第八章 曲线积分与曲面积分

第八章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分

*1计算下列对弧长的曲线积分： ()1()+⎰L

x y ds ，其中L 为连接()1,0与()0,1两点的直线段.

解：⎰⎰=

=+L

L

ds ds y x 2)(

()2()Γ-+⎰x y z ds ，其中Γ为线段AB ，()()1,1,1,2,3,4A B .

解：

t z y x AB =-=-=-3

1

2111:

13,12,1+=+=+=t z t y t x 10≤≤t

()Γ-+⎰x y z ds =dt t t t 941)

13121(1

0++++--+⎰

=14214)

12(1

=+⎰dt t

()3⎰ L

xds ，其中L 为由直线=y x 及抛物线2

=y x

所围成的区域的整个边界.

解：

x y L =:1

2

2:x y L =

dx x x dx x xds xds xds L

L L ⎰⎰

⎰⎰⎰++=+=1

210

4121

2

=

)15(12

122)41(3

2812223

1

232-+=++x

第二节 对坐标的曲线积分

*1计算下列对坐标的曲线积分： ()1-⎰ L

xdy ydx ，其中L 是以()0,0A ,()1,0B ，()1,2C 为顶点的闭折线ABCA .

解：⎰

=

-L

ydx xdy 2)22(2

1

=-+⎰

⎰dx x x dy

()222()-⎰L x y dx ，其中L 是抛物线2=y x 上从点()0,0到点()2,4 的一段弧.

解：15

5653238)()(42

22

2-=-=

-=-⎰⎰

dx x x dx y x L

()

3()()22

+--+⎰

L

x y dx x y dy x y ，其中L 为圆周222+=x y a （按逆时针方向绕行）.

解：设θθsin ,cos a y a x ==

()()22

+--+⎰

L

x y dx x y dy x y

=

θθ

θθθθθπ

d a

a a a a a a ⎰---+20

2cos )sin cos ()sin )(sin cos ( =π2-

2计算

()()++-⎰L

x y dx y x dy ，其中L 是：

()1抛物线2y x =上从点()1,1到点()4,2的一段弧； 解：()()++-⎰L

x y dx y x dy

=3

34)](2)[(22

1

2=

-++⎰

dy y y y y y

()2从点()1,1到点()4,2的直线段； 解：

t y x =-=-1

1

31 t y t x +=+=1,31

()()++-⎰L

x y dx y x dy

dt t t t )]311()42(3[1

--+++=⎰

⎰+=1

)106(dt t

1156=+=

()3先沿直线从点()1,1到点()1,2，然后再沿直线到点()4,2的折线；

解：

()()++-⎰L

x y dx y x dy

⎰⎰++-=2

1

4

1

)2()1(dx x dy y

1462

15

123=++-=

()4曲线2

21x t t =++，21y t =+上从点()1,1到点()4,2的一段弧.

解：

()()++-⎰L

x y dx y x dy

dt t t t t t t t t ]2)121()14)(112[(2221

2---+++++++=⎰

dt t t t )29510(21

3+++=⎰

3

3222935410=+++=

第三节 格林公式 曲线积分与路径无关的条件

1利用格林公式，计算下列曲线积分： *()

1()2

1++⎰ L

y dx ydy ，其中L 为正弦曲线sin =y x 和2sin =y x ()0≤≤πx 所围区

域的正向边界.

解：y Q y P =+=,12

0,2=∂∂=∂∂x

Q

y y P ()2

1++⎰ L

y dx ydy ⎰⎰⎰⎰-=-=π

0sin 2sin 2)2(x

x

D

ydy dx dxdy y

xdx xdx ⎰⎰

-=-

=20

20

2

sin 6sin 3π

π

2

3221)6(π

π-=-= *()

2()24(536)-+++-⎰ L

x y dx y x dy ，其中L 为三顶点分别为()0,0、()3,0和()

3,2的三角形正向边界.

解：635,42-+=+-=x y Q y x P

3,1=∂∂-=∂∂x

Q

y P ()24(536)-+++-⎰ L x y dx y x dy 12322

1

4

4=⋅⋅==⎰⎰D

dxdy

*()

3()()+-+⎰x

y L

e

y dx e x dy ，其中L 为=y ()1,0-到()1,0.

解：A ()1,0-,B ()1,0添加有向线段:0=y ，x 从1到-1 )(,x e Q y e P y x +-=+=

1,1-=∂∂=∂∂x

Q y P ππ=⋅

==--=+-+⎰⎰⎰⎰⎰

+D

D

y BA

L x dxdy dxdy dy x e dx y e 2

1

22)2()()( ()()+-+⎰x

y L

e

y dx e x dy dy x e dx y e L

y x )()(+-+-=⎰π

e e

dx e x +-=-

=⎰

-1

1

1

ππ

∆()

4()()3

2222cos 12sin 3-+-+⎰L

xy

y x dx y x x y dy ，其中L 为抛物线22=πx y 自