多元函数及其极限与连续
9-1,2-多元函数的概念极限和连续
P → P0
函数 f ( P ) 在点 P0 处连续。 设 P0 是函数 f ( P ) 的定义域的聚点， 的定义域的聚点，如果 f ( P ) 在点 P0 处不连续， 处不连续，则称 P0 是函数 f ( P ) 的间断 点。
故函数在(0,0)处连续.
25
例6 讨论函数
xy 2 2 x2 + y2 , x + y ≠ 0 f ( x, y) = 0, x2 + y2 = 0
在(0,0)的连续性． 的连续性． 解 取 y = kx 2 xy k kx lim 2 = lim 2 = 2 x →0 x + y 2 x→0 x + k 2 x 2 1 + k y→ 0 y = kx 极限不存在． 其值随k的不同而变化， 的不同而变化， 极限不存在． 处不连续． 故函数在(0,0)处不连续 ．
3
(3)连通，区域，有界
(1)如果 E 中的任意两点可以用完全含于 E 的折线段 连接起来， 连接起来，则称其为连通 则称其为连通的 连通的； (2)连通的开集成为区域 连通的开集成为区域(域)，连通的闭集称为闭域 连通的闭集称为闭域； 闭域； (3)无洞的连通区域称为单连通 否则为多连通 无洞的连通区域称为单连通的 单连通的， 否则为多连通的 多连通的； (4) 如果 E 含于某一个 含于某一个(有限个)(圆心在原点的)圆( 的 并集)，则称其为有界 则称其为有界的 有界的，否则称为无界 否则称为无界的 无界的。
1 x− y
y x
3) z =
多元函数的极限与连续课件
第8章 多元函数微分法及其应用
2
8.1 多元函数的极限与连续
8.1 多元函数的极限与连续
function of many variables
平面点集 多元函数的概念 多元函数的极限 多元函数的连续性 小结 思考题 作业
3
8.1 多元函数的极限与连续
一、平面点集
建立了坐标系的平面称为坐标面. 二元有序 实数组(x, y)的全体, 即
是区域吗? 是区域.
x y0 y x y0
•
E {( x, y) x 0, y 0}
不是区域. 因为不连通. 连结两点的任何折线都与 y轴相交, 相交点不属于E.
y
O•
x
O
x
10
8.1 多元函数的极限与连续
有界集 总可以被包围在一个以原点为中心、半径适当 大的圆内的区域, 称此区域为 有界集.否则称为 无界 集 (可伸展到无限远处的区域 ).
U (P0 , ) {( x, y) ( x x0 )2 ( y y0 )2 }
它是以P0为中心、以 为半径的开圆 (“开”意味着
不包括边界), 也称为点P0的邻域, y 几何表示
有时简记为 U (P0 ).
. P0
注 ① 将邻域去掉中心,
称之为 去心邻域. U (P0 , )
O
x
的几U全一何(②a体元表,点函也示)表称数可示之中将为:邻以与点域P点0P的为a0距邻概中离 域念心.小的: 于 某个的矩一形切内点(不x的算全周体界.)
