍 夫
）ｙ＝ｙ０
＝
０，ｋΦ
鄣ｗ 鄣ｙ
＋Ｄ
鄣２ｗ 鄣ｙ２
＋μＤ
鄣２ｗ 鄣ｘ２
＝０
ｙ＝ｙ０
（２ｅ）
３、矩形薄板自由振动的解
设方程（１）的解为：
ｗ （ｘ，ｙ，ｔ）＝Ｗ （ｘ，ｙ）ｓｉｎ（ωｔ＋φ）
（３）
式中 Ｗ （ｘ，ｙ）为主振动，将式（３）代入式（１）中，可得：
鄣４Ｗ 鄣ｘ４
＋2
鄣４Ｗ 鄣ｘ２鄣ｙ２
＋
鄣４Ｗ 鄣ｙ４
挠度平板理论。建立了弹性薄板振动的基本方程，并列出各种边界条件
的数学模型，介绍了求解弹性薄板振动方程的求解思路，为不同边界条
件，不同尺寸的弹性薄板振动方程的求解提供了理论支持和思路指导。
参考文献 ［1］黄炎.弹性薄板理论［M］.北京：国防科学技术大学出版社，1992 ［2］曹志远.板壳振动理论［M］.北京：中国铁道出版社，1989 ［3］张英世，刘宗德.矩形薄板的横向振动［J］.工程力学，1997 增刊: 515- 518
－α４Ｗ ＝０
（４）
式中：α４＝ω２ ρh D
Ｗ （ｘ，ｙ）为 ｘ，ｙ 的函数，具体表达式和边界条件有关，根据各种不同的
边界条件写出 Ｗ （ｘ，ｙ）的形式，带入方程（４）和其相应的边界条件，可求出
Ｗ （ｘ，ｙ）的表达式。
三、总结
薄板的振动
对于矩形薄板两相邻边都是自由边，例如图6.5(a)中，y＝b和x＝a两边有公 共点，它们都是自由边，就是这种情况，这时还需要附加一个角点条件。如 果这个角点(x＝a，y＝b)处没有集中质量，也没有集中动载荷作用，那么该 角点条件是
2 f ( x, y, t ) 0 xy x a , y b
( y b) ( y b)
(r a) (r a)
圆形薄板
1 f (r , , t ) 1 2 f (r , , t ) 2 f (r , , t ) 2 0 r 2 r r r 2
2 1 1 2 f (r , , t ) 1 f (r, , t ) f (r , , t ) 2 0 r r r r r
D 2 f (r , , t ) r
山东理工大学 交通与车辆工程学院 5
2009-2
1 2 f (r , , t ) 1 f (r , , t ) 1 2 f (r , , t ) Q (r , , t ) D 2 2 r r r r r 2 D 1 2 f (r , , t ) r
2 f ( x, y, t ) 2 f ( x, y, t ) Qx ( x, y, t ) D x x 2 y 2
2 f ( x, y, t ) 2 f ( x, y, t ) Qy ( x, y, t ) D y x 2 y 2
2 21 2 (ch1 cos 2 1) ( 12 2 )sh1 sin 2 0
通常对于一个指定的m值，方程有无穷多个根
mn
2009-2
m2 2 K n (m)b K n (m) 2 a
板的振动
薄板的横向振动
1.薄板横向振动微分方程
2.薄板的边界条件
中面 当薄板弯曲变形时，中间弯成曲面，称为弹性曲面 板上任意一点沿x、y、z方向的位移分别用u、v、w表 示，其中w称为横向位移或挠度
克希霍夫的薄板理论有下面几个基本假设： （1）变形前与中面垂直的法线在板弯曲时仍保持为直线并 与弹性曲面垂直。这个假设称为直法线假设，它表示横向 剪切变形 xz yz 被忽略不计，虽然横向剪应力 yz 并不为零。 及 xz （2）板弯曲时板内的应力以弯曲应力 为主，而 为次要应力， 为更次要应力。 （3）板弯曲时厚度的变化略去不计。这表示 ，于 是与中面垂直的直线上各点都具有相同的横向位移w，即w 与z无关。 （4）板的挠度w比板的厚度h小得多。由这个假设认为，板 弯曲时中面不产生变形，即中面为中性面，因而中面内各 点都没有平行于中面的位移。
7.2 薄板的边界条件
1.固定边 薄板在AD边上的挠度为零，绕y轴的转角为零，因此AD边的边界条件为
