两个重要极限

2.5.1两个重要极限（第一课时）

——新浪微博：月牙LHZ

一、教学目标

1.复习该章的重点内容。

2.理解重要极限公式。

3.运用重要极限公式求解函数的极限。

二、教学重点和难点

重点：公式的熟记与理解。

难点：多种变形的应用。

三、教学过程

1、复习导入

（1）极限存在性定理：A x f x f A x f x x x x x x ==⇔=-

+→→→)(lim )(lim )(lim 000 （2）无穷大量与无穷小量互为倒数，若）（0)(x x x f →∞→，则

）（00)(1

x x x f →→

（3）极限的四则运算：

[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=±

[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ⋅=⋅

)(lim )

(lim

)()(lim x g x f x g x f = ()()0lim ≠x g

（4）[])(lim )(lim x f c x cf =（加法推论）

（5）[][]k k x f x f )(lim )(lim =（乘法推论）

（6）[]0lim =⨯有界变量无穷小量（无穷小量的性质） eg: 0sin 1

lim sin lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=∞→∞→x x x x x x

那么，？=→x

x x sin lim 0呢，这是我们本节课要学的重要极限 2、掌握重要极限公式 1sin lim 0=→x

x x 公式的特征：（1）0

0型极限； （2）分子是正弦函数；

（3）sin 后面的变量与分母的变量相同。

3、典型例题

【例1】 求 kx

x x sin lim

0→()0≠k 解：kx x x sin lim 0→=k

k x x k x 111sin lim 10=⨯=→ 【例2】 求 x x x tan lim 0→ 解：x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim 000=⨯=⋅=⎪⎭

⎫ ⎝⎛→→→x x x x x x x x x （推导公式：1tan lim

0=→x

x x ） 【例3】 求 x

x x 5sin lim 0→ 解：51555sin lim 555sin 5lim 5sin lim 000=⋅=⋅=⋅=→→→x x x x x x x x x 4、强化练习

（1）x x x 3sin lim

0→（2）x kx x sin lim 0→()0≠k （3）x x x 35sin lim 0→ (4) x

x x 2tan lim 0→ 解：（1）x x x 3sin lim 0→=3

1131sin lim 310=⨯=→x x x （2） k k kx kx k kx kx k x kx x x x =⋅=⋅=⋅=→→→1sin lim sin lim sin lim 000 （3）3513555sin lim 353555sin lim 35sin lim 000

=⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=→→→x x x x x x x x x （4）x x x 2tan lim 0→=11122cos 1lim 22sin lim 22cos 12sin lim 000=⨯⨯=⋅⋅=⎪⎭

⎫ ⎝⎛→→→x x x x x x x x x 四、小结:

本节课我们学习了一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。在运用这个公式时，要注意两点：一是分子中的三角函数转换为正弦函数，二是分子sin 后面的变量与分母的变量相同。

五、布置作业:

（1）x

x x 5sin lim 0→（2）x x x 3sin lim 0→ （3）x x x 25sin lim 0→ (4) x

x x 3tan lim 0→

2.5.2两个重要极限（第二课时）

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一、教学目标

1.理解重要极限公式。

2.运用重要极限公式求解函数的极限。

二、教学重点和难点

重点：公式的熟记与理解。

难点：多种变形的应用。

三、教学过程

1、复习导入：

本节课我们学习一个重要的极限公式。首先我们一起复习一下指数运算。

(1)()n n n b a b =a

(2) m n m n a a a ⋅=+

(3) ()m

n nm a a = 2、掌握重要极限公式

e x

x x =+∞→)11(lim 3、典型例题

【例1】 x x x

)21(lim +∞

→ 解：22222])2

11(lim [])211[(lim )21(lim e x x x

x x x x x x =+=+=+∞→∞→∞→（构造法） 【例2】x x x 10)1(lim +→

解：e z

x z z x z x x =+=+∞

→=→)11(lim )1(lim 110（换元法） （推导公式：e x x x =+→10)1(lim ） 【例3】 x x x )11(lim -∞

→ 解：e e x x x x x x x x x 1])11(lim [])11[(lim )11(lim 111==-+=-+=----∞→--∞

→∞→（构造法） 【例4】 x x x x )1

(lim +∞→ 解：e x x x x x x x x x x 1111lim )111(lim )1(lim =⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=+=+∞→∞→∞→（构造法） 4、强化练习

（1）x x x )51(lim +∞→（2）x x x 2

0)1(lim +→（3）x x x

)21(lim -∞→ (4) x x x x )12(lim +∞→ 解：（1）55555])5

11(lim [])511[(lim )51(lim e x x x

x x x x x x =+=+=+∞→∞→∞→ （2）2221021020)11(lim )1(lim )1(lim )1(lim e z x x x z z x x x x x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+∞→→→→ (3) 2222221])211(lim [])211[(lim )21(lim e e x x x x

x x x x x ==-+=-+=----∞→--∞→∞→ (4)

e e e e x e x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x ==+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++∞→∞→∞→∞→∞→∞→22222])211(lim [])211[(lim 11lim 21lim )1121(lim )12(lim 四、小结:

本节课我们学习了另一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。学会巧妙地运用换元法和构造法把它转化为公式的形式，从