2019考研数学二真题及答案
2019考研数学二答案解析
= lim +
x →0
所以 f (0) 不存在,因此
2x 2 x (1 + ln x), x 0, f ( x) = x x 0. ( x + 1)e ,
1 ;另外 f ( x) 还有一个不可导点 x2 = 0 ; e 1 1 又 (−, −1) 为单调递减区间 , ( −1, 0) 为单调递增区间, (0, ) 为单调递减区间, ( , +) 为单 e e
2
= e (
1 2 x
dx + C ) = e ( x + C ) ;
x2 2
又由 y (0) = e 得 C = 0 ,最终有
y ( x) = xe .
(2)所求体积
x2 2
x2 2
V = π( xe ) 2 dx = π xe x dx
2
2
2
1
1
π 2 π = e x = (e 4 − e) . 2 1 2
18、已知平面区域 D 满足 x
2
y, ( x 2 + y 2 )3 y 4 ，求
x+ y x2 + y 2
D
dxdy .
解:由 x
2
y 可知区域 D 关于 y 轴对称,在极坐标系中,
2 3
π 3π ;将 x = r cos , y = r sin 4 4
代入 ( x + y )
y 4 得 r sin 2 ;
解:
( x − 1) ( x
3x + 6 2 3 2x +1 dx = [− + + 2 ]dx 2 2 2 + x + 1) x − 1 ( x − 1) x + x +1
2019考研数学二答案真题解析
0034 0034
三、解答题：15 23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
15.设函数
y
f (x) 是微分方程
y
xy
e
x2 2
满足条件
y(0)
0 的特解。
（1）求 y f (x) ；
（2）求曲线 y y(x) 的凹凸区间及拐点。
4/9
【答案】A
【解析】在区域
D
上，x2
y2
2 4
，令
x2
y2
，则 0
u
2
，所以有 sin
x2 y2
x2 y2 ；
令 f (u) 1 cos u sin u ，则 f (u) sin u cos u ，
故当 0
u
4
，
f
(u)
0 ；当
4
u
2
，
f
(u)
0；
而 f (0) f (2 ) 0 ，所以 f (u) 0 ，即1 cos u sin u ，得到1 cos x2 y2 sin x2 y2
又因为 A 4 123 ，故 A 的 3 个特征值为1, 2, 2 ，所以二次型 xT Ax 的规范形为 y12 y22 y32 .
二、填空题：9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.
2
9. lim(x 2x ) x
.
x0
【答案】 4e2
2
【解析】 lim(x 2x ) x
0
0
n1
k 0
e (k 1) x
sin x
dx
n1
(1)k
2019考研数学二考试真题及答案详解(完整版)
f (a ) g (a )
lim
f' (x)
g
' (
x)
xa 2(x a)
f (a) g(a)
lim f (x) g(x) = f (a) g(a) f ( a) g( a)
xa
2
2
f(x)与 g(x)相切于点 a.且曲率相等.选择（B）
f
+ y × f + 2y 2 f x
= - 2 y3 f + yf + 2 y3 f
x
x
=
yf
ççç
y2 x
÷÷÷÷
12. 设函数 y lncosx(0≤x≤ )的弧长为
.
6
解析：
y ln cos x, 0 x 6
l
6 0
1
sin x cos x
2019 考研数学二考试真题及答案详解 来源：文都教育
一、选择题 1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求 的.
1.当 x→0 时， x tan x与x k 同阶，求 k（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：
x - tan x - x3 若要 x - tan x 与 xb 同阶无穷小， \ k = 3 3
A. y12 y22 y32
B. y12 y22 y32
C. y12 y22 y32
D. y12 y22 y32
解析： 由 A2 + A = 2E 得 λ2 + λ=2 ， λ 为 A 的特征值， l=-2 或 1， 又 A λ1λ2 λ3=4 ，故 λ1=λ2=-2，λ3=1 ，
2019年考研数学二真题及全面解析(Word版)
2019年考研数学（二）真题及完全解析（Word 版）一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与 kx 是 同阶无穷小量，则k=（ ）A 、 1.B 、2.C 、 3.D 、 4.【答案】C .【解析】因为 3tan ~3x x x --，所以3k =，选 C .2、曲线3sin 2cos y x x x x ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ －２２的拐点是（ ） A 、,ππ⎛⎫⎪⎝⎭ ２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ２２.【答案】C . 【解析】cos sin y x x x '=- ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。
当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π- 是拐点。
故选 C . 3、下列反常积分发散的是（ ）A 、xxe dx +∞-⎰. B 、 2x xe dx +∞-⎰. C 、 20tan 1arx x dx x +∞+⎰. D 、201x dx x+∞+⎰. 【答案】D . 【解析】A 、1xxx x xe dx xde xee dx +∞+∞+∞+∞----=-=-+=⎰⎰⎰，收敛；B 、222001122x x xe dx e dx +∞+∞--==⎰⎰，收敛；C 、22200tan 1arctan 128arx x dx x x π+∞+∞==+⎰，收敛； D 、2222000111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞+∞+∞=+=+=+∞++⎰⎰，发散，故选D 。