w x 0 0
w x
x 0
0
（7.17）
2.简支边 薄板在AD边上的挠度为零，弯矩M x 为零，由式（7.11），AD边的边界 条件为
2w 2w w x 0 0，（ 2 2 ）x 0 0 x y
v 2w y z 2 z y y y
z z x y x y xy
2w x 2 x
y
2w 2 y
x y
2w 2 xy
（7.2）
图7-3
h
2w t 2
中面取出一矩形微元ABCD，弯曲变形 后成为曲面A’B’C’D’，如右图所示， 这个弹性曲面沿x、y方向的倾角分别为
在薄板中取一截面与oxz平面平行
1.薄板横向振动微分方程
2.薄板的边界条件
中面 当薄板弯曲变形时，中间弯成曲面，称为弹性曲面 板上任意一点沿x、y、z方向的位移分别用u、v、w表 示，其中w称为横向位移或挠度
克希霍夫的薄板理论有下面几个基本假设： （1）变形前与中面垂直的法线在板弯曲时仍保持为直线并 与弹性曲面垂直。这个假设称为直法线假设，它表示横向 剪切变形 xz yz 被忽略不计，虽然横向剪应力 yz 并不为零。 及 xz （2）板弯曲时板内的应力以弯曲应力 为主，而 为次要应力， 为更次要应力。 （3）板弯曲时厚度的变化略去不计。这表示 ，于 是与中面垂直的直线上各点都具有相同的横向位移w，即w 与z无关。 （4）板的挠度w比板的厚度h小得多。由这个假设认为，板 弯曲时中面不产生变形，即中面为中性面，因而中面内各 点都没有平行于中面的位移。
7.2 薄板的边界条件
1.固定边 薄板在AD边上的挠度为零，绕y轴的转角为零，因此AD边的边界条件为
w x 0 0
w x
x 0
0
（7.17）
2.简支边 薄板在AD边上的挠度为零，弯矩M x 为零，由式（7.11），AD边的边界 条件为
2w 2w w x 0 0，（ 2 2 ）x 0 0 x y
v 2w y z 2 z y y y
z z x y x y xy
2w x 2 x
y
2w 2 y
x y
2w 2 xy
（7.2）
图7-3
h
2w t 2
中面取出一矩形微元ABCD，弯曲变形 后成为曲面A’B’C’D’，如右图所示， 这个弹性曲面沿x、y方向的倾角分别为
在薄板中取一截面与oxz平面平行
第三章板壳理论
m W D W
求得相应的固有频率。
§3.1 薄板的自由振动
引入符号：
4
mp D
2
关于振型函数的微分方程变为：
W W 0
4
利用边界条件，并求解上式，就可以得到W 。 利用初始条件，求解 w Ai cos pi t Bi sin pi t Wi 中的 i 1 待定系数 A和 Bi 。 i 设初始条件为：
3333coshsinhcossinsin组齐次代数方程这个代数方程有非零解的条件是系数行列式等于零从而得到计算固有频率的频率方程特征方把振型函数的表达式代入上式边界条件方程3333coshsinhcossinsin由非零解条件得方程组的系数行列式等于零即
第三章 薄板振动问题
第三章 薄板振动问题
薄板的自由振动
四边简支矩形薄板的自由振动
两对边简支矩形薄板的自由振动 用能量法求固有频率及举例 薄板的强迫振动
§3.1 薄板的自由振动
板的横向振动：垂直于中面方向的振动。 自由振动：
– 求固有频率和振型函数。 – 求对初始条件的扰动。
在重力（静力）载荷作用下，在 静平衡位置的挠度为 we x, y 由薄板弯曲基本微分方程有
tanh b
b
tan b
b
0
由：
p m D
m
2
2
得
tanh pb
2
a
2
p
m D
m
2
2
a
2
m D
m b
2
2 2
求得相应的固有频率。
§3.1 薄板的自由振动
引入符号：
4
mp D
2
关于振型函数的微分方程变为：
W W 0
4
