空间坐标法解立体几何专题

空间坐标法解立体几何题（工具：向量）

例1（2011届景德镇市二检卷文19）正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为6，侧棱长为4，E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点

（1）求证：平面EF B 1⊥平面11BDD B

（2）求点1D 到平面EF B 1的距离d

知识点：怎样用向量表示点到平面的距离？

如图，PO ⊥α于O ，A 是平面α内任意一点，点P 到

平面α的距离设为d ，n 为平面α的一个法向量，则有： ==||PO d θcos ||PA |

||

,cos |||||n n PA n PA ><⋅⋅= |||

|n n PA ⋅=

例1解：怎样用坐标法求点到平面的距离？

例1第2问

如图建立空间坐标系，分析：要求点1D 到平面

EF B 1的距离d ，由公式：d |||

|11n n B D ⋅=，

只要求出11B D 的坐标和平面EF B 1的一个法向

量n 坐标，11B D 坐标很好求，因为1D 坐标为：

（0，0，4），1B 坐标为（6，6，4），所以11B D 坐标为：（6，6，0）；

下面求平面EF B 1的一个法向量n 坐标

分析：如何求平面的一个法向量n 坐标？

根据法向量的含义，法向量和平面垂直，故法向量和平面内任何一条直线都垂直，根据直线

和平面垂直的判定定理，知道只要和两个不共线的向量垂直即可，在本题中可推出法向量n ⊥E B 1，F B n 1⊥，所以01=⋅E B n ，01=⋅F B n ，由于1B 坐标为（6，6，4），E 坐标为（3，6，0），F 坐标为（6，3，0），所以E B 1的坐标为：（3-，0，4-），F B 1的坐标为：

（0，3-，4-），利用坐标法，得到：⎩

⎨⎧=--=--043043z y z x ，由于法向量有长有短，方向可以朝上，还可以朝下，所以法向量有无数多个，但法向量不可以是零向量，故z 不能取0，为简单起见，可取3=z ，得：4-=x ，4-=y ，所以法向量n =4(-，4-，3） 代入公式d |||

|11n n B D ⋅=，得点1D 到平面EF B 1的距离为：

4141

4841483)4()4(|

30)4(6)4(6|222==+-+-⨯+-⨯+-⨯=d 例2（2010全国卷一6）直三棱柱111C B A ABC -中，若︒=∠90BAC ，1AA AC AB ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（ ）

A.30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

知识点：怎样用向量表示两条异面直线所成的角？

=θcos cos |a <，>b ||||||

|b a b a ⋅=

例2解：怎样用坐标法求两条异面直线所成的角？

解答例2：

如图建立空间坐标系，设异面直线1BA 与1AC 所成的角为θ，

则|||||

|cos 1111AC BA AC BA ⋅=θ，设AB=a ，易求点B 坐标：（0，a ，)0，

点1A 坐标：0(，0，a ），点A 坐标：（0，0，0），点1C 坐标：

a (，0，a ）

，所以 0(1=BA ，a -，a ）

，=1AC a (，0，a ） 2120)(0|

00|cos 22222222==+++-+⨯+⨯-⨯=a

a a a a a a a a a θ

∴︒=60θ

故选C

例3（2010江西卷20）如图，BCD ∆与MCD ∆都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，23AB =. （1）求直线AM 与平面BCD 所成的角的大小； （2）求平面ACM 与平面BCD 所成的二面角的正弦值. 知识点：怎样用向量表示直线和平面所成的角？

见右下图，设直线PA 和平面α所成的角为θ，则

θAPO ∠-︒=90，而PAO ∠可看成向量PA 和向量PO 的夹角，n 为平面α的一个法向量，显然n 与向量PO 共线，故法向量n 和向量PA 的夹角与向量PA 和向量PO 的夹角相等或互补，即PA <，>PO PA =<，>n 或PA <-π，>n ，所以

)90sin(sin APO ∠-︒=θ

APO ∠=cos

PA <=cos ，>PO

<=cos |PA ，>n |

|||||

|n PA n PA ⋅=

例3解：怎样用坐标法求直线和平面所成的角？

例3的第（1）问

如图建立空间坐标系，设直线AM 与平面BCD

所成的角的大小为θ，

∵AB ⊥平面BCD

∴BA 是平面BCD 的一个法向量

故|||||

|sin BA AM BA AM ⋅=θ

点A 坐标：（0，0，32）

点B 坐标：（0，0，0）

点M 坐标：（23，23，3） （注明：先作MO ⊥CD 于O ，过点C 作CE ⊥BD 于E ，CG ⊥y 轴于G ，过点O 作OF ⊥BD 于F ，OH ⊥y 轴于H ，再利用坐标定义求出点M 坐标）

于是AM 2

3(=，23，3-)，BA =（0，0，32） ∴222222)32(00)3()23()23(|323023023|

sin ++-++⨯-⨯+⨯=θ1266= 22= ∴︒=45θ

知识点：怎样用向量表示二面角平面角？

如图：PA ⊥平面α，PB ⊥平面β，则PA ⊥l ，PB ⊥l ，

所以l ⊥平面PAB ，设平面PAB 向四周延展后交l 于点C ，并

连CA 、CB ，则有：CA ⊥l ，CB ⊥l ，故∠ACB 是二面角

平面角；

另一方面，四边形PBCA 内角和等于360°，而

∠CBP =∠CAP=90°，所以二面角平面角∠ACB 与∠APB

互补作向量PB ，向量PA ，则∠APB 等于向量PB 、向量

PA 的夹角

设1n 、2n 分别是平面α、β的法向量，它们的夹角

1n <，>2n 与PA <，>PB 相等或互补

设二面角平面角的大小为θ，则θ=1n <，>2n 或θ=-π1n <，>2n

例3解：怎样用坐标法求二面角的大小？

例3的第（2）问

求平面ACM 与平面BCD 所成的二面角的正弦值.

分析：容易知道平面BCD 的一个法向量为1n =（0，0，1）

所以只要求平面ACM 的法向量坐标即可。

设平面ACM 的法向量x n (2=，y ，z ），由2n ⊥AC ，

2n ⊥AM 可得2n ·AC =0，2n ·AM =0，

而A （0，0，32），M （2

3，23，3），C 1(，3，0）