数学文化与数学史

AC 2 AP 2
MT 2 AT 2 +PT2
=
MT 2 RT 2 +PT2
=
MT 2 (RT 2 +PT2 )
圆柱EG的截面 圆锥AEF 截面+球O截面
AH（ 圆锥AEF截面+球O截面）=AT 圆柱EG的截面
将CH看成以A为支点的杠杆，则由杠杆定律可得：重心放在H处的
（圆锥AEF截面+球O截面）关于支点A与重心放在T处的圆柱EG截面相平衡
OD
OB
OB
又有：BH BF sin sin sin
FH= BF 2 BH 2 = sin 2 sin sin 2
HG= BG2 BH 2 sin 2 sin sin 2 又因为FG FH +HG
即sin( + ) sin 2 sin sin 2 sin 2 sin sin 2
斤，倍之，得 20 斤；减去老八所得的两倍即 12 斤，得 8 斤。于是，公差为 斤。”
用我们今天的代数符号来表达这一解法，并写出一般公式。
7. 8.见第4 9.和差术推导椭圆标准方程
Lecture 2 古代数学（I）：埃及
10、 Rhind 纸草书问题 79 是一个等比数列求和问题，介绍其中蕴涵的等比 数数列求和方法。
《数学文化与数学史》期终复习提纲 Lecture 0 为什么要开设数学史 1. 介绍文艺复兴时期意大利艺术大师达·芬奇（L. Da Vinci, 1452～1519）和 19 世
纪英国业 余数学家伯里加尔（H. Perigal, 1801～1898）、梅文鼎证明勾股定理 的方法。
达·芬奇
H. Perigal的水车翼轮法
4. 美国哥伦比亚大学收藏的 Plimpton 322 号巴比伦泥版的内容是什么？ 泥版上有 15 行、4 列数字，原来人们还以为是一份帐目。但是，奥地利著名
数学史家诺伊格鲍尔（O. Neugebauer, 1899～1990）经过研究惊奇地发现：第 3 列 数与第 2 列数的平方差竟都是平方数（少数行不满足这一规律，但显然是抄写错误 所致）！例如（见下表，表中数字均为 60 进制）：
日高公式：
日高
表高
表高 两表间距 影长之差
ad H a
s2 s1
杨辉推导日高公式：
如图所示，图中两个黄色的面积是 相等的。
d
H
a
s1
s2
根据上面的原理我们可得：（其中 d 为两个杆子的距离）
17. 在直角三角形中，勾、股、弦分别为 a、b、c，已知勾弦差（c-a）和股弦差 （c-b），
试用中国古代的方法来证明下面一组公式：
正方形CF 正方形CK 正方形AE
得证
DL
E
23. 用欧几里得的方法证明命题：“素数无限多”。 答：假设素数个数有限，则必有一个最大的设最大的素数是P 令n=2*3*5*7*……*P+1，即把所有的素数相乘并加上1，显然n>P 若因为 P 是最大素数，所以 n 是合数，则 n 能被 2，3，……，P 中至少一个素数整 除，但用这些数去除 n，都有余数 1，即都不能整除 这就有两种可能 (1)n 是素数 (2)n 是合数，但他只能被大于 P 的素数整除 这两种情况都和 P 是最大素数矛盾。所以假设错误，所以素数是无限 24.欧几里得方法推导等比数列求和公式：
证明：如上图所示，设圆的半径为1，其中AOB= ,BOC=
且OA BD,OC BE,OP DE,BH FG,则有BDE=BFC=
BED=BGF= ,F,G分别是BD,BE的中点
FG= 1 DE DP，且DOE=2( + ) + DOP 2
sin( + ) DP DP FG,sin BF BF,sin BG BG
18.勾股容方公式证明
19. 试述刘徽和祖暅的球体积工作。
为了证明公式V球＝196 D3 不正确，刘徽在立方体内作两个相互垂直的内切
圆柱，并把公共部分立体称作“牟合方盖”。如下图
两个圆柱面的公共部分（牟合方盖）正好把半径为 R 的球体包含在内。 刘徽想若用一个与底面平行的平面去截它们，那么球 的截面肯定是圆，而牟合方盖的截面刚好是一个正方 形 。如右图
36.阿尔·海塞姆自然数二次幂和公式：