4、已知微分方程的x y ay byce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）A 、 1,0,1.B 、 1,0,2.C 、2,1,3.D 、2,1,4. 【答案】D .【解析】 由题设可知1r=-是特征方程20r ar b ++=的二重根，即特征方程为2(1)0r +=，所以2,1a b == 。
2019全国硕士研究生考研数学二真题及答案解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当→x 0时，若−x x tan 与x k是同阶无穷小，则=k A. 1. B. 2.C. 3. D.4.【答案】C【解析】−−x x x 3tan ~3，所以选C.2、设函数=+−y x x x x 22sin 2cos ()π3π的拐点 A. 22(,).ππB.(0,2).C.−,2).π( D. −22(,).π3π3【答案】C.【解析】令=−=''y x x sin 0，可得=x π，因此拐点坐标为（，）−2π. 3、下列反常积分发散的是A. ⎰−+∞x xx e d 0B. ⎰−+∞x xx e d 02C.⎰++∞x x x1d arctan 02D.⎰++∞x x x 1d 02【答案】D 【解析】⎰+=+=+∞+∞+∞x x x x 12d ln(1)1022，其他的都收敛，选D. 4、已知微分方程x ce =by +y ¢a +y ¢¢的通解为x e +x -e )x 2C +1C (=y ，则a 、b 、c 依次为A 、1,0,1B 、 1,0,2C 、2,1,3D 、2,1,4【答案】 D.【解析】由通解形式知，==−λλ112，故特征方程为（）+++λλλ1=21=022，所以==a b 2,1，又由于=y x e 是+='''y y y ce x +2的特解，代入得=c 4.5、已知积分区域=+D x y x y2{(,)|}π，⎰⎰=I x y d 1，2019全国硕士研究生考研数学二真题及答案解析(官方）2d DI x y =⎰⎰，3(1d DI x y =−⎰⎰，试比较123,,I I I 的大小A. 321I I I <<B. 123I I I <<C. 213I I I << D. 231I I I <<【答案】C【解析】在区域D上2220,4x y π≤+≤∴≤，进而213.I I I <<6、已知(),()f x g x 的二阶导数在x a =处连续，则2()g()lim0()x af x x x a →−=−是曲线(),()y f x y g x ==在x a =处相切及曲率相等的A.充分非必要条件.B.充分必要条件.C.必要非充分条件.D.既非充分又非必要条件.【答案】A【解析】充分性:利用洛必达法则,有2()g()()g ()()g ()limlim lim 0.()2()2x ax a x a f x x f x x f x x x a x a →→→''''''−−−===−−从而有()(),()(),()()f a g a f a g a f a g a ''''''===,即相切,曲率也相等. 反之不成立,这是因为曲率322(1)y K y ''='+,其分子部分带有绝对值,因此()()f a g a ''''=或()()f a g a ''''=−;选A.7、设A 是四阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组Ax =0的基础解系中只有2个向量，则*A 的秩是（） A.0 B.1 C.2D.3【答案】 A.【解析】由于方程组基础解系中只有2个向量，则()2r A =，()3r A <，()0r A *=.8、设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵. 若22+=A A E ，且4=A ，则二次型T x Ax 规范形为A. 222123.y y y ++ B. 222123.y y y +−C. 222123.y y y −− D. 222123.y y y −−−【答案】C【解答】由22+=A A E ，可知矩阵的特征值满足方程220λλ+−=，解得，1λ=或2λ=−. 再由4=A ，可知1231,2λλλ===−，所以规范形为222123.y y y −−故答案选C.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分． 9. 2lim(2)x xx x →+=___________.【解析】022lim ln(2)lim(2)ex x x x xxx x →+→+=其中000221lim ln(2)2lim 2lim(12ln 2)2(1ln 2)x xx x x x x x x x→→→+−+==+=+所以222ln 22lim(2)e4x xx x e +→+==10.曲线sin 1cos x t t y t=−⎧⎨=−⎩在32t π=对应点处切线在y 轴上的截距___________.【解析】d sin d 1cos y tx t=−当32t π=时，3d 1,1,12d yx y xπ=+==−所以在32t π=对应点处切线方程为322y x π=−++所以切线在y 轴上的截距为322π+11.设函数()f u 可导，2()y z yf x=，则2z zx y x y ∂∂+=∂∂___________.【解析】223222()()()z y y y y yf f x x x x x∂''=−=−∂2222222()()()()()z y y y y y y f yf f f y x x x x x x ∂''=+=+∂所以22()z z y x y yf x y x∂∂+=∂∂12.设函数ln cos (0)6y x xπ=的弧长为___________.【解析】弧长61d cos s x x x xπ===⎰6011ln |tan |ln 3cos 2x x π=+==13.已知函数21sin ()d xt f x xt t=⎰，则10()d f x x =⎰___________.【解析】设21sin ()d xt F x t t=⎰，则1100()d ()d f x x xF x x=⎰⎰112212000111()d [()]d ()222F x x x F x x F x ==−⎰⎰211220011sin ()d d 22x x F x x x xx '=−=−⎰⎰122100111sin d cos (cos11)244x x x x =−==−⎰14.已知矩阵1100211132210034−⎛⎫ ⎪−− ⎪= ⎪−− ⎪⎝⎭A ，ij A 表示||A 中(,)i j 元的代数余子式，则1112A A −=___________.