(2) 外点 如果存在点P的某个邻域 U(P),
使U(P)∩E = ,则称P为E的 外点.(P2 )
E
• P2
(3) 边界点 如点P的任一邻域内既有属于E的点,
8.2 多元函数的极限与连续
13
8.2
多元函数的极限与连续
x2 x+ y
3− x + y +9 （3） lim x→0 x2 + y2
2 2 y→0
1 （4） lim(1 + ) x →∞ x y →a
1 =− . 解： 3）原式 = lim 2 （ x→0 2 2 2 6 ( x + y )(3 + x + y + 9) y→0
9
8.2
多元函数的极限与连续
若在开区域（或闭区域） D 内某些孤立点，或者沿 D 内 若在开区域（或闭区域） 内某些孤立点， 某些曲线，函数没有定义，但在 D 内其余部分， f ( x , y ) 都 某些曲线，函数没有定义， 内其余部分， 部分 有定义， 有定义，则这些孤立点或这些曲线上的点都是函数 f ( x , y ) 的间断点。 的间断点。
证
y = kx 3 , 取
x3 y x 3 ⋅ kx 3 k lim 6 = lim 6 , = 2 x →0 x + y 2 x →0 x + k 2 x 6 1+ k y→ 0 y = kx 3
的不同而变化， 其值随 k 的不同而变化， 故极限不存在． 故极限不存在．
关于二元函数的极限概念， 关于二元函数的极限概念，可相应地推广到 n 元函数
2．函数 f ( x, y) 在区域 D 上的连续性
如果函数 上任意一点都连续， 如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 上任意一点都连续，则称
f ( x , y ) 在区域 D 上连续。 上连续。
二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在微积分学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念和理论。
本文将介绍多元函数的极限与连续性的定义、性质和相关定理，并通过实例和推导来加深理解。
一、多元函数的极限多元函数是指自变量为多个变量的函数，例如f(x, y)。
在研究多元函数的极限时，需要先定义自变量的趋近方式。
我们定义自变量(x, y)趋近于(a, b)，并记为(x, y)→(a, b)，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当(x, y)离开点(a, b)的距离小于δ时，对应的函数值f(x, y)与极限L的差的绝对值小于ε。
即满足以下条件：|f(x, y) - L| < ε，当0 < √((x-a)² + (y-b)²) < δ时。
二、多元函数的连续性多元函数在某个点上的连续性是指这个函数在该点的值与其极限相同。
具体地，函数f(x, y)在点(a, b)连续的定义如下：lim (x, y)→(a, b) f(x, y) = f(a, b)。
三、多元函数的极限运算法则多元函数的极限与一元函数类似，也遵循一些运算法则，如极限的唯一性、四则运算法则和复合函数的极限等。
其中，极限的唯一性法则指出：如果(x, y)→(a, b)时，f(x, y)存在极限L，则这个极限L唯一确定。
四、多元函数连续性的充分条件在一元函数中，连续函数的充分条件是极限存在。
但是在多元函数中，连续函数的充分条件有所不同。
根据多元函数的极限运算法则，可以得到以下结论：1. 一元函数的连续构成了多元函数的局部连续性；2. 极限与连续性的传递性：如果f(x, y)在点(a, b)连续，g(u, v)在点(f(a, b), c)连续，则复合函数g[f(x, y)]在点(a, b)也连续。
五、多元函数连续性的局部性质与一元函数连续性一样，多元函数的连续性也具有局部性质。
具体地，如果多元函数f(x, y)在点(a, b)连续，则在点(a, b)的任意邻域内，f(x, y)仍然连续。
多元函数的极限与连续性判定
多元函数的极限与连续性判定在数学分析中，多元函数的极限与连续性是重要的概念，在研究函数的性质和求解问题时起着关键作用。
本文将介绍多元函数的极限和连续性的概念、判定条件以及相关性质。
一、多元函数的极限1. 极限的定义对于二元函数$f(x,y)$，当自变量$(x,y)$无限接近于某一点$(a,b)$时，函数值$f(x,y)$是否趋近于某一确定的值$L$，即$\lim_{(x,y) \to(a,b)}f(x,y)=L$。
2. 多元函数的极限存在判定条件(1) 二元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < \delta$时，有$|f(x,y)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处的二重极限存在，记作$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=L$。
(2) 多元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x_1−a_1)^2+...+(x_n−a_n)^2} < \delta$时，有$|f(x_1,...,x_n)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x_1,...,x_n)$在点$(a_1,...,a_n)$处的$n$重极限存在，记作$\lim_{(x_1,...,x_n) \to(a_1,...,a_n)}f(x_1,...,x_n)=L$。
二、多元函数的连续性判定1. 连续性的定义对于二元函数$f(x,y)$，若在点$(a,b)$的某个邻域内，函数$f(x,y)$在该点处的极限存在且等于函数在该点处的函数值，即$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=f(a,b)$，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处连续。
多元函数的极限和连续性
多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。
一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。
因此，我们需要重新定义多元函数的极限。
1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。
可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。
在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。
多元函数的极限及连续性
返回 2
一、二重极限
定义1 设二元函数 f 定义在 D R2 上, P0 为 D 的
一个聚点, A 是一实数. 若 0, 0, 使得当
P U (P0; ) D 时, 都有 | f (P) A | ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时以 A 为极限, 记作 lim f (P) A.
