第二章习题解答及参考答案

2 I λz Is = 0 π d
∫
∞
0

J1 (ψ ) ψ ψdψ
2 2 2 2
∞J ( ∞J ( ψ J ( I (r ) ψ J (ψ ) ψ ) ψ ) 1 ψ ) 故： F (r0 ) = i 0 = ∫ 1 ψdψ / ∫ 1 ψ dψ = ∫ 1 dψ dψ / ∫0 0 0 0 Is ψ ψ ψ ψ
第二章 标量衍射理论
部分习题解答及参考答案
[2-1] 在基尔霍夫衍射公式（2-2-16）或（2-2-20）中，同时对光场及其法向导数施加了边 界条件，从而导致了理论本身的不自恰性。为了消除这种不自恰性，索末菲选择了换用格林 函数的办法，使新的格林函数或其法向导数在表面 S1 上为 0,这时就不必同时对光场及其法 向导数施加边界条件。例如，可以选择 G 同时由观察点 P0 及其对衍射屏的镜对称点 P0 各
1 ikz i 2 z (x0 2 + y 0 2 ) U ( x0 , y0 ) = e e F {t (x1 , y1 )} iλ z k 1 ikz i 2 z (x0 2 + y 0 2 ) 2 = [a sinc (af x , af y ) − b 2sinc (bf x ,bf y )] e e iλ z
解：方形环带的透过率函数为：
当用单位振幅的单色平面波垂直照明时，其透过此环带的光场 U t ( x1 , y1 ) = t ( x1 , y1 ) ，故观察 面上的光场分布为：
x y x y t ( x1 , y1 ) = rect 1 , 1 − rect 1 , 1 a a b b
按极值条件，令 x J 0 (x ) − 2 J1 (x ) x = 0 = 0, εx J 0 (εx ) − 2 J1 (εx ) x = 0 = 0 求得：
2 J (εx ) x J 0 ( x ) − 2 J1 ( x ) εx J 0 (εx ) − 2 J1 (εx ) 2 J (x ) − = 4M 1 − ε 2 1 ⋅ x2 εx (εx )2 x = J 0 (0 ) = 1
根据贝塞尔函数公式：
2 J1 (ψ ) = J (ψ )J (ψ ) − J (ψ )J′ (ψ ) = −[J (ψ )J′ (ψ ) + J (ψ )J′ (ψ )] = − 1 d J 2 (ψ ) + J 2 (ψ ) 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 ψ 2 dψ 2 2 2 2 2 2 2 2 所以 F (r0 ) = J 0 (ψ ) + J1 (ψ ) − J 0 (0 ) − J1 (0 ) / J 0 (∞ ) + J1 (∞ ) − J 0 (0 ) − J1 (0 )
(1) (2)
[
]
因
故： F (r0 ) = 1 − J 0 ( ψ ) − J1 (ψ )
2 2
J 0 (0 ) = 1, J 0 (∞ ) = J1 (0 ) = J1 (∞ ) = 0
[
][
[ ]
]
附图 2-1
F (r0 ) 随ψ
变化
其函数曲线如附图 2-1 所示，与第一，第二和第三暗环（即当ψ = 3。832， 7。015 和 10。 173 时）对应的 F (r ) 值分别为 0。839，0。910 和 0。938，因而，大约 84%的光能包含在以 第 1 暗环为界限的圆内，大约 7%的光能包含在第一和第二暗环之间，等等。 [2-4] 试证明关系式（2-5-15） 。 解：圆环光孔的面积为：
2
I (x0 ,0 ) = 40 XY sinc 2 (10 x0 )
如附图 2-2 所示，其极小值位置为：
x0 =
当 x0 = 0 时，又有
n m 10
( n = ±1,±2,L)
3 I ( y0 , 0) = 40 XY sinc2 ( y0 ) cos π y0 2 3 π 如附图 2-3 所示，其极小指位置由 y0 = n(n = ±1,±2,L) 及 πy0 = (2n + 1) 决定，即 2 2
~
G− ( P 1) = 0 ikr 1 eikr%01 ∂G− = cos n, r ik − 1 e 01 − cos n, r ( 01 ) ( %01 ) ik − ∂n %01 r %01 r01 r01 r 1 eikr01 = 2cos ( n, r01 ) ik − r01 r01 ≈ 2ik cos ( n, r01 ) ⋅ eikr / r01 1 eikr01 将上述结果代入式（2-2-16）得： U ( p0 ) = ( ) U P cos(n, r01 )dS 1 r01 iλ ∫∫∑
于是只需对 U 施加基尔霍夫边界条件。 [2-3] 在圆孔的夫琅和费衍射花样中， 设观察平面上的总光能流为 I,半径为 r0 的圆面内所分
布的光能流等于 I i (r0 ) ，它占总光能流的百分比为 F (r0 ) .试求出 F (r0 ) 的表达式，并与教材 中表 2-5-1 进行比较。 其中 I (r ) 解： 由公式 （2-5-8） 和 （2-5-9） ， 分布在小圆环 2πrdr 上的光能流等于 2πI (r )rdr ， 是光能流密度（光强度） ，它是ψ = 为： I i (r0 ) =
J (ψ ) d ′ (ψ ) [ x J1 ( x )] = x J 0 ( x ) → 1 = J 0 (ψ ) − J1 dx ψ d x − n J n ( x ) = − x − n J n +1 ( x ) ( →J1 ( x ) = − J′0 (ψ ) n=0) dx 由 J1 (ψ ) × (1) 得：