【解析】11121100100021112111||3221312100340034A A −−−−−−−===−−−A 1111111210104034034−−−−=−==−三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本题满分10分）已知2,0,()e 1,0,xx x x f x x x ⎧>⎪=⎨+⎪⎩求()f x '，并求()f x 的极值.解:0x >时,2ln 2ln (0)(e)e (2ln 2)x xx x f x ''==+;0x <时,()(1)e x f x x '=+;又2ln 00()(0)e 1(0)lim lim0x x x x f x f f x x+++→→−−'==−002ln lim lim 2ln x x x xx x++→→===−∞, 所以(0)f '不存在,因此22(1ln ),0,()(1)e ,0.xxx x x f x x x ⎧+>⎪'=⎨+<⎪⎩令()0f x '=,得驻点1311,ex x =−=;另外()f x 还有一个不可导点20x =; 又(,1)−∞−为单调递减区间,(1,0)−为单调递增区间,1(0,)e 为单调递减区间,1(,)e+∞为单调递增区间;因此有极小值1(1)1e f −=−和极小值2e 1()e ef −=,极大值(0)1f =.16、（本题满分10分） 求不定积分2236d .(1)(1)x x x x x +−++⎰解:2222362321d []d (1)(1)1(1)1x x x xx x x x x x x ++=−++−++−−++⎰⎰ 232ln 1ln(1)1x x x C x =−−−++++−17、（本题满分10分）()y y x =是微分方程22e x y xy '−=满足(1)y =.（1）求()y x ；（2）设平面区域{(,}|12,0()}D x y x y y x =，求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.解(1)2d d 2()e [e e d ]x x xx xy x x C −⎰⎰=+⎰2222e ()e )x x x C C =+=+;又由(0)y =得0C =,最终有22()e x y x =.(2)所求体积22222211πe )d πe d x x V x x x==⎰⎰2241ππe (e e)22x ==−.18、已知平面区域D 满足2234,()xy x y y +，求d x y ⎰⎰.解:由xy 可知区域D 关于y 轴对称,在极坐标系中,π3π44θ;将cos ,sin x r y r θθ==代入2234()x y y +得2sin r θ;由奇偶对称性,有2πsin 2π04sin d d 2d d r x y x y r r r==⎰⎰⎰⎰⎰⎰θθθππ52222ππ44sin d (1cos )dcos 120==−−=⎰⎰θθθθ19、设n 为正整数，记n S 为曲线e sin (0π)xy x x n −=与x 轴所围图形的面积，求n S ，并求lim n n S →∞.解:设在区间[π,(1)π]k k +(0,1,2,,1)k n =−L 上所围的面积记为k u ,则(1)π(1)πππe |sin |d (1)e sin d k k x kx k k k u x x x x ++−−==−⎰⎰;记e sin d x I x x −=⎰,则e d cos (e cos cos de )x x x I x x x −−−=−=−−⎰⎰e cos e dsin e cos (e sin sin de )x x x x x x x x x x −−−−−=−−=−−−⎰⎰e (cos sin )x x x I −=−+−,所以1e (cos sin )2xI x x C −=−++;因此(1)π(1)πππ11(1)()e (cos sin )(e e )22k kk k k k k u x x +−−+−=−−+=+;(这里需要注意cos π(1)kk =−)因此π(1)π1ππ111e e e 221e n n n k n k k k S u −−+−−−==−==+=+−∑∑; π(1)πππππ1e e 1e 11lim lim21e 21e 2e 1n n n n S −−+−−−→∞→∞−=+=+=+−−−20、已知函数(,)u x y 满足222222330u u u u x y x y∂∂∂∂−++=∂∂∂∂，求,a b 的值，使得在变换(,)(,)e ax by u x y v x y +=下，上述等式可化为(,)v x y 不含一阶偏导数的等式.解:e e ax byax by x u v va x++∂'=+∂, 222e e e e ax by ax by ax byax by xx x x u v v a v a va x++++∂''''=+++∂2e 2ee ax by ax byax by xx x v av a v +++'''=++同理,可得ee ax by ax by y u v bv y++∂'=+∂,222e 2e e ax by ax by ax by yy y u v bv b v y +++∂'''=++∂; 将所求偏导数代入原方程,有22e [22(43)(34)(2233)]0ax by xx yy x y v v a v b v a b a b v +''''''−+++−+−++=,从而430,340a b +=−=,因此33,44a b =−=. 21、已知函数(,)f x y 在[0,1]上具有二阶导数，且1(0)0,(1)1,()d 1f f f x x ===⎰，证明：（1）存在(0,1)ξ∈，使得()0f ξ'=； （2）存在(0,1)η∈，使得()2f η''<−. 证明:(1)由积分中值定理可知,存在(0,1)c ∈,使得1()d (10)()f x x f c =−⎰,即()1f c =.因此()(1)1f c f ==,由罗尔定理知存在(,1)((0,1))c ∈⊂ξ,使得()0f ξ'=.(2)设2()()F x f x x =+,则有2(0)0,()1,(1)2F F c c F ==+=;由拉格朗日中值定理可得:存在1(0,)c ∈η,使得21()(0)1()0F c F c F c c −+'==−η;存在2(,1)c ∈η,使得22(1)()1()111F F c c F c c c−−'===+−−η;对于函数()F x ',由拉格朗然中值定理同样可得,存在12(,((0,1))∈⊂ηηη,使得22121212111(1)1()()()0c c F F c c F ++−−''−''===<−−−ηηηηηηηηη, 即()20f ''+<η;结论得证.22.