利用边界条件，并求解上式，就可以得到W 。 利用初始条件，求解 w Ai cos pi t Bi sin pi t Wi 中的 i 1 待定系数 A和 Bi 。 i 设初始条件为：
3333coshsinhcossinsin组齐次代数方程这个代数方程有非零解的条件是系数行列式等于零从而得到计算固有频率的频率方程特征方把振型函数的表达式代入上式边界条件方程3333coshsinhcossinsin由非零解条件得方程组的系数行列式等于零即
第三章 薄板振动问题
第三章 薄板振动问题
薄板的自由振动
四边简支矩形薄板的自由振动
两对边简支矩形薄板的自由振动 用能量法求固有频率及举例 薄板的强迫振动
§3.1 薄板的自由振动
板的横向振动：垂直于中面方向的振动。 自由振动：
– 求固有频率和振型函数。 – 求对初始条件的扰动。
在重力（静力）载荷作用下，在 静平衡位置的挠度为 we x, y 由薄板弯曲基本微分方程有
tanh b
b
tan b
b
0
由：
p m D
m
2
2
得
tanh pb
2
a
2
p
m D
m
2
2
a
2
m D
m b
2
2 2
振动力学(梁的横向振动)课件
振动力学(梁的横向振动)
解：左端的边界条件为挠度和转角为0 Φ (0)0,Φ (0)0
振动力学(梁的横向振动)
右端的边界条件：弯矩为0，剪力等于弹性力
Φ(l) 0
QdMEIqd3Φ
dx
dx3
qkΦ(l)
xl
振动力学(梁的横向振动)
Φ(l) 0
dM d3Φ
Q EIq
qkΦ(l)
dx
dx3
xl
2u
x2
A2u
t2
对于均匀梁，振动方程为
a2
4u x4
2u t2
0
其中
EI a
A 振动力学(梁的横向振动)
假定有分离变量形式的解存在，令
u(x,t)Φ (x)q(t)
代入方程得到
a2x22q(t)d2d Φ x(2x)Φ(x)dd 2qt2 (t)
写为
a2
2 x2
d2Φ(x)
dx2
dd2qt2(t)
2 x2
EI
x2u2A2tu2 f
振动力学(梁的横向振动)
边界条件
和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分方程 成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。
梁的每一端必须给出两个边界条件(以左端为例) 。 （1）固定端：挠度和转角为0，即
u(x,t)
u(0,t)0,
0
x x0
振动力学(梁的横向振动)
振动力学
------弹性体的振动
振动力学(梁的横向振动)
梁的横向振动
仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振 动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符合材料 力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。
振动力学(梁的横向振动)
解：左端的边界条件为挠度和转角为0 Φ (0)0,Φ (0)0
振动力学(梁的横向振动)
右端的边界条件：弯矩为0，剪力等于弹性力
Φ(l) 0
QdMEIqd3Φ
dx
dx3
qkΦ(l)
xl
振动力学(梁的横向振动)
Φ(l) 0
dM d3Φ
Q EIq
qkΦ(l)
dx
dx3
xl
2u
x2
A2u
t2
对于均匀梁，振动方程为
a2
4u x4
2u t2
0
其中
EI a
A 振动力学(梁的横向振动)
假定有分离变量形式的解存在，令
u(x,t)Φ (x)q(t)
代入方程得到
a2x22q(t)d2d Φ x(2x)Φ(x)dd 2qt2 (t)
写为
a2
2 x2
d2Φ(x)
dx2
dd2qt2(t)
2 x2
EI
x2u2A2tu2 f
振动力学(梁的横向振动)
边界条件