的一个聚点. 若 M 0, 0, 使得 P( x, y)U (P0; ) D, 都有 f ( x, y) M ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时, 有非正常极限 , 记作 lim f ( x, y) ,
( x, y ) ( x0 , y0 )
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
x2 y2 0, 而并不要求 x y 0.
(证法二) 作极坐标变换 x r cos, y r sin. 这时
( x, y) (0, 0) 等价于 r 0 ( 对任何 ). 由于
| f (x, y) 0 |
x2 y2 xy x2 y2
1 r 2 | sin 4 | 1 r 2 ,
y2 y
lim lim
lim
lim( y 1) 1,
y0 x0
x y
y0 y
y0
x2 y2 x y
x2 x
lim lim
lim
lim( x 1) 1.
x0 y0
x y
x0 x
x0
当沿斜率不同的直线 y mx, ( x, y) (0, 0) 时, 有
x2 y2 x y 1 m
x)
lim ( x 1)
x0
1,
( y x2x)
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
(整理)多元函数的极限与连续.
数学分析第16章多元函数的极限与连续计划课时： 1 0 时第16章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 )§ 1 平面点集与多元函数一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}. 余集c E .1. 常见平面点集:⑴ 全平面和半平面 : }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >,}|),{(b ax y y x +≥等.⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ⨯, 1||||),{(≤+y x y x }.⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分.极坐标表示, 特别是 }cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤.⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r .⑸ 简单域: -X 型域和-Y 型域.2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-<y y x x y x 的区别.3． 点与点集的关系（集拓扑的基本概念）:（1）内点、外点和界点：内点：存在)(A U 使E A U ⊂)( 集合E 的全体内点集表示为E int ,.外点：存在)(A U 使φ=E A U )(界点：A 的任何邻域内既有E 的点也有不属于E 的点。
E 的边界表示为E ∂集合的内点E ∈, 外点E ∉ , 界点不定 .例1 确定集} 1)2()1(0|),( {22<++-<=y x y x E 的内点、外点集和边界 .例2 )( , } ] 1 , 0 [ , )(0|),( {x D x x D y y x E ∈≤≤=为Dirichlet 函数.确定集E 的内点、外点和界点集 .（2）( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点:聚点：A 的任何邻域内必有属于E 的点。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在数学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念。
本文将介绍多元函数的极限和连续性的定义，并探讨它们的性质和应用。
一、多元函数的极限多元函数的极限可以类比于一元函数的极限，但其定义稍有不同。
对于一个二元函数，我们将自变量表示为(x,y)，则当自变量趋近于某个点(a,b)时，函数值f(x,y)的极限记为：lim (x,y)→(a,b) f(x,y) = L其中，L为实数。
我们称函数f(x,y)在点(a,b)处具有极限L，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0< √((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-L|<ε 成立。
类似地，对于一个三元函数，自变量表示为(x,y,z)，其极限定义与二元函数类似。
多元函数的极限有以下性质：1. 极限存在且唯一：如果一个多元函数在某点具有极限，那么它的极限是唯一的。
2. 有界性：如果一个多元函数在某点具有极限，则它在该点附近是有界的。
但需要注意，多元函数在整个定义域内有界不一定代表在每个点处都具有极限。
3. 加法性、乘法性：如果两个多元函数在某点都具有极限，则它们的和、差、积仍在该点处具有极限。
4. 复合函数的极限性质：多元函数的复合函数在某点处具有极限的条件是，内部函数在该点处具有极限，且外部函数在内部函数极限处连续。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在整个定义域内的连续性。
对于一个二元函数，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0<√((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-f(a,b)|<ε 成立，那么我们称函数f(x,y)在点(a,b)处连续。
类似地，对于一个三元函数，连续性的定义也类似。
多元函数的连续性具有以下性质：1. 极限与连续性的关系：如果一个多元函数在某点处具有极限L，则它在该点处连续。
第十六章 多元函数的极限与连续
数组(x, y, z)时, 三维欧氏空间3中的点集
S {( x, y, z) | z f ( x, y),( x, y) D} R3
就是二元函数 f 的图象. 通常z f (x, y)的图象是一空 间曲面, f 的定义域D便是该曲面在xOy平面上的投影.