已知向量组（Ⅰ）232111=1=0,=2443a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦1ααα，，（Ⅱ）21231011,2,3,313a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+−+⎣⎦⎣⎦⎣⎦βββ，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，求a 的取值，并将3β用23,,1ααα线性表示.【解析】令123(,,)=A ααα,123(,,)=B βββ，所以，21a =−A ，22(1)a =−B . 因向量组I 与II 等价，故()()(,)r r r ==A B A B ，对矩阵(,)A B 作初等行变换.因为2222111101111101(,)102123011022.443313001111a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++−+−−−−⎝⎭⎝⎭A B 当1a =时，()()(,)2r r r ===A B A B ；当1a =−时，()()2r r ==A B ，但(,)3r =A B ；当1a ≠±时，()()(,)3r r r ===A B A B . 综上，只需1a ≠−即可. 因为对列向量组构成的矩阵作初等行变换，不改变线性关系.①当1a =时，12331023(,,,)01120000⎛⎫ ⎪→−− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，故3112233x x x =++βααα的等价方程组为132332,2.x x x x =−⎧⎨=−+⎩故3123(3)(2)k k k =−+−++βααα（k 为任意常数）；②当1a ≠±时，12331001(,,,)01010011⎛⎫⎪→− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，所以3123=−+βααα.23.已知矩阵22122002x −−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦A 与21001000y ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦B 相似， （Ⅰ）求,x y ；（Ⅱ）求可逆矩阵P 使得1−P AP =B 解:(1)相似矩阵有相同的特征值,因此有2221,,x y −+−=−+⎧⎪⎨=⎪⎩A B 又2(42)x =−−A ,2y =−B ,所以3,2x y ==−. (2)易知B 的特征值为2,1,2−−;因此2102001000r⎛⎫⎪−⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A E ,取T 1(1,2,0)ξ=−,120001000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T 2(2,1,0)ξ=−,4012021000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→− ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T3(1,2,4)ξ=−令1123(,,)P ξξξ=,则有111200010002P AP −⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭;同理可得,对于矩阵B ,有矩阵2110030001P −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,122200010002P BP −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭,所以111122P AP P BP −−=,即112112B P P APP −−=,所以112111212004P PP −−−−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.。
考研数学二解析2019
2019年数学（二）真题解析一、选择题（1）【答案】（C）.【解】方法一由lim工_向工=恤1_sec咯=_£得工_tan〜_£工3（工一°）,工LO3z33故工一tan x为3阶无穷小量，即k=3,应选（C）.方法二由tan x—x+£工3+o（j:3）得z—tan x~----x3（z—0）,«J o故％=3,应选（C）.（2）【答案】（E）.【解】y f=x cos x一sin x，夕〃=—x sin x?令夕〃=——x sin x=0得工=。
9工=7T,当z€（-J,O）时，/<0,当工e（0,7T）时V0,则（0,2）不是拐点；当工G（冗，2兀）时，j/'>0,故（兀，一2）为拐点，应选（E）.（3）【答案】（D）.【解】方法一r+°°f+8由x e_r d jc=r（2）=1得x e_r dj?收敛；J o J0f+°°212I+°°1r+°°2由|x djr=----e~x=百得|x（£z收敛；Z I o/J oarctan x.1..,I+，"x2/曰f+°°arctan x.比心---------dx=—-（arctan jc）2==得------ckz收敛，1+/2I o8Jo1+_z2—~dx发散，应选（D）.方法二qr r+8nr由lim x•--------7=1且q=1W1得广义积分-----dr发散9应选（D）.l+81+工2Jo1+X（4）【答案】（D）.【解】微分方程：/'+ay r+by的特征方程为A2+«A+6=0,由y=（Ci+C2x）e_J+e"为微分方程的通解可知，特征根为入i=入2=—1,则a=2,b=l；再由_y*=e"为微分方程y"+ay r-V by=ce J的特解得c=4,应选（D）.（5）【答案】（A）.【解】由/$0时，sin/£/得sin y2W Jx2y2，从而I2V4；/~2~~I F/~~2~~i F/~2~~i F tv i r^r~\_r。
2019年考研数学二真题及全面解析(Word版)