和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分方程 成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。
梁的每一端必须给出两个边界条件(以左端为例) 。 （1）固定端：挠度和转角为0，即
u(x,t)
u(0,t)0,
0
x x0
振动力学(梁的横向振动)
振动力学
------弹性体的振动
振动力学(梁的横向振动)
梁的横向振动
仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振 动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符合材料 力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。
振动力学(梁的横向振动)
振动力学(梁的横向振动)
A
i
j
dx
弹性体的振动
用Fj左乘上式两端，并积分
l
0
j
d2 dx2
EI
d 2i
dx2
dx
j
d dx
EI
d 2i
dx2
l 0
l 0
d dx
EI
d 2i
dx2
j dx
j
d dx
EI
d 2i
或
tan l th l
即为左端固定，右端简支的情况。
弹性体的振动
【思考题】 证明图示悬臂梁在x＝l处的边界条件
为：
EI
2u( x, t ) x2
xl
k0
u ( x, t ) x
xl
EI 3u(x,t) ku(l,t) x3
xl
弹性体的振动
SUCCESS
THANK YOU
C4
sin l sh l ch l c o s l
C1
化简后得到频率方程
cos l ch l 1 求出b后得到固有频率
i i2a i2
EI ,
A
(i 1, 2
)
弹性体的振动
振型为
Φ(x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
弹性体的振动
（2）简支端：挠度和弯矩为0，即
u(0, t )
0,
EI
2u( x, t ) x2
0
x0
弹性体的振动
i 1
A i 2 sin
i x l
f (x) g(x)
sin sin
j x l j x l
i 1
A i 1 i sin
l
i x l
根据三角函数的正交性：
Ai 2
Ai1
2 l
1
l
f ( x ) sin
0
i x l
0 i x j x 0 sin l sin l dx l 2
2 j
l 0
l 0
EA U iU j dx 0
i 当： j
2
i
j
l
l 0
AU j dx M
2
pj
K M
pj pj
EA (U j ) dx U j ( EA U j ) dx K
0
pj
采用正则振型归一化：
l 0
AU j dx M
振型函数
a
x B 2 cos
a
x
为固有频率
讨论边界条件： （1）两端固定
U (0 ) 0,
U (l ) 0 U (0 ) 0, U ( l ) 0 U ( l ) 0
（2）一端固定，一端自由 （3）两端自由 U ( 0 ) 0 ,
即：EA
u x
0
简单边界条件下杆的固有频率和主振型的确定： U ( x ) B 1 sin x B 2 cos x a a （1）两端固定 U ( 0 ) 0 ,
t 0,
i 1
yi ( x, t)
(A
A i 2 sin
i x l
f (x) g(x)
sin sin
j x l j x l
i 1
A i 1 i sin
l
i x l
根据三角函数的正交性：
Ai 2
Ai1
2 l
1
l
f ( x ) sin
0
i x l
0 i x j x 0 sin l sin l dx l 2
2 j
l 0
l 0
EA U iU j dx 0
