函数项级数非一致收敛判别方法的归纳分析
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时 ， ＶＰ∈Ｎ和 Ｖ 对 ∈， 有 Ｉ ＋（ ｌ ）＋“ ＋（ ２ ）＋… ＋ ＋ （ ）Ｉ ｅ ＜ 【
由此 可得 函数 项 级数及 数项 级数 非一 致 收敛 的充要 条 件 ： 定 理 Ｉ： 函数项级 数 ∑ Ｕ （ 在 区 间 ， 非 一致 收 敛铮 ｊ￡ ＞０ 对 ＶＮＥ Ｎ， Ｖ ｎ＞Ｎ 时 ， ＶＰ∈Ｎ， ｎ ） 上 ０ ， 当 对
・
２ ・ ３
又因为 Ⅱ（）（ ： ，， 在 ，ｎ ｌ …） ：ｃ ２ 点连续， 所以壹 ＋（） 在 ： 点连续， 。 故对ｅ ， ＞ ， ： ０对一
切满 足 Ｉ —ｃ ＜ 且 ∈ ［ ｂ 的 ， 有 Ｉ ｎ， ］ 都
Ｉ “ ＋（ ［ ｌ ）＋ ｕ＋（ ２ ）＋… ＋ｌ ＋ （ ） 一 ［ ＋（ ）＋ ＋（ ）＋… ＋ ＋ （ ） ＜ ｅ ￣ ｐ 戈 ］ ｌｃ ２ｃ ｎ ｃ ］Ｉ
ｊ ∈，有 ０ Ｉ ＋（ ０ ｌ ）＋Ｈ ＋（ ）＋… ＋ ＋ （ ）Ｉ ｓ ２ ０ ４ 口 ｏ ≥ ｏ
定 理 １： ” 数项 级 数 ∑ ／ 区间 ， ． ｔ 在 上发 散铮 ｊ￡ ＞０ 对 ＶＮＥＮ， Ｖ １＞Ｎ 时 ， ＶＰＥ Ｎ， ｏ ， 当 ／ ， 对 有
则该 函数项 级 数在 （ ， ） ａ ｂ 内不 一致 收敛 ．
证 明 ： ∑ （ 在 ｃ ｎ ｂ 点发 散 ， 设 ） ∈［ ， ］ 即数项 级 数 ∑ ｕ （ ） 散 ． ｃ发 因此 由定理 １知 ： ｏ ， Ｖ ＮＥ Ｎ， ｊ。 ＞０ 对
当 Ｖ ｎ＞Ｎ 时 ， ＶＰ 对 ∈Ｎ， 有
由 于
Ｉ １ ＋ （ ＋“ ＋ （ ＋… ＋Ⅱ ＋ （ ］ ｕ ＋（ ） ２ ｃ ＋… ＋ｌ ＋ （ ） Ｉ ［‘ １ ） ２ ） Ｐ ） 一［ ｌｃ ＋ｕ ＋（ ） Ｉ Ｐ ｃ ］
≥ Ｉ ＋（ ） ＋（ ） ［ ｌｃ ＋ ２ ｃ ＋… ＋王 ＋ （ ） Ｉ ［ ＋ （ ＋ ＋ （ ＋… ＋Ｕ ＋ （ ］ ‘ Ｐ ｃ ］ —ｌ ｌ ） ２ ） ｐ ） Ｉ 所 以当 ｆ —ｃ ＜ 且 ∈［ ｂ 时 ， Ｉ 口， ］ Ｉ Ｉ ＋（ ［‘ １ ）＋Ｉ ＋（ ）＋… ＋ｕ ＋ （ ］Ｉ Ｉ Ｉ＋（ ）＋ Ｉ＋（ ）＋… ＋ｔ ＋ （ ） ‘ ２茹 ｐ ） ≥ ［‘ １ｃ ‘ ２ｃ ‘ ｐ ｃ ］Ｉ
ｌ ＋（ ）＋ ｕ ＋（ ）＋… ＋ １＋ （ ）Ｉ ￡ ｌｃ ２ ｃ １ ｐｃ ≥ ０ ＂ ｎ
收 稿 日期 ：０ ２ ０ ． ５ ２ １ ． ４ ０
作 者 简 介 ： 会 萍 （９ ４ ） 女 ， 北 沧 州人 ， 州 师 范 学 院物 理 与 电 子 信 息 系副教 授 石 １６ ． ， 河 沧
第２ ８卷 第 ３ 期
２１ ０２年 ９月