第 十 六 章 多 元 函 数 的 极 限 与 连 续
R 2 ( x, y ) x , y .
C ( x, y) x 2 y 2 r 2 .
S ( x, y ) a x b, c y d .
第 十 六 章 多 元 函 数 的 极 限 与 连 续
§1 平面点集与多元函数
n n n
n 0. 也等价于 lim n
第 十 六 章 多 元 函 数 的 极 限 与 连 续
§1 平面点集与多元函数
定理16.1(柯西准则) 平面点列{Pn}收敛的充要条件 是: 任给正数, 存在正整数N, 使得当nN时, 对一切 正整数p, 都有
Pn , Pn p .
E U (O; r )
其中O是坐标原点, 则称E是有界点集. 否则就是 无界点集.
第 十 六 章 多 元 函 数 的 极 限 与 连 续
§1 平面点集与多元函数
点集E的直径—点集E的直径就是
d ( E) sup P 1, P 2 ,
P 1, P 2 E
其中 (P1, P2)表示P1与P2两点之间的距离, 当P1, P2的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)时, 有
由于点A的任一圆邻域可以包含在点A的某一方邻域 邻域”泛指这两种形状的邻域, 并以记号U(A; )或 U(A)来表示.
第十六章 多元函数极限与连续
第十六章 多元函数的极限与连续§1 平面点集与多元函数1. 判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并分别指出他们的聚点与界点。
(1)[,)[,);a b c d ´ (2){(,)0};x y xy ¹(3){(,)|0};x y xy = (4)2{(,)|}x y y x > (5){(,)|2,2,2}x y x y x y <<+> (6)22{(,)|10,01}x y x y y x +==＃或； (7)22{(,)|10,12};x y x y yx +?＃或(8){}N +Î（x,y）|x,y ; (9)1{(,)|sin };x y y x=解：（1）有界集、区域，其聚点为{(,)|,}.E x y a x b c y d =＃＃(2)开集，聚点为2,E R =界点为{(,)|0};x y xy = (3)闭集，{(,)|0},E x y xy ==界点为{(,)|0}.EE x y xy ?==（4）区域，开集，其聚点为2{(,)|},E x y x y = 界点为2{(,)|}.x y y x = （5）有界集，区域，开集，其聚点为{(,)|2,2,2},E x y x yxy =＃?界点为{(,)2,02{(,)|2,02}{(,)|2,02}x y x yx y y xx y x y x=＃=＃+=＃（6）有界集，闭集，其聚点为22{(,)10,01},E x y x y y x =+==＃或界点为EE ?。
（7）有界集、闭集，其聚点为22{(,)|10,12};E x y x y yx =+?＃或界点为22{(,)|10,12}.Ex y x y y x ?+==＃或（8）闭集，其聚点是空集，界点为{(,)|,}.x y x y z Î （9）闭集1{(,)|sin ,0}{(0,)1}E x y y x y y x==> ，界点为.EE ?2.试问集合{(,)|0,0}x y x a y b d d <-<<-<与集合{(,)|,},(,)(,)x y x a y b x y a b d d -<-< 是否相同？ 解：不相同，第一个点集为第二个点集的子集。
第二讲多元函数
第一节 多元函数
一. 多元函数 二. 元函数的极限与连续
引例：一个小乡村里的惟一商店有 两种牌子的果汁，当地牌子的进价每瓶3元，外地牌子 的进价每瓶4元. 店主估计，若当地牌子的每瓶卖x元， 外地牌子的每瓶卖y元，则每天可卖出当地牌子的果汁
7 5x 4 y 瓶，外地牌子的果汁 8 6 x 7 y 瓶. 问：店
2
旋转抛物面
z a x y
2 2
2
z x y
2
2
上半球面
正圆锥面
复杂的二元函数的例子
z sin x sin y
z sin x 2 y 2
z xye
x2 y2
并非每一个曲面都表示 一个二元函数
x2 y 2 z 2
z x2 y2
2 2
z x y
值之间的任何值至少一 次.
