多元函数及其极限与连续

第5讲 多元函数及其极限与连续

本节主要内容：

第一节 多元函数的基本概念

1 领域

2 平面区域的概念

3 聚点与孤立点

4 n 维空间的概念

5 多元函数的概念

6 二元函数的极限

7 多元函数的连续性 8 二元初等函数

9 闭区域上连续函数的性质 讲解提纲：

第八章 多元函数微分法及其应用

第一节 多元函数的基本概念

在第一至第六章中，我们讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数. 但在许多实际应用问题中，我们往往要考虑多个变量之间的关系，反映到数学上，就是要考虑一个变量（因变量）与另外多个变量（自变量）的相互依赖关系. 由此引入了多元函数以及多元函数的微积分问题. 本章将在一元函数微积分学的基础上，进一步讨论多元函数的微积分学. 讨论中将以二元函数为主要对象，这不仅因为有关的概念和方法大都有比较直观的解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然推广到二元以上的多元函数.

一、平面点集,邻域,点集E 的内点、外点、边界点、聚点、开集、闭集、连通集、区域、

闭区域、有界集、无界集等概念.

点集},|||{),(00δδ<=PP P P U 称为点0P 的邻域. 平面区域的概念：连通

的开集称为区域或开区域；开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域. 如果对于任意给定的0>δ，点P 的去心邻域),(0

δP U 内总有E 中的点，则称P 为E 的聚点；如果存在),(0δP U ，使得φδ=E P U ),(0 ，则称P 为E 的孤立点..

二、n 维空间中的线性运算,距离, n 维空间的概念. n 元有序数组),,,(21n x x x 的全体称为n 维空间

三、多元函数的概念

设非空点集,n R D ⊂映射R D f →:称为定义在D 上的n 元函数，记作

;),(),,,(21D P P f u x x x f u n ∈==或 称点集D 为函数的定义域，数集 }),(|{D P P f u u ∈=为函数的值域.

四、二元函数的极限

设二元函数),()(y x f P f =的定义域为D ，),(000y x P 为D 的聚点. 如果存

在常数A ，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点),(),(00δP U D y x P ∈时，都有ε<-=-|),(||)(|A y x f A P f 成立，那么就称常数A 为函数),(y x f 当),(),(00y x y x →时的极限.

五、多元函数的连续性

设n 元函数)(P f 定义在D 上，聚点D P ∈0，如果存在)()(lim 00

P f P f P P =→，则称n 元函数)(P f 在0P 点连续，否则成为不连续，此时0P 为间断点. 如果函数在D 上各点处都连续，则称函数为D 上的连续函数.

多元初等函数的连续性结论：一切多元初等连续函数在其定义区域内连续.

六、 多元初等函数

可用一个式子表示的多元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.

七、 闭区域上连续函数的性质

有界性与最大值最小值定理；介值定理；一致连续性定理.

例题选讲：

多元函数的概念

例1求二元函数221)ln(y x x

x y z --+-=的定义域.

解：定义域为⎪⎩

⎪⎨⎧>--≥>-010022y x x x y ， 解得 }.,0,1|),{(22x y x y x y x D >≥<+=

例2已知函数,),(222

2y

x y x y x y x f +-=-+ 求),(y x f . 二元函数的极限

例3求极限 2222001sin )(lim y

x y x y x ++→→. 解：函数222

21sin )(),(y x y x y x f ++=的定义域为}0|),{(22≠+=y x y x D ，原点)0,0(为聚点，而221sin y x +有界，故.01sin )(lim 22220

0=++→→y x y x y x 例4 求极限 .)ln(lim 2201

y x e x y y x ++→→

解：}.0|),{(,)

ln(),(2222≠+=++=y x y x D y x e x y x f y 其定义域为为初等函数)0,0( 为聚点，故.2ln 1

2ln )ln(lim 2201

==++→→y x e x y y x 例5求极限 2

2lim y x y x y x ++∞

→∞→. 例6 求极限 .42lim

00xy xy y x +-=→ 解：因为,421)42()42)(42(42++-=+++++-=+-xy xy xy xy xy xy xy 所以.41421lim 42lim

000-=++-=+-=→=→xy xy xy y x y x 例7求xy

y x y x )(lim 2200+→→.

例8证明 y x y x y x -+→→0

0lim 不存在. 解：当,1)0,(lim ),(lim ,)0,0(),(0

0)

0,0(),(==→=→x f y x f x y x P x y y x 时轴趋向于沿 .1),0(l i m ),(l i m ,)0,0(),(0

0)

0,0(),(-==→=→y f y x f y y x P y x y x 时轴趋向于沿 所以),(y x P 沿不同的路径趋向于原点时所得的极限值不一样，故极限不存在.

例9 证明 2

222

20

0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在. 例10 证明 y x y x xy +→→+100

)1(lim 极限不存在.

二元函数的连续性

例11 讨论二元函数

⎪⎩

⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(222

y x y x y x xy y x f