沧 州师 范学 院学报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａ ｇ ｈ ｕ Ｎｏ ｍａ ｉｅｓｔ ｏ ｒ ａ ｆＣ ｎ ｚ ｏ ｒ ｌＵｎｖ ｒｉ ｙ
Ｖｏ ． １２８， Ｎｏ． ３ Ｓ ｐ． ０ ２ ｅ ２ １
函数 项wk.baidu.com级 数 非 一致 收 敛 判 别 方 法 的归 纳 分析
石 会 萍
（ 沧州 师范学 院 物理 与 电子信 息 系 ， 河北 沧州 ０ １０ ） ６０ １
摘 要 ： 于 函数 项 级 数 非 一 致 收 敛 判 别 方 法 的 研 究 有 不 少 的 文 献 都 曾 讨 论 过 ． 是 仅 仅 给 出几 种 方 关 但 法 ， 不 能令 人 满 意 ． 过 对 函数 项级 数 一 致 收 敛 的 定 义及 其 性 质 的 综合 归 纳 分 析 ， 出 了判 定 某 些 函 还 通 给
１ 通 过 判 断 部 分 和 数 列 的发 散 性 判 定 函数 项 级 数 的非 一致 收 敛 性
对 于 已知 ｓ（ （ ≤艇≤ ） ） ａ ｂ 的情 况 ， 应着 眼 于判 断数 列 ｛ （ ） （ ≤ｃ ） ｃ ｝ ａ ≤ｂ 的收敛性 ， 时可 通 过判 断部 此 分 和 数列 的发散 性判 定 函数项 级数 的非 一致 收敛 性 ． 定理 １ （ 西 收敛准则 ） 函数 项 级 数 ∑ （ 在 区 间 ， 一致 收敛 骨 Ｖｅ＞０ 了Ｎ∈Ｎ， Ｖｎ＞Ｎ 柯 ） 上 ， 当
ｎ ｌ
Ｉ／ ＋ ／ １＋ ／ ＋ ＋ … ＇ ｎ ／ ２ ＇ ｎ
＋ ｎ ｐ ｌ ｓ ＋ ≥ ０
由此 充 要条 件 可得 ：
定 理 ２ 如果 函数 项级 数 ∑ ／ （ 的 每一 项 在 区间 ［ ， ］ 连 续 ， ２ ） ， ａ ｂ上 而该 级 数在 ［ ， ］ 的 某一 点 发 散 ， ａ ｂ上
函数项 级 数在 某一 区 间上一致 收敛 的定义 是 高等数 学 的重 要概 念 之一 ． 而判 别 函数 项 级数 在 某一 区间 上非 一 致 收敛则 是 高 等数学 教学 的难 点之 一 ． 很多 教材 和 文献 只介 绍 了判 别 函数 项级 数 一 致 收敛 的 常用 方 法 ， 未 提及 如 何判 别非 一致 收敛 ． 而 本文 利用 函数项级 数 一致 收 敛 的定 义及 其 性质 ， 于某些 函数项 级 数 给 对 出了判 定其 在某 一 区 间内非一 致 收敛 的几种 比较 实用 的方法 ．
数 项 级 数 在 某 一 区 间 内非 一 致 收敛 的 三 种 基 本 而 又 简便 的 方 法 ， 解 决有 关 函数 项 级 数 非 一 致 收 敛 的 可 几 种 问题 ， 有 一 定 的 学 术 参考 价 值 ． 具
关键 词 ： 函数 项 级 数 ； 分和 数 列 ； 一 致 收敛 ； 续 部 非 连 中 图 分 类 号 ： ７ Ｏ１３ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文章 编号 ：０ ５２ １ （０ ２ ０ ．０ ３０ ２ ９ ．９ ０ ２ １ ）３０ ２ ．３
