工程力学讲义

n Fcr F
341 2.27 150
nst
∴杆子满足稳定性要求。
[题9-3] 图示立柱，l=6m，由两根10号槽钢组成，下端固定， 上端为球铰支座，材料为Q235钢，E=200GPa， P=200MPa，试问当a取多少时立柱的临界压力最大, 其值有多大?
( Iz1198.3cm4, I y125.6cm4 A112.74cm2, z0 1.52cm )
104
443 .8103(N) 443.8(kN)
[刘题9.13]P313 工字形截面连杆，材料Q235钢，两端柱形
铰，在xy平面内发生弯曲，两端可认为铰支，在xz平面发生弯
曲，两端可认为固定， 已知连杆所受最大轴向压力为465kN，
试确定其工作安全因数。
96
14
140 85
x
z
l=3100
y
z
P
10 50
解：I
m
in
50103 12
4.17103
(mm4
)
Fcr
2EImin ( l)2
2
200103 4.17 (0.7 500)2
103
67.14103 (N)
l
67.14(kN)
[例4] 已知：压杆为Q235钢，l=0.5m，E=200GPa，求细长
压杆的临界压力。
P
解：IminI y0 3.89cm4 3.89104mm4
试校核其稳定性。(一个角钢A1=8.367cm2，Ix=23.63cm4，
Ix1=47.24cm4 ，z0=1.68cm ）
解： 两根角钢图示组合之后
I y 2Ix 2 23.63 47.26cm4
z
y0
x0
yx
x
x1
x1
x0 z0
y0
Iz 2Ix1 2 47.24 94.486cm4
Iy Iz ,
λ ≤ λ0，粗短杆
P
2E P
0
a
b
s
cr
2 E 2
cr a b
cr s
l
i
i I A
Fcr cr A
§9-4 压杆的稳定计算
安全系数法:
n Fcr F
工作安全系数
稳定条件： n ≥ nst
nst —规定的安全系数
[例5] 已知F=12kN，斜撑杆CD的外径D=45mm，内径
407104 25.1mm 6470
在xy平面内失稳
z
zl
iz
13100 52.5
59.0
z y
x
Leabharlann Baidu
l=3100
y
在xy平面内失稳
z
zl
iz
13100 52.5
59.0
在xz平面内失稳
y
i
y y
l
0.53100 61.8 25.1
y z ∴ xz平面内先失稳
z x
在xy平面内失稳
z
zl
iz
13100 52.5
y x
[刘题9.13]P313 工字形截面连杆，材料Q235钢，两端柱形 铰，在xy平面内发生弯曲，两端可认为铰支，在xz平面发生弯 曲，两端可认为固定， 已知连杆所受最大轴向压力为465kN， 试确定其工作安全因数。
[刘题9.13]P313 工字形截面连杆，材料Q235钢，两端柱形
铰，在xy平面内发生弯曲，两端可认为铰支，在xz平面发生弯
y0 x
x0 x
Fcr
2EImin ( l)2
l
x1
x1
x0 z0
y0
(4545 6)
2
200103 3.89 (2 500)2
104
等边角钢
76.8103(N) 76.8(kN)
若是Q235钢，σs=235MPa，则杆子的屈服载荷：
Fs s A 235 5.076 102
119 103(N) 119(kN)
A
198.4
(
452 40 4
2
)
84( kN)
n Fcr FN
338.4952.48nst
∴斜撑杆CD不 满足稳定性要求。
[例6] 一压杆长l=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两
端铰支，压力P=150kN，材料为Q235钢， E=200GPa，
P=200MPa， S=235MPa， a=304MPa，b=1.12MPa， nst =2，
k 2 l 2 n2 2 ,
F
n
2
l
2 2
EI
由 k2 F , EI
临界力 Fcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1
Fcr
π
2 EI l2
F
z y
上式称为两端铰支压杆临界力的
欧拉公式 z
若是球铰， 式中：I=Imin
y
Imin I y
y
F=Fcr
v
x
l
F=Fcr x
压杆的挠曲线：w Asinkx Asin x
d=40mm，材料为Q235钢， E=200GPa，
P=200MPa， S=235MPa， a=304MPa， b=1.12MPa， 稳定安全系数 nst =2.5，试校核斜撑
杆的稳定性。
F
F
1m
1m
1m
1m
B
B
A
C
45°
A 45°
C
FN
解： M A0, 1FN sin452F0
D
FN
2F sin45
P
a
解：两根槽钢图示组合之后，
z1
C1
z0
z
I z 2I z12198 .3396 .6cm4
y1
I y 2[I y1 A1(z0 a/2)2 ]
l
y
2[25.612.74(1.52a/2)2 ]
当I
y
I
时合理；得
z
a4.32cm
求临界压力： l
i
l
Iz
0.7 600 396 .6
106.5
第九章 压杆的稳定
§9–1 压杆稳定的概念 §9–2 细长压杆的临界压力 §9-3 欧拉公式的适用范围 经验公式 §9-4 压杆的稳定计算 §9-5 提高压杆稳定性的措施
§9–1 压杆稳定的概念 ①强度