37. 阿拉伯数学家阿尔·卡克希（Al-Karkhi, 953-1029）是如何推导自然数三次幂和 公式的？ 如下图所示：
13 23 33
n3
1 2
nn
12
38.内绥尔丁证明正弦定理
Lecture6 39 斐波纳契《计算之书》中有如下问题：“棋盘（64 格）上的数列满足：任意一 项等于它 前面所有各项和的两倍。已知首项为 1，求棋盘上数列各项之和。”试用 今天的方法求解。
再由T的任意性可得，所有这样的截面都有此结果，因此将所有的力矩相加
得:重心放在H处的（圆锥AEF+球O)关于支点A与放在原处不动的圆柱相平衡
又因为圆柱的重心在球心O,所以有下面的结果：
AH（ 圆锥AEF +球O）=AO 圆柱EG
即：AH AO
=
圆柱EG 圆锥AEF +球O
,又AH
2 AO, 而圆柱EG
2, 492 1, 592 169 2 119 2 120 2 ， 1, 20, 252 56, 72 4825 2 3367 2 3456 2 ，等等这就表明，它是一张勾股数表。
英国著名数学家齐曼（C. Zeeman, 1925～）指出，如果巴比伦人使用了勾股数一般 公式
a p 2 q 2 ， b 2 pq ， c p 2 q 2 那么，满足 q 60 ， 30 A 45 且 cot 2 A b2 （ A 是勾 a 所对的角）为有限小数 的勾股数只有16组。而Plimpton 322号泥版给出a 2了其中的15组！其水平之高，令人 惊叹不已。
an 2(a1 a2 ..... an1 ) 2(sn an ) 2sn 2as n 3an 2sn 3(sn sn1 ) 2sn sn 3sn1 sn s1 3n1 3n1 an sn sn1 3n1 3n2 sn 3n1
40.斐波那契命题：
41. 在约瑟夫问题中，若设排成一圈的人数为 n ，并且从 1 号开始按顺时针方向点 数，每点 到 2，第 2 号被扔进大海。记最后剩下的一个人位于第 J (n) 号。试给出 J (n) 与
A
O
B
V
D
W
H
L
V
A
X
G
M
PR
T
SQ
N
B
O
D
E
W
C
Y
F
证明：如图，作辅助线，其中T为AC上任意一点
用一个过T平行于圆柱底面的截面去截图形
则有：MN PQ RS分别是圆柱EG,球O和圆锥AEF的圆截面直径
再延长CA到H s.t AH=AC ,则我们有：
AH = AC AT AT
AC 2 =
AC AT
27. 如图所示，ADBC 是球 O 被纸面所截得的大圆，AB 和 CD 是其相互垂直
的两条直径。 XVWY 是球 O 的外切圆柱（以 AB 为轴）的相应截面。阿基米德通
过力学方法发现：球 O 的 体积等于直径为 CD 且垂直于纸面的大圆为底、 X
C
Y
以 B 为顶点的圆锥 BCD 的体积的 4 倍。试介绍阿基米德的方法。
在天元术中写出一个多项式，常常是在一次项旁记入一个“元”字，或正常项旁 记一个“太”字。
天元术只表示一个未知数，即一元。 32.什么是大衍求一术？
中国剩余定理 33.杨辉构造四阶幻方 1）十六子斜排 2）上下对易，左右相更 3）四维挺进 34．
35. 阿拉伯数学家阿布·韦发（Abu’l-Wefa, 940-998）是如何推导和角正弦公式的？
1
2801
2
5602
4
11204
19607
房屋 猫
老鼠 麦穗 容积 总数
7 49 343 2401 16807 19607
Sn a aq aq2 aqn1
a q a aq aq2 aqn2
a qSn1
a q Sn aqn1
Sn
a aqn 1 q
q
1
11.“埃及几何学中的珍宝”是什么？
一进
内棋
外棋
外棋
外棋
祖暅公理：用平行于底面的平面去截两个等高的立体，如果所得的两个截面面积处
处相等，则这两个立体的
体积
就相等。
V外棋＝V阳马＝
1 3
R
3
V内棋＝
2 3
R3
V合盖＝8V内棋＝
2 3
D3
V球＝
1 6
D3
此图是将边长分别为 a，b，c 的三 个正方形合在一起的
20. 简要介绍刘徽的割圆术。（要求写出相关公 式）
正四棱台体积公式：
12.数列求和公式：
.