D上连续, 且 性质３ （零点定理） 若函数f ( x, y)在有界闭区域
它取得一个大于零的函 数值和一个小于零的函 数值, 则至少 有一点( , ) D, 使得f ( , ) 0.
性质４ （有界性定理）
它必在D上有界.
若函数f ( x, y)在有界闭区域 D上连续, 则
小结：
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．所谓定义区域， 是指包含在定义域内的区域或闭区域． 由多元初等函数的连续性，如果要求它在点 p0处的极限, 而
该点又在此函数的定义 区域内 , 则极限值就是函数在该 点的
函数值,即
p p0
lim f ( P) f ( p0 )
思考题: 一元函数连续和二元函数连续的区别与联系。
例如, 二元函数
z 1 x y
《数学分析》第十六章 多元函数的极限和连续
D = {(x, y)| x2 + y2 1 } 如图
y 1 x2 + y2 = 1
o D
1
x
易知, 圆内部的每一点都是 D 的内点. 但 圆周上的点不是 D 的内点.
又如 z = ln (x+y)的定义域 D = {(x, y)| x+y > 0}
的聚点.
一般, 集合 E 的边界点不一定是 E 的聚点. 但若 E 是开集, 则 E 的边界点一定是 E 的 聚点, 自证.
邻域, 内点, 边界点, 开集, 连通, 有界, 开区域, 闭区域, 聚点这些概念 都可毫无困难地推广到三维空间 R3 中去, 且有类似的几何意义. 它们还可 推广到 4 维以上的空间中去, 但不再 有几何意义.
y A
f (x) 0 x x0 x
x x0
y = f (x) f (x)
x
lim f (x) A用 语言表示. 就是 >0, >0.
xx0
当0<|x – x0|< 时, 有|f (x) – A |< .
设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D. 如图
E E0 , 所以 E 是开集.
5. 连通集
设 E 是一非空平面点集, 若X ,YE. 都 可用完全含于 E 的折线将它们连接起来, 则称 E 为连通集. 如图
X Y
E 连通
X
Y
E 不连通
几何上看, 所谓 E 是连通集, 是指 E 是 连成一片的. E 中的点都可用折线连接.
例1, 2中的 D 都是连通集. 如图
{( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}， 这个点集称为二元函数的图形.