2019年考研数学（二）真题及完全解析（Word 版）一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与k x 是 同阶无穷小量，则k =（ ）A 、 1.B 、2.C 、 3.D 、 4.【答案】C . 【解析】因为3tan ~3x x x --，所以3k =，选 C .2、曲线3sin 2cos y x x x x ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ －２２的拐点是（ ） A 、,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ⎛⎫⎪⎝⎭ ２２. 【答案】C . 【解析】cos sin y x x x '=- ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。
当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π- 是拐点。
故选 C .3、下列反常积分发散的是（ ）A 、0xxe dx +∞-⎰. B 、2x xe dx +∞-⎰. C 、20tan 1arx x dx x +∞+⎰. D 、201x dx x+∞+⎰. 【答案】D . 【解析】A 、1xxx x xe dx xde xee dx +∞+∞+∞+∞----=-=-+=⎰⎰⎰，收敛；B 、222001122x x xedx e dx +∞+∞--==⎰⎰，收敛；C 、22200tan 1arctan 128arx x dx x x π+∞+∞==+⎰，收敛；D 、2222000111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞+∞+∞=+=+=+∞++⎰⎰，发散，故选D 。
4、已知微分方程的x y ay byce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）A 、 1,0,1.B 、 1,0,2.C 、2,1,3.D 、2,1,4. 【答案】D .【解析】 由题设可知1r =-是特征方程20r ar b ++=的二重根，即特征方程为2(1)0r +=，所以2,1ab == 。
2019年考研数学二真题及全面解析
2019年考研数学（二）真题及完全解析（Word 版）一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与 kx 是 同阶无穷小量，则k=（ ）A 、 1.B 、2.C 、 3.D 、 4.【答案】C .【解析】因为 3tan ~3x x x --，所以3k =，选 C .2、曲线3sin 2cos y x x x x ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ －２２的拐点是（ ） A 、,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ⎛⎫⎪⎝⎭ ２２. 【答案】C . 【解析】cos sin y x x x '=- ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。
当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π- 是拐点。
故选 C . 3、下列反常积分发散的是（ ）A 、0xxe dx +∞-⎰. B 、 2x xe dx +∞-⎰. C 、 20tan 1arx x dx x +∞+⎰. D 、201x dx x+∞+⎰. 【答案】D . 【解析】A 、1xxx x xe dx xde xee dx +∞+∞+∞+∞----=-=-+=⎰⎰⎰，收敛；B 、222001122x x xedx e dx +∞+∞--==⎰⎰，收敛；C 、22200tan 1arctan 128arx x dx x x π+∞+∞==+⎰，收敛；D 、2222000111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞+∞+∞=+=+=+∞++⎰⎰，发散，故选D 。
4、已知微分方程的x y ay byce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）A 、 1,0,1.B 、 1,0,2.C 、2,1,3.D 、2,1,4. 【答案】D .【解析】 由题设可知1r =-是特征方程20r ar b ++=的二重根，即特征方程为2(1)0r +=，所以2,1ab == 。
2019年考研(数学二)真题试卷(题后含答案及解析)
2019年考研（数学二）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．当x→0，x—tanx与xk是同阶无穷小，求k( )A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：因x—tanx～，若要x—tanx与xk是同阶无穷小，则k=3，故选C．2．y=xsinx+2cosx[x∈]的拐点坐标是( )A．B．(0，2)C．(π，—2)D．正确答案：B解析：y′=sinx+xcosx—2sinx，y″= —xsinx，令y″=0得x=0，x=π，又因为y″′= —sinx—xcox，将上述两点代入y″′(π)≠0，所以(π，—2)是拐点．3．下列反常积分发散的是( )A．∫0+∞xe—xdxB．∫0+∞xe—x2dxC．D．正确答案：D解析：对A：∫0+∞xe—xdx=∫0+∞xd(—e—x)= —xe—x｜0+∞+∫0+∞e —xdx= —e—x｜0+∞=1；对B：∫0+∞xe—x2dx=；4．已知微分方程y″+ay′+by=cex的通解为y=(C1+C2x)e—x+ex，则a，b，c依次为( )A．1，0，1B．1，0，2C．2，1，3D．2，1，4正确答案：D解析：由条件知特征根为λ1=λ2= —1，特征方程为(λ—λ1)(λ—λ2)=λ2+2λ+1=0，故a=2，b=1，而y*=e*为特解，代入得c=4，故选D．5．已知平面区域D={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤}，，试比较I1，I2，I3的大小( )A．I3＜I2＜I1B．I1＜I2＜I3C．I2＜I1＜I3D．I2＜I3＜I1正确答案：A解析：因为，所以I2＜I1，I3＜I1．所以I3＜I2，所以I3＜I2＜I1，故选A．6．已知f(x)，g(x)二阶导数且在x=a处连续，请问f(x)，g(x)相切于a且曲率相等是=0的什么条件?