第一节 导数的概念及运算、定积分

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考法(二) 求切点坐标 [例2] 已知函数f(x)＝xln x在点P(x0，f(x0))处的切线与直 线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为__(_1_,0_)___． [解析] ∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1，由题意得 f′(x0)·(－1)＝－1，即f′(x0)＝1，∴ln x0＋1＝1，ln x0＝0， ∴x0＝1，∴f(x0)＝0，即P(1,0)．
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间 的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与 u对x的导数的乘积．
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5．定积分的概念
在
b

f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间

a
[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝n·xn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝xln1 a
f(x)＝ln x

a
a，x＝b之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具
体来说，如图，设阴影部分的面积为S.
①S＝bf(x)dx；②S＝－bf(x)dx；③S＝cf(x)dx－bf(x)dx；




a
a
a
c
④S＝bf(x)dx－bg(x)dx＝b[f(x)－g(x)]dx.
( ×)
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二、选填题
1．下列求导运算正确的是
(B )
A.x＋1x′＝1＋x12 C．(3x)′＝3xlog3e
B．(log2x)′＝xln1 2 D．(x2cos x)′＝－2sin x
解析：
x＋1x
′
＝x′＋
1 x
′
＝1－
1 x2
；(3x)′＝Fra Baidu bibliotekxln
3；
x2cos x′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x．故
f′(x)＝1x
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3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)gfxx′＝f′xgx[g－xf]2xg′x(g(x)≠0)． 4．复合函数的导数
[名师微点]
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1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导． 2．常见形式及具体求导6种方法
连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导 三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，
再求导 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再 分式形式 求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导 对数形式 先化为和、差形式，再求导 复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要 时可换元
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[考法全析]
考法(一) 求切线方程
[例1] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)·x2＋ax，若
f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为 ( D )
A．y＝－2x
B．y＝－x
C．y＝2x
D．y＝x
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[解析] 法一：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax， ∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a. 又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立， 即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立， ∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1， ∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x. 法二：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数， ∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数， ∴a＝1，即f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1， ∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.
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[提醒] 对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似 于f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的 关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数
f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析 式，求得所求导数值．
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考点二 导数的几何意义及其应用[全析考法过关]
量，f(x)dx叫做被积式．
6．定积分的性质
(1) bkf(x)dx＝kbf(x)dx(k为常数)；


a
a
(2)
b

[f1(x)± f2(x)]dx＝bf1(x)dx±bf2(x)dx；
a
a
a
(3) bf(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx(其中a＜c＜b)．❸
解：(3)y′＝coesx
x′＝cos

x′ex－cos ex2
xex′
＝－sin
x＋cos ex
x.(4)∵y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2
＝12xsin(4x＋π)＝－12xsin 4x，
∴y′＝－12sin 4x－12x·4cos 4x＝－12sin 4x－2xcos 4x.
曲线y＝fx在点Px0，y0处的切线是指P为切点，
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斜率为k＝f′x0的切线，是唯一的一条切线.
(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何 意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)❷处的切线的斜率(瞬时
速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程
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[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．
(√)
(2)因为(ln x)′＝1x，所以1x′＝ln x．
(×)
(3)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则bf(x)dx＝bf(t)dt.


a
a
( √)
(4)定积分一定是曲边梯形的面积．



a
a
c
求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函
数解析式，然后根据定积分的性质3进行计算.
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7．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)
＝f(x)，那么
b

f(x)dx＝F(b)－F(a)，常把F(b)－F(a)记作

a
F(x) ba，即abf(x)dx＝F(x) ba＝F(b)－F(a)．
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1定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负， 而定积分的结果可正可负. 2当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于 x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.
8．定积分的几何意义❹
定积分
b