A eik ( r01 + r21 ) 最后得： U (P0 ) = − ∫∫ cos(n, r21 )dS iλ ∑ r01r21 e ikr01 eikr01 [2-2] 如果选择格林函数为： G− = − ~ r01 r01
~
其中“－”号表示由 P0 点和 P0 点发出的球面波的位相正好相反。在此条件下，完成上题中 的(1)、(2)和(3)。 解：由题设有：
k
将 f x = x0 / λ z , f y = y0 / λz 代入上式，最后得衍射图样的强度分布为：
当 y0 = 0 时，由题给条件算得：
x y 2 π∆y0 2 XY 2 I (x0 , y0 ) = sinc X 0 , Y 0 cos λz λz λz λz
图 X2-1
习题[2-1]图示
解：由题设有：
ikr01 G+ ( P / r01 1 ) = 2e ∂G+ ( P 1 eikr01 1 eikr%01 1) % = cos n , r ik − + cos n , r ik − =0 ( 01 ) ( 01 ) ∂ % % r r r r n 01 01 01 01
面上的衍射场为：
1 ikz i 2 z (x0 2 + y 0 2 ) U ( x0 , y0 ) = e e F {t ( x1 , y1 )} iλ z k 1 ikz i 2 z (x 0 2 + y 0 2 ) e e = ⋅ 2 XY sinc (Xf x , yf y )cos(πf y ∆ ) iλ z
~
~ eikr01 eikr01 自出发的同相位的单位振幅的球面波给定（图 X2-1）,即 G+ = r01 是 P0 + ~ 式中， ~ r01 r01
点与 P 1 点间的距离。 (1) 试求： G+ (P ) 在衍射屏上的法向导数；
~
(2) 欲将观察点的复振幅用衍射孔 Σ 上的光扰动来表示，需要什么样的边界条件？ (3) 利用(2)的结果，求出孔径被从 P 2 点发出的单色球面波照明时， U ( P 0 ) 的表达式。
kdr0 2z
的函数。在半径为 r0 的圆面积内所分布的光能流
2
∫ I (r )2πrdr = ∫
r0 0 2
ψ
0
2λπ λz 2I λz I (r ) ψ ⋅ dψ = 0 d πd π d
2
∫
ψ
0
J1 (ψ ) ψ ψdψ
2
而分布在整个观察平面上的光能流为：
x0 + ∆x0 = (λ + ∆λ )zqf 0 ，按瑞利判据，刚好能分辨的条件是：波长 λ 的 q 级极大正好与波
长 (λ + ∆λ ) 的 q 级极小重合，即：
∆x0 = (λ + ∆λ )zqf 0 − λzqf 0 =
所以： R =
λ = qf 0b = qN ∆λ
λz b
[2-6]
设用单位振幅的单色平面波垂直照明如图 X2-2 所示的双矩孔，求其夫琅和费衍射图
将上述结果代入式（2-2-16）得：
u( p0) =
这时只需对
1 4π
∂U 1 ∫∫Σ ∂n G+ + dS = 2π
∂U eikr01 dS ∫∫ ∑ ∂n r01
∂U ikr21 应用基尔霍夫边界条件。当 U (P / r21 时，则有： 1 ) = Ae ∂n 1 eikr21 ∂U (P ikr21 1) = A cos(n, r21 ) ik − r ≈ Aik cos(n, r21 )e / r21 ∂n r 21 21
1 5 7 L y0 = ± ， ± 1， ± ， ± 2， ± ， ± 3， 3 3 3
附图 2-2
习题[2-6]图示之一
附图 2-3
习题[2-6]图示之二
[2-7] 若用一单位振幅的单色平面波垂直照明如图 X2-3 所示的方形环带，试导出该方形环 带的夫琅和费衍射的表达式。
图 X2-3
方形环带
样的强度分布，并画出衍射强度沿 x 轴和 y 轴的截面图。设
∆ 3 −1 = m ，z 是观察距离， λ 是照明光波长。 λz 2
X Y = 10m −1 ， = 1m −1 ， λz λz
图 X2-2
双矩孔
解：双矩孔的透过率函数为：
x y −∆/2 x y + ∆/2 t ( x1 , y1 ) = rect 1 , 1 + rect 1 , 1 Y Y X X 当用单位振幅的单色平面波垂直照明时，其透射光场即为 U t ( x1 , y1 ) = t ( x1 , y1 ) ，而在观察平
令 x = kar0 / z , M = 即：
（1）
(1 − ε )
C D2
2
2 2
，在衍射斑中心处其强度极大值由式（1）求导解得，
′ (εx ) − 2 J1 (εx ) dI 2 J (εx ) 2 x J′ 2εx J1 2 J (x ) 1 ( x ) − 2 J1 ( x ) − = 2M 1 − ε 2 1 ⋅ 2 dx x εx (εx )2 x ′ ′ ( εxJ1 (εx )) − 2 J1 (εx ) 2 J1 ( x ) 2 2 J1 (εx ) ( x J1 ( x )) − 2 J1 ( x ) − = 4M −ε ⋅ 2 2 εx x ( ) x ε x
D = πa 2 − π εa
2
( )
2
= πa 2 1 − ε 2
(
)
2
将上式代入式（2-5-14）得：
C D2 2 J1 ( kar0 / z ) 2 2 J1 ( k ε ar0 / z ) I ( r0 ) = −ε 2 2 kar0 / z k ε ar0 / z (1 − ε )
2
2 J1 (x ) 2 J1 (εx ) = x εx
2 2
x=0
于是由（1）式得：
I 0 = M (1 − ε
)
π a2 2 2 = C D = (1 − ε ) λz
2 2
得证
[2-5] 试证明关系式（2-5-28） 。 解： 由式（ 2-5-27 ） 知 ，波 长 为 λ 和 λ + ∆λ 的 q 级 衍射 极大 分 别 位 于 x0 = λzqf 0 和