高考数学易错题9.1 复杂的排列组合问题-2019届高三数学提分精品讲义
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四、题型分析
(一)“相邻”与“不相邻”问题 【例 1】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排,分别计算满足下列条件的排法种数： （1）甲不在排头、乙不在排尾； （2）甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位； （3）甲一定在乙的右端(可以不相邻)．
【点评】对于相邻问题,可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列,同时要考虑相邻元素的 内部是否需要排列,这种方法称为“捆绑法”；对于不相邻的元素,可先排其他元素,然后将这些要求不相邻的
元素插入空当,这种方法称为“插空法”；对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要有：位置优先法、 元素优先法、间接计算法．
【小试牛刀】【山西大学附属中学 2017 级上学期 11 月模块诊断】已知身穿红,黄两种颜色衣服的各两人,身
穿蓝衣服的有 1 人,现将五人排成一列,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法有（ ）
A．360 种 【答案】B
B．720 种
C．780 种
【解析】先排1,有 6 种方法,再排 2, 3, 4, 5 有 A54 种方法,故一共有 6 A54 720 种.
(三)分配问题 【例 3】有 6 本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式？ （1）分成每组都是 2 本的三组； （2）分给甲、乙、丙三人,每人 2 本． 【分析】（1）组合知识及分步计数原理求解；（2）均匀分组问题.
(二)涂色问题 【例 2】如图,用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区 域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有________.
【分析】由于区域 1,2,3 与区域 4 相邻,由条件宜采用分步处理,又相邻区域不同色,因此应按区域 1 和区域 3 是否同色分类求解．
D．840 种
【点评】不同元素的分配问题,往往是先分组再分配．在分组时,通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分 组；③部分均匀分组,注意各种分组类型中,不同分组方法的求法．
【小试牛刀】【2017 届广东七校联合体高三上学期联考二】把 A, B, C, D 四件玩具分给三个小朋友,每位小朋
【点评】（1）解决涂色问题,一定要分清所给的颜色是否用完,并选择恰当的涂色顺序． （2）切实选择好分类标准,分清哪些可以同色,哪些不同色． 【小试牛刀】【河南省天一大联考 2017 届高三上学期阶段性测试】如图,图案共分 9 个区域,有 6 种不同颜色 的涂料可供涂色,每个区域只能涂一种颜色的涂料, 其中 2 和 9 同色、3 和 6 同色、4 和 7 同色、5 和 8 同色,且相邻区域的颜色不相同,则涂色方法有（ ）
专题九 计数原理 问题一：复杂wenku.baidu.com排列组合问题
一、考情分析
高考对这部分的要求还是比较高的.考查两个计数原理、排列、组合在解决实际问题上的应用.值得提醒地是： 计数模型不一定是排列或组合.画一画,数一数,算一算,是基本的计数方法,不可废弃.
二、经验分享
1.排列应用问题的分类与解法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊 元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的 常用方法. 2.组合问题常有以下两类题型变化 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则 先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．学-科网 (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含 义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接 法处理． 3.排列与组合综合问题的常见类型及解题策略 (1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑 它们“内部”的排列． (2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同 等作用． (3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置． (4)多元问题分类法．将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原 理求出排列总数．
三、知识拓展
1.分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位
置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于 某一类． 2.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须 满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．分步必须满足两 个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成． 3.解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化 为求它的对立事件． 4.解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类. 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 解排列（或）组合问题,应按元素的性质进行分类,分类标准明确,不重不漏；按事情的发生的连续过程分步, 做到分步层次清楚.
A. 72 种
B. 78 种
C. 48 种
D. 84 种
【答案】C
【解析】方法一： A55 2 A44 2 A44 4 A33 48 方法二：a,a,c 2 3 2 12 c,a,a, 2 3 2 12 ,
a,c,a 2 A42 24 ,故共有12 12 24 48. 选 C.
(一)“相邻”与“不相邻”问题 【例 1】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排,分别计算满足下列条件的排法种数： （1）甲不在排头、乙不在排尾； （2）甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位； （3）甲一定在乙的右端(可以不相邻)．
【点评】对于相邻问题,可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列,同时要考虑相邻元素的 内部是否需要排列,这种方法称为“捆绑法”；对于不相邻的元素,可先排其他元素,然后将这些要求不相邻的
元素插入空当,这种方法称为“插空法”；对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要有：位置优先法、 元素优先法、间接计算法．
【小试牛刀】【山西大学附属中学 2017 级上学期 11 月模块诊断】已知身穿红,黄两种颜色衣服的各两人,身
穿蓝衣服的有 1 人,现将五人排成一列,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法有（ ）
A．360 种 【答案】B
B．720 种
C．780 种
【解析】先排1,有 6 种方法,再排 2, 3, 4, 5 有 A54 种方法,故一共有 6 A54 720 种.
(三)分配问题 【例 3】有 6 本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式？ （1）分成每组都是 2 本的三组； （2）分给甲、乙、丙三人,每人 2 本． 【分析】（1）组合知识及分步计数原理求解；（2）均匀分组问题.
(二)涂色问题 【例 2】如图,用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区 域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有________.
【分析】由于区域 1,2,3 与区域 4 相邻,由条件宜采用分步处理,又相邻区域不同色,因此应按区域 1 和区域 3 是否同色分类求解．
D．840 种
【点评】不同元素的分配问题,往往是先分组再分配．在分组时,通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分 组；③部分均匀分组,注意各种分组类型中,不同分组方法的求法．
【小试牛刀】【2017 届广东七校联合体高三上学期联考二】把 A, B, C, D 四件玩具分给三个小朋友,每位小朋
【点评】（1）解决涂色问题,一定要分清所给的颜色是否用完,并选择恰当的涂色顺序． （2）切实选择好分类标准,分清哪些可以同色,哪些不同色． 【小试牛刀】【河南省天一大联考 2017 届高三上学期阶段性测试】如图,图案共分 9 个区域,有 6 种不同颜色 的涂料可供涂色,每个区域只能涂一种颜色的涂料, 其中 2 和 9 同色、3 和 6 同色、4 和 7 同色、5 和 8 同色,且相邻区域的颜色不相同,则涂色方法有（ ）
专题九 计数原理 问题一：复杂wenku.baidu.com排列组合问题
一、考情分析
高考对这部分的要求还是比较高的.考查两个计数原理、排列、组合在解决实际问题上的应用.值得提醒地是： 计数模型不一定是排列或组合.画一画,数一数,算一算,是基本的计数方法,不可废弃.
二、经验分享
1.排列应用问题的分类与解法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊 元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的 常用方法. 2.组合问题常有以下两类题型变化 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则 先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．学-科网 (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含 义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接 法处理． 3.排列与组合综合问题的常见类型及解题策略 (1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑 它们“内部”的排列． (2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同 等作用． (3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置． (4)多元问题分类法．将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原 理求出排列总数．
三、知识拓展
1.分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位
置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于 某一类． 2.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须 满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．分步必须满足两 个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成． 3.解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化 为求它的对立事件． 4.解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类. 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 解排列（或）组合问题,应按元素的性质进行分类,分类标准明确,不重不漏；按事情的发生的连续过程分步, 做到分步层次清楚.
A. 72 种
B. 78 种
C. 48 种
D. 84 种
【答案】C
【解析】方法一： A55 2 A44 2 A44 4 A33 48 方法二：a,a,c 2 3 2 12 c,a,a, 2 3 2 12 ,
a,c,a 2 A42 24 ,故共有12 12 24 48. 选 C.