i 当： j
2
i
j
l
l 0
AU j dx M
2
pj
K M
pj pj
EA (U j ) dx U j ( EA U j ) dx K
0
pj
采用正则振型归一化：
l 0
AU j dx M
振型函数
a
x B 2 cos
a
x
为固有频率
讨论边界条件： （1）两端固定
U (0 ) 0,
U (l ) 0 U (0 ) 0, U ( l ) 0 U ( l ) 0
（2）一端固定，一端自由 （3）两端自由 U ( 0 ) 0 ,
即：EA
u x
0
简单边界条件下杆的固有频率和主振型的确定： U ( x ) B 1 sin x B 2 cos x a a （1）两端固定 U ( 0 ) 0 ,
t 0,
i 1
yi ( x, t)
(A
板的振动
kn
s in knt )
sin
kx
a
sin
ny
b
当矩形薄板的四边均为简支边时，可以较简 单地得出自由振动的完整解答。
第三节 两对边简支的矩形薄板的
自由振动
取振形函数为
x
W
Yk
sin
kx
a
其中Yk是待定的y的函数。W可 以满足该两简支边的边界条件。
将其代入振形微分方程
y
4W 4W 0
得出常微分方程
其中Jn(x)及Nn(x)分别为实宗量的、n阶的第一种 及第二种贝塞尔函数，In(x)及kn(x)分别为虚宗量 的、n阶的第一种及第二种贝塞尔函数（又称修 正贝塞尔函数）。
贝塞尔函数
将上式代入
W F(r) cosn
即得振形函数如下：
W (C1Jn (x) C2Nn (x) C3In (x) C4Kn (x)) cos n
4 ab
a 0
b
kx ny
0 w0 sin a sin b d x d y
Dkn
4 ab
a 0
b 0
v0
sin
kx
a
sin
ny
b
d
x
d
y
根据初始条件为
(w)t0 w0( x, y)
可得
w t
t0
v0( x,
y)
Akn Ckn
Bkn
Dkn
kn
w
k 1 n1
(Ckn
cosknt
Dkn
薄板的总挠度为
w
k 1 n1
(
Akn
cosknt
Bkn
sin
k nt )
sin
s in knt )
sin
kx
a
sin
ny
b
当矩形薄板的四边均为简支边时，可以较简 单地得出自由振动的完整解答。
第三节 两对边简支的矩形薄板的
自由振动
取振形函数为
x
W
Yk
sin
kx
a
其中Yk是待定的y的函数。W可 以满足该两简支边的边界条件。
将其代入振形微分方程
y
4W 4W 0
得出常微分方程
其中Jn(x)及Nn(x)分别为实宗量的、n阶的第一种 及第二种贝塞尔函数，In(x)及kn(x)分别为虚宗量 的、n阶的第一种及第二种贝塞尔函数（又称修 正贝塞尔函数）。
贝塞尔函数
将上式代入
W F(r) cosn
即得振形函数如下：
W (C1Jn (x) C2Nn (x) C3In (x) C4Kn (x)) cos n
4 ab
a 0
b
kx ny
0 w0 sin a sin b d x d y
Dkn
4 ab
a 0
b 0
v0
sin
kx
a
sin
ny
b
d
x
d
y
根据初始条件为
(w)t0 w0( x, y)
可得
w t
t0
v0( x,
y)
Akn Ckn
Bkn
Dkn
kn
w
k 1 n1
(Ckn
cosknt
Dkn
薄板的总挠度为
w
k 1 n1
(
Akn
cosknt
Bkn
sin
k nt )
sin
(同济大学)结构动力学教程 第五章 连续弹性构件的振动
x) sin( mπ 2l
x)dx
=
l
0 /2
m≠n m=n
∫ 求得：
A'n
=
2 l
ε
l o
x sin( mπ x)dx = 2 ε ⋅ 4l 2 sin( nπ ) =
8l
n−1
ε (−1) 2
2l
l n2π 2