由此 可得 函数 项 级数及 数项 级数 非一 致 收敛 的充要 条 件 ： 定 理 Ｉ： 函数项级 数 ∑ Ｕ （ 在 区 间 ， 非 一致 收 敛铮 ｊ￡ ＞０ 对 ＶＮＥ Ｎ， Ｖ ｎ＞Ｎ 时 ， ＶＰ∈Ｎ， ｎ ） 上 ０ ， 当 对
・
２ ・ ３
又因为 Ⅱ（）（ ： ，， 在 ，ｎ ｌ …） ：ｃ ２ 点连续， 所以壹 ＋（） 在 ： 点连续， 。 故对ｅ ， ＞ ， ： ０对一
切满 足 Ｉ —ｃ ＜ 且 ∈ ［ ｂ 的 ， 有 Ｉ ｎ， ］ 都
Ｉ “ ＋（ ［ ｌ ）＋ ｕ＋（ ２ ）＋… ＋ｌ ＋ （ ） 一 ［ ＋（ ）＋ ＋（ ）＋… ＋ ＋ （ ） ＜ ｅ ￣ ｐ 戈 ］ ｌｃ ２ｃ ｎ ｃ ］Ｉ
ｊ ∈，有 ０ Ｉ ＋（ ０ ｌ ）＋Ｈ ＋（ ）＋… ＋ ＋ （ ）Ｉ ｓ ２ ０ ４ 口 ｏ ≥ ｏ
定 理 １： ” 数项 级 数 ∑ ／ 区间 ， ． ｔ 在 上发 散铮 ｊ￡ ＞０ 对 ＶＮＥＮ， Ｖ １＞Ｎ 时 ， ＶＰＥ Ｎ， ｏ ， 当 ／ ， 对 有
则该 函数项 级 数在 （ ， ） ａ ｂ 内不 一致 收敛 ．
证 明 ： ∑ （ 在 ｃ ｎ ｂ 点发 散 ， 设 ） ∈［ ， ］ 即数项 级 数 ∑ ｕ （ ） 散 ． ｃ发 因此 由定理 １知 ： ｏ ， Ｖ ＮＥ Ｎ， ｊ。 ＞０ 对
当 Ｖ ｎ＞Ｎ 时 ， ＶＰ 对 ∈Ｎ， 有
由 于
Ｉ １ ＋ （ ＋“ ＋ （ ＋… ＋Ⅱ ＋ （ ］ ｕ ＋（ ） ２ ｃ ＋… ＋ｌ ＋ （ ） Ｉ ［‘ １ ） ２ ） Ｐ ） 一［ ｌｃ ＋ｕ ＋（ ） Ｉ Ｐ ｃ ］
≥ Ｉ ＋（ ） ＋（ ） ［ ｌｃ ＋ ２ ｃ ＋… ＋王 ＋ （ ） Ｉ ［ ＋ （ ＋ ＋ （ ＋… ＋Ｕ ＋ （ ］ ‘ Ｐ ｃ ］ —ｌ ｌ ） ２ ） ｐ ） Ｉ 所 以当 ｆ —ｃ ＜ 且 ∈［ ｂ 时 ， Ｉ 口， ］ Ｉ Ｉ ＋（ ［‘ １ ）＋Ｉ ＋（ ）＋… ＋ｕ ＋ （ ］Ｉ Ｉ Ｉ＋（ ）＋ Ｉ＋（ ）＋… ＋ｔ ＋ （ ） ‘ ２茹 ｐ ） ≥ ［‘ １ｃ ‘ ２ｃ ‘ ｐ ｃ ］Ｉ
ｌ ＋（ ）＋ ｕ ＋（ ）＋… ＋ １＋ （ ）Ｉ ￡ ｌｃ ２ ｃ １ ｐｃ ≥ ０ ＂ ｎ
收 稿 日期 ：０ ２ ０ ． ５ ２ １ ． ４ ０
作 者 简 介 ： 会 萍 （９ ４ ） 女 ， 北 沧 州人 ， 州 师 范 学 院物 理 与 电 子 信 息 系副教 授 石 １６ ． ， 河 沧
第２ ８卷 第 ３ 期
２１ ０２年 ９月
沧 州师 范学 院学报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａ ｇ ｈ ｕ Ｎｏ ｍａ ｉｅｓｔ ｏ ｒ ａ ｆＣ ｎ ｚ ｏ ｒ ｌＵｎｖ ｒｉ ｙ