( )A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件正确答案：B解析：必要性：f(x)，g(x)相切于a，则f(a)=g(a)，f′(a)=g′(a)，f(x)与g(x)相切于点a，且曲率相等，故选B．7．设A是四阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若线性方程Ax=0的基础解系中只有2个向量，则A*的秩是( )A．0B．1C．2D．3正确答案：A解析：因为Ax=0的基础解系中只有2个向量，∴4—r(A)=2，则r(A)=2∴r(A*)=0，故选A．8．设A是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若A2+A=2E．且｜A｜=4，则二次型xTAx规范形为( )A．y12+y22+y32B．y12+y22—y32C．y12—y22—y32D．—y12—y22—y32正确答案：C解析：设λ为A的特征值，由A2+A=2E得λ2+λ=2，解得λ= —2或1，所以A的特征值是1或—2．又∵｜A｜=4，所以A的三个特征值为1，—2，—2，∴二次型xTAx的规范形为y12—y22—y32，故选C．填空题9．= _______．正确答案：4e2解析：10．曲线对应点处切线在y轴上的截距为________．正确答案：解析：11．设函数f(u)可导，z== ________．正确答案：解析：12．设函数y=lncosx的弧长为________．正确答案：解析：13．已知函数f(x)=，则∫01f(x)dx=________．正确答案：解析：14．已知矩阵A=，Aij表示｜A｜中(i，j)元的代数余子式，则A11—A12= ________．正确答案：—4解析：A11—A12=== —4．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二答案解析
20
20
x
= − 1
2
1 x sin x2dx = 1 cos x2
0
4
1 0
=
1 4
(cos1−1)
1 −1 0 0
14. 已 知 矩 阵
A
=
−2
3
1 −2
−1 2
1
−1
，
Aij
表示
|
A|
中
(i,
j)
元的代数余子式，则
0
0
3
4
A11 − A12 = ___________.
【解析】 x − tan x ~ − x3 ，所以选 C. 3
2、设函数 y = x sin x + 2 cos x(− π x 3π) 的拐点 22
A. ( π , π ). 22
B. (0, 2).
C. (π, −2).
D. (3π , − 3π ). 22
【答案】C.
【解析】令 y = −x sin x = 0 ，可得 x = π ，因此拐点坐标为（π，− 2）.
f (x) − f (0) x−0
= lim e2xln x −1
x→0+
x
2x ln x
= lim
= lim 2 ln x = − ,
x x→0+
x→0+
所以 f (0) 不存在,因此
f
(
x)
=
2x2x (1+
(
x
+
1)e
x
ln ,
x),
x 0, x 0.
令
f
2019考研数学二答案真题解析
D
D
I3 (1 cos x2 y2 )dxdy ，试比较 I1, I2 , I3 的大小（ ） D
(A) I3 I2 I1
(B) I1 I2 I3
(C) I2 I1 I3
(D) I2 I3 I1
【答案】A
【解析】在区域
D
上，x2
y2
2 4
，令
x2
y2
，则 0
u
2
，所以有 sin
lim ( x 2x 1) 2
ex0
x
e22 ln 2
4e2
x0
10.曲线
2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析
一、选择题：1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目
要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
（1）当 x 0 时，若 x tan x 与 xk 是同阶无穷小，则 k （ ）
（8）设 A 是 3 阶实对称矩阵， E 是 3 阶单位矩阵，若 A2 A 2 E 且 A 4 ，则二次型 xT Ax 的规
范形为（ ）
(A) y12 y22 y32
(B) y12 y22 y32
(C) y12 y22 y32
(D) y12 y22 y32
【答案】C
【解析】设矩阵 A 的特征值为 ，由 A2 A 2E 可得， 2 2 ，解得 1, 2 ，
【答案】D
【解析】由通解形式可得， (C1 C2 x)ex 是对应齐次方程的解，故是 1其二重特征值，所以其特
征方程为 ( 1)2 0 ，即 2 2 1 0 ，所以 a 2,b 1；再将特解 ex 带入原方程可得 c 4
（5）已知积分区域 D {(x, y)
2019考研数学二答案解析
+
1)e
x
ln ,
x),
x 0, x 0.
令
f
( x)
=
0 ,得驻点
x1
=
−1,
x3
=
1 e
;另外
f
(x)
还有一个不可导点
x2
=
0;
又 (−, −1) 为单调递减区间, (−1, 0) 为单调递增区间, (0, 1) 为单调递减区间, (1 , +) 为单
e
e
调递增区间;因此有极小值
f
(−1)
=1−
y = f (x), y = g(x) 在 x = a 处相切及曲率相等的
A. 充分非必要条件.
B. 充分必要条件.
C. 必要非充分条件.
D. 既非充分又非必要条件.
【答案】A
【解析】充分性:利用洛必达法则,有
lim
x→a
f
(x) − g(x) (x − a)2
= lim x→a
f (x) − g(x) 2(x − a)
2019 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（二）试题及答案解析
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共32 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的．
1、当 x → 0 时，若 x − tan x 与 xk 是同阶无穷小，则 k =
A. 1. C. 3.
【答案】C
B. 2. D. 4.
A
=
−2
3
1 −2
−1 2
1
−1
，
Aij
表示
|
A|
中
(i,
j)
元的代数余子式，则
2019年考研数学(二)真题及答案解析(完整版)
xdx
1 2
arctan
x2
2 08
，收敛.