f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线y＝f(x)及直线x＝
为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝ lim Δx→0
fx＋ΔΔxx－fx为f(x)
的导函数．
(4)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常 数)，[f′(x0)]′＝0.
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2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
时变化率 lim
Δx→0
ΔΔxy＝Δlxim→0
fx0＋ΔΔxx－fx0❶为函数y＝f(x)在x
＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′x＝x0，即f′(x0)＝ lim Δx→0
ΔΔxy＝Δlxim→0 fx0＋ΔΔxx－fx0.
函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其 正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快 慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
选B.
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2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y
＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是
(D )
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解析：由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递 减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递 减，故可排除A、C. 又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明 y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排 除B.故选D.
＋2x，所以f′(2)＝1－22ln 2×22ln 2＋2×2＝1－24ln 2.
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3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝ __－__2____. 解析：f′(x)＝4ax3＋2bx， ∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2， ∴f′(－1)＝－2.
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4．求下列函数的导数．
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5．曲线y＝1－x＋2 2在点(－1，－1)处的切线方程为 _2_x_－__y_＋__1_＝__0___． 解析：∵y′＝x＋2 22，∴y′|x＝－1＝2. 故所求切线方程为2x－y＋1＝0.
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考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
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考点一 导数的运算[基础自学过关]
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[题组练透]
1．f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0等于 ( B )
A．e2
B．1
C．ln 2
D．e
解析：f′(x)＝2 018＋ln x＋x×1x＝2 019＋ln x，故由f′(x0)
＝2 019，得2 019＋ln x0＝2 019，则ln x0＝0，解得x0＝1.
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3．已知t是常数，若t (2x－2)dx＝8，则t＝ 0
A．1
B．－2
( D)
C．－2或4
D．4
解析：由t (2x－2)dx＝8，得(x2－2x) 0
t0＝t2－2t＝8，
解得t＝4或t＝－2(舍去)．
4．若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝___2_e____.
解析：∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.



a
a
a
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[熟记常用结论]
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函 数的导数还是周期函数．
2．熟记以下结论：(1)1x′＝－x12；(2)(ln|x|)′＝1x； (3)f1x′＝－f[′ fxx]2(f(x)≠0)； (4)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．
第三章 导数及其应用
全国卷5年考情图解
高考命题规律把握
1.本章内容在高考中一般是“一大一小”． 2.在选择题或填空题中考查导数的几何意义，有时与函数的性
质相结合出现在压轴小题中． 3.解答题一般都是两问的题目，第一问考查求曲线的切线方
程，求函数的单调区间，由函数的极值点或已知曲线的切线 方程求参数，属于基础问题．第二问利用导数证明不等式， 已知单调区间或极值求参数的取值范围，函数的零点等问 题.2018年全国卷Ⅱ和全国卷Ⅲ均以不等式的证明为载体，考 查了导数在函数单调性中的应用，总体难度偏大.
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2．(2019·宜昌联考)已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x
＋x2，则f′(2)＝
(C)
12－8ln 2 A. 1－2ln 2
2 B.1－2ln 2
4 C.1－2ln 2
D．－2
解析：因为f′(x)＝f′(1)·2xln 2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·
2ln 2＋2，解得f′(1)＝1－22ln 2，所以f′(x)＝1－22ln 2·2xln 2
(1)y＝x2sin x；
(2)y＝ln x＋1x； 解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.

(2)y′＝ln

x＋1x′＝(ln
x)′＋1x′＝1x－x12.
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(3)y＝coesx x；
(4)y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2.
第一节 导数的概念及运算、定积分
目录
基础——在批注中理解透
单纯识记无意义，深刻理解提能力
课时跟踪检测
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
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基础——在批注中理解透
单纯识记无意义，深刻理解提能力
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1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬
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3．常见被积函数的原函数
(1) abcdx＝cxba；(2) abxndx＝nx＋n＋11ba (n≠－1)；
(3)
bsin

a
xdx＝－cos
xab；(4)
bcos

a
xdx＝sin
xba；
(5) ab1xdx＝ln|x|ba；(6) abexdx＝exba.