构件的承载能力： ②刚度
③稳定性
工程中有些构 件具有足够的强度、 刚度，却不一定能 安全可靠地工作。
59.0
在xz平面内失稳
y
i
y y
l
0.53100 61.8 25.1
y z ∴ xz平面内先失稳
（2）求连杆的临界压力 y 61.8
材料Q235钢，1=100， 2=61， y接近2，属于强度问题
Fcr s A 23564701520(kN)
（3）工作安全因数
n F Fcr
1520 465
不稳定平衡时所受轴向压 力的界限值，称为临界压 力。
压杆失稳： 压杆丧失其直线形
状的平衡而过渡为曲线 平衡
P
工程结构失稳的实例
1、1907年，加拿大圣劳伦斯河魁北克大桥，在架设 中跨时，由于悬臂桁架中受压力最大的下弦杆丧 失稳定，致使桥梁倒塌，9000吨钢铁成废铁，桥 上86人中伤亡达75人。
曲，两端可认为固定， 已知连杆所受最大轴向压力为465kN，
试确定其工作安全因数。
96
14
140 85
x
z
l=3100
y
z
y
A6470mm2 ,
I y 407104 mm4 , x I z 1780104 mm4
解：（1）计算连杆的柔度
iz
Iz A
1780104 52.5mm 6470
iy
Iy A
3、1925年，前苏联莫兹尔桥，在试车时由于桥梁桁 架压杆丧失稳定而发生事故。
§ 9–2 细长压杆的临界压力
假设压力F 已达到临界值，杆处于微弯状态，如图， 从
挠曲线入手，求临界力。
（1）弯矩：M (x) Fw
（2）挠曲线近似微分方程：
w
F=Fcr
w
F=Fcr
w M ( x) EI
x l
x
w F w
3.27
4F 2
33.95kN
i
I A
(D4 d 64
4)
4 (D2 d
2)
D2 d2 4
15(mm)
l 1
i
21103 15
94.3
P
2E P
2 200103 99
200
0
a
b
s
304235 1.12
61.1
0 P
cr a b 3041.1294.3198.4(MPa)
Fcr
cr
工程结构失稳的实例
加拿大圣劳伦斯河魁北克大桥
工程结构失稳的实例
采用悬臂法施工
工程结构失稳的实例
因 失 稳 倒 塌
工程结构失稳的实例
重 建 后 的 魁 北 克 大 桥
工程结构失稳的实例
2、1922年，美国华盛顿镍克尔卜克尔剧院，在大雪 中倒塌，死亡98人，受伤100多人，倒塌原因是由 于屋顶结构中一根梁雪后超载过甚，引起梁失 稳，从而使柱和其他结构产生移动，导致建筑物 的倒塌。
EI
w MF
w F w 0 EI
F
w
令k 2 F , w k 2w 0
EI
（3）微分方程的解：w Asinkx Bcoskx
（4）确定积分常数：由边界条件 x=0，w=0；x=l，w=0 确定
由x 0,w 0,得B 0,
即w Asinkx
由x l,w 0,得Asinkl 0
∵ A0 sinkl 0 kl n
可见杆子失稳在先，屈服在后。
§ 9-3 欧拉公式的适用范围 经验公式
一、 临界应力
cr
Fcr 2EI A (l)2 A
2E I
(l
)2
A
(i
I A
— —惯性半径)
2E i2 (l)2
2E
(
l
)
2
i
记：
l
i
— —杆的柔度（或长细比）
cr
2E 2
欧拉公式
二、欧拉公式 的应用范围
cr
2E 2
A
2 12.74
P
2E P
2 200103 99.3
200
P
大柔度杆，由欧拉公式求临界力。
Fcr cr A
2E 2
A
2
200103 (106.5)2
2
1274
443 .8103(N) 443.8(kN)
或：
Fcr
2EI (l)2
2
200103 396.6 (0.7 6103)2
l
曲线为一正弦半波，A为幅值，但其值无法确定。
二、一端固定一端铰支
P
Fcr
π 2EI (0.7l ) 2
l 0.7l
C— 挠曲 线拐点
w M 0
EI
三、两端固定
P
P
l
l
l/2
Fcr
π 2EI (0.5l ) 2
[例1]求细长压杆的临界压力
P
l 0.5l
Fcr
π 2EI (0.5l ) 2
[例3] 求细长压杆的临界力。l=0.5m，E=200GPa
i
Iy A
47.26
28.367 1.68cm
l 1150 89.3
i 1.68
Q235钢： P
2E P
2 200103 99
200
0
a
b
s
3014.12235
61.6
0 P
cr a b 3041.1289.3 204(MPa)
Fcr cr A 204 (836.7 2) 341(kN)
一、稳定性的概念 稳定性：保持原有平衡状态的能力 1、稳定平衡
影片：14-1
2、随遇平衡
3、不稳定平衡
影片：14-2
二、压杆失稳与临界压力 ：
F<Fcr P
稳 F=Fcr
F>Fcr
随
不
定
遇
稳
平
平
定
衡
衡
平
P
衡
P
影片：14-3
稳
定
影片：14-4
平
衡
不 稳 定 平 衡
影片：14-5
压杆的临界压力： 由稳定平衡转化为
在 cr P时成立
σcr
即：欧拉公式的使用条件是
σP λP
λ≥λP，大柔度杆
∵
c
r
2E
2 P
P
∴ P
2E P
λ
Q235钢，P 100
三、压杆的临界应力总图
cr
S
cr ab
P
s a b0
0
a
b
s
2E
cr
2
0
P
临界应力总图
L
i
四、小结
λ≥λP，大柔度杆 λ 0 ≤ λ ≤ λP，中柔度杆