（D）
0
1
x x2
dx
1 2
ln(1
x2
)
0
.
发散
综上，故选（D）
（4）已知微分方程 y ay by ce x 的通解为 y (C1 C2x)ex e x, 则 a,b, c 依次为
（）
（A）1,0,1 . （B）1,0,2 . （C）2,1,3 . （D）2,1,4.
0
xex2 dx
0
.（C）
0
arctan 1 x2
xdx
.（D）
0
1
x x
2
dx
.
【答案】（D）
【解析】（A）
xexdx
xdex
xex
exdx 1,收敛.
0
0
0
0
（B） xex2 dx 1 ex2 dx2 1 ,收敛.
0
20
2
（C）
0
arctan 1 x2
lim
xa
f
(x) g(x) (x a)2
0 的（
）
（A）充分非必要条件 .
（B）充分必要条件.
（C）必要非充分条件.
（D）既非充分也非必要条件.
【答案】（C）
【解析】因 lim xa
f
(x) g(x) (x a)2
0 ，则
[ f (a) g(a)] f (a) g (a) (x a) 1 f (a) g (a) (x a) 2 o((x a) 2)
y
1
cos
t
在
t
3 2
对应点处切线在
2019年考研数学二真题答案解析
于是有下列表
x
f ( x) f ( x)
(, 1)
-1 0 极小值
（-1，0） +
0 不存在 极大值
1
1 0, e
1 e
0 极小值
1 , e +
当 x 0, e
I 3 1 cos x 2 y 2 dxdy 的大小关系为（ ）
D
A. I 3 I 2 I1 【答案】A
B.
I1 I 2 I 3
C. I 2 I1 I 3
D. I 2 I 3 I1
【答案解析】因为 sin x x ( x 0时) ，所以 x y sin
1
, f x 0, f x 单调递减，当 x e
，+ , f x 0, f x 单调递增，
2
1 e 1 故 f e = 为极小值. e
0 , f x 0, f x 单调递增，当 x 0, e 当 x -1，
2
2
x 2 y 2 ，故可知： I1 I 2 ;
1 cos x sin x( x 0时) ，故由定积分性质可知： I 2 I 3 ，故选 A.
6.已知 f x g x 是二阶可导且在 x a 处连续，则 f x g x 相切于 a 且曲率相等是
B.1
C.2
D.3
【答案】A. 【答案解析】由于 Ax 0 的基础解系中只有 2 个向量，故 r ( A) 4 2 2 ，由
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2019考研数学二真题及答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与 k x 是 同阶无穷小量，则k =（ ）A 、 1.B 、2.C 、 3.D 、 4.选：C .点拨：因为 3tan ~3x x x --，所以3k =，选 C .2、曲线3sin 2cos y x x x x ππ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭ －２２的拐点是（ ） A 、,ππ⎛⎫⎪⎝⎭ ２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ⎛⎫⎪⎝⎭ ２２. 选：C .点拨：cos sin y x x x '=- ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。
当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π- 是拐点。
故选 C . 3、下列反常积分发散的是（ ）A 、0xxe dx +∞-⎰. B 、 2x xe dx +∞-⎰. C 、 2tan 1arx xdx x +∞+⎰. D 、21xdx x +∞+⎰. 选：D .点拨：A 、00001x x x x xe dx xde xe e dx +∞+∞+∞+∞----=-=-+=⎰⎰⎰，收敛；B 、222001122x x xedx e dx +∞+∞--==⎰⎰，收敛；C 、22200tan 1arctan 128arx x dx x x π+∞+∞==+⎰，收敛； D 、2222000111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞+∞+∞=+=+=+∞++⎰⎰，发散，故选D 。
4、已知微分方程的x y ay by ce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）A 、 1,0,1.B 、 1,0,2.C 、2,1,3.D 、2,1,4.选：D.点拨： 由题设可知1r =-是特征方程20r ar b ++=的二重根，即特征方程为2(1)0r +=，所以2,1a b == 。
又知*x y e =是方程2x y y y ce '''++=的特解，代入方程的4c =。
故选D 。
5、已知积分区域(),2D x y x y π⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭，1DI =，2sin DI =⎰⎰，(31DI dxdy =-⎰⎰，则（ ）A 、321I I I <<.B 、 213I I I <<.C 、123I I I <<.D 、231I I I <<.选：A .点拨：比较积分的大小，当积分区域一致时，比较被积函数的大小即可解决问题。
由 2x y π+≤，可得 2222x y π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭【画图发现2x y π+≤包含在圆2222x y π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的内部】，令u =，则 02u π≤≤，于是有 sin u u >，从而DD>⎰⎰。
令()1cos sin f u u u =--，则()sin cos f u u u '=-，()04f π'=。
()f u 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭内单调减少，在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调增加，又因为(0)()02f f π==，故在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内()0f u <，即1cos sin u u -<，从而(1DDdxdy >-⎰⎰⎰⎰。
综上，选A 。
