椭圆中的值问题与定点、定值问题

椭圆中的值问题与定点、定值问题

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椭圆中的最值问题与定点、定值问题

解决与椭圆有关的最值问题的常用方法

（1）利用定义转化为几何问题处理；

（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解；

（3）利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x 、y 的取值范围；

（4）利用三角替代（换元法）转化为 三角函数的最值问题处理。 一 、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题

椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c （远日点）、最小值a-c （近日点）。

推导：设点),(00y x P 为椭圆)0( 122

22>>=+b a b

y a x 上的任意一点，左焦点为)0,(1c F -，

2

2

01)(||y c x PF ++=，由 1

220220=+b y a x 得)1(2202

0a

x b y -=，将其代入 2

0201)(||y c x PF ++=并化简得a x a

c

PF +=

01||。所以，当点),(00y x P 为长轴的右端点)0,(2a A 重合时，a c a a a

c

PF +=+⋅=

max 1||；当点),(00y x P 为长轴的左端点)0,(1a A -重合时。c a a a a

c

PF -=+-⋅=

)(||min 1。当焦点为右焦点)0,(2c F 时，可类似推出。 1. （2015浙江卷）如图，已知椭圆 12

22

=+y x 上两个 不同的点A 、B 关于直线2

1

+=mx y 对称。 （1）求实数m 的取值范围；

（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）。 解：（1）由题意知0≠m ，可设直线AB 的方程为b x m

y +-

=1

。 B

A

O x

y

联立⎪⎩

⎪⎨⎧+-==+b

x m y y x 1122

2，消y 去，得012)121(222=-+-+b x m b x m 。

因为直线b x m

y +-=1

与椭圆 1222=+y x 有两个不同的交点， 所以04

2222

>+

+-=∆m

b 。-------① 设),(),,(2211y x B y x A ，线段AB 的中点 ),(M M y x M ，则2

4221+=

+m mb

x x ，

所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=

+-=+=+=21 22222

221m b m b x m y m mb x x x M M M 。将线段AB 的中点)2,22(222++m b m m mb M 代入直线2

1

+=mx y ，解得2222m m b +-

=。------② 由①②得3

636>-

6,0()0,26(1Y -∈=

m t ， 则[]

2122124)()1(1||x x x x m AB -+⋅⎥⎦⎤⎢⎣

⎡-+=

=2

1

232212242+

++-⋅+t t t t ，

且O 到直线AB 的距离为1

2122++

=

t t d 。 设AOB ∆的面积为)(t S ，所以2)21(221||21)(22+--=⋅=

t d AB t S 2

2≤，

当且仅当2

1

2

=

t 时，等号成立。故AOB ∆面积的最大值为22。

2.已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .

(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.

解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧

4x 2＋y 2＝1，

y ＝x ＋m

得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，

因为直线与椭圆有公共点，

所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－

52≤m ≤5

2.

(2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，

所以x 1＋x 2＝－

2m 5，x 1x 2＝15(m 2

－1)，

所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2

＝2(x 1－x 2)2＝

2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]

＝

()

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--154254222m m ＝

2

5

10－8m 2.

所以当m ＝0时，|AB |最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y ＝x .

反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或