2 n2π 2
∑ u( x, t )
=
8l n2π 2
ε
∞
(−1)
n−1 2
sin(
=
G ρ
∂ 2θ ∂x 2
⇒a=
G ρ
⇒
∂ 2θ ∂t 2
= a2
∂ 2θ ∂x 2
→a 为剪切波传播速度。
波动方程 ∂2u = a2 ∂2u 与直杆纵向振动相同
通解： ∂t 2
∂x 2
θ
(
x,
t
)
=
ω A'sin(
x)
+
B'
ω cos(
x)
sin(ωt
+
ϕபைடு நூலகம்
)
a
a
4 个常数 A', B',ω,ϕ 由边界条件及初始条件确定
∂x 2
T (t) + ω 2T (t) = 0
U (x)T (t) = a2T (t)U ''(x) ⇒ T (t) = a2 U ''(x) = −ω 2 T (t) U (x)
U ''(x) + ω 2 U (x) = 0 a2
T (t) + ω 2T (t) = 0 解：T ω 为振动固有频率、ϕ
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为结构由无穷多质量点组成，并用空间连续函数来反映结构的运动状
态，所以又称为无限多自由度体系，比有限自由度体振动理论更为严
密。其研究也更加复杂和困难。弹性薄板就是典型的弹性体，其在工程
中的应用非常广泛，薄板类零件的振动会对整体结构产生很大影响，甚
至会破坏结构的稳定性和完整性。要研究弹性薄板的横向振动性能就
由振动的基本问题归结为在给定初始条件下定解方程（１）。
２、边界条件
薄板振动所应满足的边界条件和薄板静力问题一样，一般有固支、
简支、自由、弹性支承、弹性嵌固等几种。这里列出平行于 ｘ 轴的直线边
ｙ＝ｙ０ 的边界条件（平行 ｙ 轴边界也类似）。
（１）固定边 若平板边界是完全固定边或平夹边（沿平面方向可自
挠度理论。目前工程上一般认为 ｗ ≤ １ 就可按小挠度问题处理，否则 ｈ５
必须考虑几何非线性的大挠度问题。这里也采用的薄板小挠度理论。
二、薄板横向振动基本方程
１、薄板横向自由振动的基本微分方程
考虑一具有任意边界形状的各向同性匀质等厚度薄板，如下图所
示。
取板件的中面为 ｘｏｙ 平面。板厚为 ｈ，ｚ＝－ ｈ 为受载面，中面挠曲函 ２
科技信息
高校理科研究
弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程
乐山职业技术学院机电系 杨丽媛
［摘 要］薄板振动属于弹性体振动，本文主要介绍弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程，介绍薄板小挠度理论，给出弹性薄板 横向振动的振动方程和不同边界条件的数学模型。 ［关键词］弹性薄板 横向振动 基本理论 振动方程
弹性体振动理论分析质量和刚度都是连续分布的结构，本质上认
挠度平板理论。建立了弹性薄板振动的基本方程，并列出各种边界条件
的数学模型，介绍了求解弹性薄板振动方程的求解思路，为不同边界条
件，不同尺寸的弹性薄板振动方程的求解提供了理论支持和思路指导。
参考文献 ［1］黄炎.弹性薄板理论［M］.北京：国防科学技术大学出版社，1992 ［2］曹志远.板壳振动理论［M］.北京：中国铁道出版社，1989 ［3］张英世，刘宗德.矩形薄板的横向振动［J］.工程力学，1997 增刊: 515- 518
必须掌握其基本理论和基本的振动方程。
一、基础理论
中面为一平面的扁平连续体称为平板。当厚度远小于中面尺寸时
则称为薄板。平板重要承受垂直中面的横向载荷，将外载荷传递到支撑
处，此时板件发生垂直中面的横向挠曲，相应动力学问题是薄板的横向
振动。
平板振动也是一种弹性体振动，是一种三维问题。但对于厚度尺寸
远小于平面上另两个尺寸的薄板来说，可以采用一系列反映薄板力学
＋μ