6、设函数(),()f x g x 的二阶导数在x a =处连续，则2()()lim0()x a f x g x x a →-=-是两条曲线()y f x =，()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的（ ）A 、充分非必要条件.B 、充分必要条件.C 、必要非充分条件.D 、既非充分也非必要条件.选：A .点拨：充分性：利用洛必达法则，由2()()lim0()x af xg x x a →-=-可得 ()()lim02()x af xg x x a →''-=-及()()lim02x a f x g x →''''-=， 进而推出 ()()f a g a =，()()f a g a ''=，()()f a g a ''''=。
由此可知两曲线在x a =处有相同切线，且由曲率公式322[1()]y K y ''='+可知曲线在x a =处曲率也相等，充分性得证。
必要性：由曲线()y f x =，()y g x =在x a =处相切，可得()()f a g a =，()()f a g a ''=；由曲率相等332222()()[1(())][1(())]f ag a f a g a ''''=''++，可知()()f a g a ''''=或()()f a g a ''''=-。
当()()f a g a ''''=-时，所求极限2()()()()()()limlim lim ()()2()2x ax a x a f x g x f x g x f x g x f a x a x a →→→''''''---''===--，而()f a ''未必等于0，因此必要性不一定成立。
故选A 。
7、设A 是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中只有2个向量，则*()r A =（ ）。
A 、0.B 、 1.C 、2.D 、3.选：A .点拨：因为方程组0Ax =的基础解系中只有2个向量，，所以4()2r A -=，从而()241r A =≤-， 则*()r A =0，故选 A 。
8、设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若22A A E +=,且4A =，则二次型T x Ax 的规范型为（ ）A 、222123y y y ++.B 、 222123y y y +-.C 、222123y y y --. D 、222123y y y ---. 选：C .点拨：设λ是A 的特征值，根据22A A E +=得22λλ+=，解得1λ=或2λ=-；又因为4A =，所以A 的特征值为1，-2，-2，根据惯性定理，T x Ax 的规范型为222123y y y --。
故选C 。
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、2lim(2)x xx x →+=.选：24e 。
点拨：0222lim ln[1(21)]lim(2)lim[1(21)]x x x x xxxxx x x x e→++-→→+=++-=0212lim2(1ln 2)24x x x xee e →+-+===.10、曲线sin 1cos x t t y t=-⎧⎨=-⎩在32t π=对应点处的切线在y 轴上的截距为 。
选：322π+. 点拨：斜率 32sin 11cos t dy tdx t π===--，切线方程为 322y x π=-++，截距为322π+。
11、设函数()f u 可导，2()y z yf x =，则2z zx y x y∂∂+=∂∂ 。
选：2y yf x ⎛⎫⎪⎝⎭.点拨：3222222,z y y z y y y f f f x x x y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂''=-=+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，22z zy x y yf x y x ⎛⎫∂∂+= ⎪∂∂⎝⎭．12、曲线ln cos (0)6y x x π=≤≤的弧长为 ．选：1ln 32点拨：sec ds xdx ===66001sec ln(sec tan )ln3.2s xdx x x ππ==+=⎰13、已知函数21sin ()xt f x x dt t=⎰，则10()f x dx =⎰ ． 选：1(cos11)4-． 点拨：设21sin ()xt F x dt t=⎰,则 1111122200000111()()()[()]()222f x dx xF x dx F x dx x F x x dF x ===-⎰⎰⎰⎰ 211112222000011sin 111()sin cos (cos11)22244x x F x dx x dx x x dx x x '=-=-=-==-⎰⎰⎰.14、已知矩阵1100211132210034A -⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭，ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则1112A A -= ．选：4-.点拨：由行列式展开定理得111211001000111111211121111210104322131210343434034A A A -----------====-==----． 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）已知函数2,0()1,0x x x x f x xe x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，求()f x '，并求函数()f x 的极值．点拨：当0x >时，22ln ()x x x f x x e ==，2()2(ln 1)x f x x x '=+；当0x <时，()(1)x f x x e '=+；22000()(0)12(ln 1)(0)lim lim lim 1x x x x x f x f x x x f x x ++++→→→---'====-∞，即()f x 在0x =处不可导．综合上述：22(ln 1),0()(1),0xxx x x f x x e x ⎧+>⎪'=⎨+<⎪⎩； 令()0f x '=得驻点1211,x x e=-=；0x =是函数()f x 的不可导点。
当1x <-时，()0f x '<；当10x -<<时，()0f x '>；当10x e<<时，()0f x '<； 当1x e>时，()0f x '>；故11x =-是函数的极小值点，极小值为1(1)1f e --=-；21x e=是函数的极小值点，极小值为21()e f e e -=；函数()f x 在0x =处连续且有极大值(0)1f =． 16、（本题满分10分）求不定积分2236(1)(1)x dx x x x +-++⎰．点拨：设222236(1)(1)1(1)1x A B Cx Dx x x x x x x ++=++-++--++ （1）两边同乘以2(1)x -且令1x =，可得3B =；（2）两边同乘以x 且令x →∞，可得0A C +=；（3）两边分别令0x =，1x =-，可得63244A B D A B C D -++=⎧⎪⎨-+-+=⎪⎩；解得2,2,1A C D =-==。