Ｖｏ ． １２８， Ｎｏ． ３ Ｓ ｐ． ０ ２ ｅ ２ １
函数 项wk.baidu.com级 数 非 一致 收 敛 判 别 方 法 的归 纳 分析
石 会 萍
（ 沧州 师范学 院 物理 与 电子信 息 系 ， 河北 沧州 ０ １０ ） ６０ １
摘 要 ： 于 函数 项 级 数 非 一 致 收 敛 判 别 方 法 的 研 究 有 不 少 的 文 献 都 曾 讨 论 过 ． 是 仅 仅 给 出几 种 方 关 但 法 ， 不 能令 人 满 意 ． 过 对 函数 项级 数 一 致 收 敛 的 定 义及 其 性 质 的 综合 归 纳 分 析 ， 出 了判 定 某 些 函 还 通 给
１ 通 过 判 断 部 分 和 数 列 的发 散 性 判 定 函数 项 级 数 的非 一致 收 敛 性
对 于 已知 ｓ（ （ ≤艇≤ ） ） ａ ｂ 的情 况 ， 应着 眼 于判 断数 列 ｛ （ ） （ ≤ｃ ） ｃ ｝ ａ ≤ｂ 的收敛性 ， 时可 通 过判 断部 此 分 和 数列 的发散 性判 定 函数项 级数 的非 一致 收敛 性 ． 定理 １ （ 西 收敛准则 ） 函数 项 级 数 ∑ （ 在 区 间 ， 一致 收敛 骨 Ｖｅ＞０ 了Ｎ∈Ｎ， Ｖｎ＞Ｎ 柯 ） 上 ， 当
ｎ ｌ
Ｉ／ ＋ ／ １＋ ／ ＋ ＋ … ＇ ｎ ／ ２ ＇ ｎ
＋ ｎ ｐ ｌ ｓ ＋ ≥ ０
由此 充 要条 件 可得 ：
定 理 ２ 如果 函数 项级 数 ∑ ／ （ 的 每一 项 在 区间 ［ ， ］ 连 续 ， ２ ） ， ａ ｂ上 而该 级 数在 ［ ， ］ 的 某一 点 发 散 ， ａ ｂ上
函数项 级 数在 某一 区 间上一致 收敛 的定义 是 高等数 学 的重 要概 念 之一 ． 而判 别 函数 项 级数 在 某一 区间 上非 一 致 收敛则 是 高 等数学 教学 的难 点之 一 ． 很多 教材 和 文献 只介 绍 了判 别 函数 项级 数 一 致 收敛 的 常用 方 法 ， 未 提及 如 何判 别非 一致 收敛 ． 而 本文 利用 函数项级 数 一致 收 敛 的定 义及 其 性质 ， 于某些 函数项 级 数 给 对 出了判 定其 在某 一 区 间内非一 致 收敛 的几种 比较 实用 的方法 ．
数 项 级 数 在 某 一 区 间 内非 一 致 收敛 的 三 种 基 本 而 又 简便 的 方 法 ， 解 决有 关 函数 项 级 数 非 一 致 收 敛 的 可 几 种 问题 ， 有 一 定 的 学 术 参考 价 值 ． 具
关键 词 ： 函数 项 级 数 ； 分和 数 列 ； 一 致 收敛 ； 续 部 非 连 中 图 分 类 号 ： ７ Ｏ１３ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文章 编号 ：０ ５２ １ （０ ２ ０ ．０ ３０ ２ ９ ．９ ０ ２ １ ）３０ ２ ．３