鄣２ｗ 鄣ｘ２
＝０，ｋｗｗ －Ｄ
ｙ＝ｙ０
鄣３ｗ 鄣ｙ３
－（２－μ）Ｄ
鄣３ｗ 鄣ｘ２鄣ｙ
＝０
ｙ＝ｙ０
（２ｄ）
（５）弹性嵌固边 若平板边界连接在垂直方向不可移动，但在垂直
边界平面内可转动（可用弹簧常数为 ｋΦ 的螺旋弹簧表示）的结构上，其 边缘上各点挠度为零，而弯矩由弹簧支承力矩产生，即：
鄣 鄣 （ｗ
剪力为零，即：
鄣 鄣 鄣 鄣 鄣２ｗ 鄣ｙ２
＋μ
鄣２ｗ 鄣ｘ２＝０，Biblioteka ｙ＝ｙ０鄣３ｗ 鄣ｙ３
＋（２－μ）鄣鄣ｘ３２ｗ鄣ｙ
＝０
ｙ＝ｙ０
（２ｃ）
（４）弹性支承 若平板边界铰接支承在可用垂直线弹簧（弹簧常数）
表示的结构或地基上，其边缘上各点弯矩保持为零，而合剪力由弹簧支
承力产生，即：
鄣 鄣 鄣 鄣 鄣２ｗ 鄣ｙ２
形状态只取决于中面挠曲面形状，从而使求解三维变形体问题变为确
定二维挠曲面问题，并使问题大为简化。从力学角度看，假定（ａ）认为直
法线永远与中面垂直，即横向剪切变形为零，也即横向剪应力比平面方
向弯曲应力要小很多；假定（ｂ）则认为垂直方向法应力也比弯曲应力小
得多。
在 假 定 （ａ）、（ｂ ）、（ｃ）下 建 立 的 平 板 理 论 一 般 称 为 泊 松 — 克 希 霍 夫
特性的简化，是原始三维问题简化为二维问题来分析，这些假设是：
（ａ）变形前垂直于中面的直线在变形后仍为一直线，并保持与中面
垂直。
（ｂ）忽略沿中面垂直方向的法向应力。
（ｃ）只记入质量的移动惯性力，而略去其转动惯性力矩。
（ｄ）无沿中面内方向的变形。
假定（ａ）即所谓“直法线”假定，这一假定的实质是使板件内整个变
）ｙ＝ｙ０
＝
０，ｋΦ
鄣ｗ 鄣ｙ
＋Ｄ
鄣２ｗ 鄣ｙ２
＋μＤ
鄣２ｗ 鄣ｘ２
＝０
ｙ＝ｙ０
（２ｅ）
３、矩形薄板自由振动的解
设方程（１）的解为：
ｗ （ｘ，ｙ，ｔ）＝Ｗ （ｘ，ｙ）ｓｉｎ（ωｔ＋φ）
（３）
式中 Ｗ （ｘ，ｙ）为主振动，将式（３）代入式（１）中，可得：
鄣４Ｗ 鄣ｘ４
＋2
鄣４Ｗ 鄣ｘ２鄣ｙ２
＋
鄣４Ｗ 鄣ｙ４
（Ｐａｓｓｉｏｎ－Ｋ ｉｒｃｈｈｏｆｆ）平板理论即薄板理论。目前工程上一般认为板厚 ｈ
与板的最小平面跨度 ｂ 之比 ｈ ｂ
≤
１ ６
就可看成薄板。
假定（ｄ）认为中面内不产生拉压、剪切，从而也没有中面内变形，即
认为中面内薄膜力远小于横向载荷产生的弯曲应力，这只有在板的挠
曲 ｗ 远小于板的厚度 ｈ 时才成立。采用假定（ｄ）的平板理论一般称为小
由滑动），其边缘上各点挠度为零并且沿该边垂直方向的挠度斜率为
零，即：
鄣 鄣 （ｗ ）ｙ＝ｙ０ ＝０，
鄣ｗ 鄣ｙ
＝０
ｙ＝ｙ０
（２ａ）
（２）简支边 若平板边界是铰接支承（无论水平方向可以或不可以
滑动），其边缘上各点挠度以及弯矩为零，即：
鄣 鄣 （ｗ ）ｙ＝ｙ０ ＝０，
鄣２ｗ 鄣ｙ２
＝０
ｙ＝ｙ０
（２ｂ）
（３）自由边 若平板边界完全不受力，应该有边缘上各点弯矩、扭矩、
－α４Ｗ ＝０
（４）
式中：α４＝ω２ ρh D
Ｗ （ｘ，ｙ）为 ｘ，ｙ 的函数，具体表达式和边界条件有关，根据各种不同的
边界条件写出 Ｗ （ｘ，ｙ）的形式，带入方程（４）和其相应的边界条件，可求出
Ｗ （ｘ，ｙ）的表达式。
三、总结
本文介绍了基于泊松—克希霍夫（Ｐａｓｓｉｏｎ－Ｋ ｉｒｃｈｈｏｆｆ）平板理论的小
数为 ｗ （ｘ，ｙ，ｔ）。则薄板横向自由振动的基本微分方程为：
鄣４ｗ ＋２ 鄣４ｗ ＋ 鄣４ｗ ＋ ρh 鄣２ｗ ＝０
（１）
鄣ｘ４ 鄣ｘ２鄣ｙ２ 鄣ｙ４ Ｄ 鄣ｔ２
式中：Ｄ ＝ Eh １２（１－μ２）
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其中：Ｅ 为材料的弹性模量，ρ 为材料密度，μ 为材料泊松比。
式（１）是关于挠曲面函数 ｗ （ｘ，ｙ，ｔ）的四阶偏微分方程，薄板小挠度自