Lecture 4 古代数学（III）：中国 13. 同号两数相减，等于其绝对值相减；异号两数相减，等于其绝对值相加；零减 正数得负数，零减负数得正数。
14. 用出入相补原理证明勾股定理。 15．刍童公式
16. 介绍西汉时期的“日高公式”。南宋数学家杨辉是如何推导这个公式的？
a 2c ac b c b， b 2c ac b c a， c 2c ac b c a c b
则有：
I II III a b c2 2c ac b a b c 2c ac b a 2c ac b (c b) b 2c ac b (c a) c 2c ac b (c a) (c b)
1 2
1;
25
2 1; 25
1;
24,
51,10。
化为十进制为： 2
1
24 60
51 602
10 603
1.4142155
6. 古巴比伦时期的泥版 Str.362 上记载了如下问题：“十兄弟分银1 2 3 迈纳，每
个兄弟均比相邻的弟弟多得若干，已知老八分得 6 斤（1 迈纳＝60 斤）。问：各
兄弟比相邻的弟弟多得 几何？”泥版上给出的解法是：“取十兄弟所得平均数 10
梅文鼎的方法
2. 谈谈你对数学史教育价值的认识。 一门学科 一座桥梁一条进路一种资源 一组专题
对学生来讲，通过对数学史的学习，有利于学生对数学知识的掌握和数学能力 的提高,它不仅使学生获得了一种历史感，而且，通过从新的角度看数学学科，他们 将对数学产生更敏锐的理解力和鉴赏力，有利于学生对数学的思考, 促进学生的数 学理解，启发学生的人格成长，有利于激发学生的情感、兴趣和良好的学习态度, 有利于辩证唯物主义世界观的形成, 有利于学生了解数学的应用价值和文化价值。
3圆锥AEF
球O 1 圆锥AEF , 又圆锥AEF 8圆锥ABD 2
球O=4圆锥ABD=4 1 R3 = 4 R3,证毕
Βιβλιοθήκη Baidu
3
3
28. 利用托勒密定理推导和角正弦公式。
29. 证明海伦三角形面积公式。
Lecture 6 中世纪数学 30. 叙述中国剩余定理。
31. 什么是天元术？ 元代天元术和现代列方程的方法极为相似。它首先是“立天元一为某某”，亦即现代 的“设X为某某”的意思，其次再根据问题给出的条件列出两个相等的多项式，令二 者相减即可得出一个一端为零的方程。这种以相等二个多项式相减以列出方程的步 骤，被称为“同数相消”或“如积相消”。
4 : 正方形与其内切圆的面积之比都是：
由“截面原理”可得： V球＝4 V牟合方盖
于是我们只要求出牟合方盖的体积即可求出球的体 刘徽：提出从立方体割出牟合方盖之后所余的“外棋” 但是外棋的复杂难倒了刘徽。 祖暅：对边长为D的正方体及其内牟合方盖的八分之 行考察如右图并将其分解为一个内棋和三个外棋
积。 着手。
5. 古代巴比伦人是如何求平方根近似值的？
求 a:
设第一个近似值为a1,
则第二个近似值为a2
1 2
a1
a a1
；
第三个近似值为a3
1 2
a2
a a2
；
求 2: 设第一个近似值为1，
则第二个近似值为
1 2
1
2 1
1; 30；
第三个近似值为
1 2
1; 30
2 1; 30
1;
25；
第四个近似值为
对于教师来讲，要使个体知识的发生遵循人类知识的发生过程，那么数学史就 成为了数学教学的有效工具。将数学史作为一种资源运用到教学中，给教学提供一 种新的视角，发挥其启发和借鉴的作用，并丰富课堂教学，使教学活动变得自然而 有趣。这对数学教育改革也具有极其重要的意义。 Lecture 1 古代数学（II）：美索不达米亚 3. 研究古巴比伦时期的泥版 BM 15285。设想你是一位祭司，你会提出什么数学 问题？
圆内接正多边形边长递推公式：
Lecture 4 古希腊数学
21. 描述希皮亚斯（Hippias, 公元前 5 世纪）的割圆曲线，并用利用它来 三等分角。
22. 用欧几里得的方法证明勾股定理。
H
G C
F A
K B
ABF ADC
正方形CF
2ABF
矩形AL 2ADC
正方形CF 矩形AL 正方形CK 矩形BL