多元函数的极限与连续
可以将多元函数的极限与连续性应用于实际问题中，如 物理、工程、经济等领域的问题，以促进数学与实际应 用的结合。
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稳定性分析
在研究微分方程的解的稳定性时，需要用到多元函数的极限和连续 性，例如在分析解的收敛性和发散性时。
解的存在性和唯一性
在证明微分方程的解的存在性和唯一性时，需要用到多元函数的极 限和连续性。
在实变函数中的应用
测度论
在实变函数中，测度论是一个重 要的分支，而测度的定义和性质 与多元函数的极限和连续性紧密 相关。
如果函数在某点的极限值等于该点的 函数值，则称函数在该点连续。
02
多元函数的极限
极限的定义
极限的直观定义
当自变量趋近某一值时，函数值趋近于某一确定的数。
极限的精确定义
如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正数$delta$，使得当$||xa||<delta$时，有$|f(x)-L|<varepsilon$，则称$f(x)$在点$a$处的极限为$L$。
多元函数的基本概念
多元函数
极限
连续
设$D$是$n$维欧几里得空间的一个 子集，对于每一个$x in D$，都对应 一个实数$f(x)$，则称$f$是一个定义 在$D$上的多元函数。
设函数$f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内有定义， 如果存在一个确定的常数A，对于任意给定的 正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得 当$x$满足$0 < |x - x_0| < δ$时，对应的函数 值$f(x)$都满足$|f(x) - A| < ε$，那么常数A就 叫做函数$f(x)$在点$x_0$处的极限。
多元函数极限与连续性例题和知识点总结
多元函数极限与连续性例题和知识点总结在高等数学中，多元函数的极限与连续性是一个重要的概念和知识点。
理解它们对于解决许多数学问题以及在其他学科中的应用都具有关键意义。
下面我们将通过一些例题来深入探讨这一主题，并对相关知识点进行总结。
一、多元函数极限的概念多元函数的极限是指当自变量在定义域内以任意方式趋近于某个点时，函数值趋近于一个确定的常数。
设函数＄z ＝ f(x,y)＄的定义域为＄D$，＄P_0(x_0,y_0)＄是＄D$ 的聚点。
如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，总存在正数＄＼delta$，使得当点＄P(x,y) ＼in D$ 且满足＄0 ＜＼sqrt{（x x_0)＾2 ＋（y y_0)＾2} ＜＼delta$ 时，都有＄｜f(x,y) A| ＜＼epsilon$ 成立，那么就称常数＄A$ 为函数＄f(x,y)＄当＄（x,y) ＼to （x_0,y_0)＄时的极限，记作＄＄＼lim_{（x,y) ＼to （x_0,y_0)｝ f(x,y) ＝ A$＄二、多元函数连续性的概念若函数＄z ＝ f(x,y)＄在点＄（x_0,y_0)＄处的极限存在，且等于该点的函数值＄f(x_0,y_0)＄，则称函数＄f(x,y)＄在点＄（x_0,y_0)＄处连续。
三、例题分析例 1：求极限＄＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{x^2 ＋ y^2}｛＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ 1} 1}＄解：＼＼begin{align}＆＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{x^2 ＋ y^2}｛＼sqrt{x^2 ＋y^2 ＋ 1} 1}＼＼＝＆＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{x^2 ＋ y^2}｛＼sqrt{x^2 ＋y^2 ＋ 1} 1} ＼cdot ＼frac{＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ 1} ＋ 1}｛＼sqrt{x^2 ＋y^2 ＋ 1} ＋ 1}＼＼＝＆＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{（x^2 ＋ y^2)（＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ 1} ＋ 1)｝｛（x^2 ＋ y^2)｝＼＼＝＆＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝（＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ 1} ＋ 1)＼＼＝＆2＼end{align}＼例 2：讨论函数＄f(x,y) ＝＼begin{cases} ＼frac{xy}｛x^2 ＋ y^2}，＆（x,y) ＼neq （0,0) ＼＼ 0, ＆（x,y) ＝（0,0) ＼end{cases}＄在点＄（0,0)＄处的连续性。
多元函数极限与连续性的性质及求解方法
多元函数极限与连续性的性质及求解方法在数学中，多元函数极限与连续性是非常重要的概念。
了解多元函数的极限与连续性的性质，以及相关的求解方法，对于深入理解和应用多元函数的数学知识具有重要意义。
一、多元函数极限的性质与求解方法1.1 多元函数极限的定义多元函数极限是指当自变量趋于某个确定值时，函数变量的极限。
对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，如果存在常数L，对于任意给定的ε>0，总存在另一个正数δ，当0<(|x1−a1|+|x2−a2|+⋯+|xn−an|)<δ时，总有|f(x1, x2, ..., xn)−L|<ε成立，则称L是函数f在点(x1, x2, ..., xn)处的极限。
1.2 多元函数极限的性质(1) 多元函数极限存在性：如果多元函数f在点(x1, x2, ..., xn)处的极限存在，那么它是唯一的。
(2) 多元函数极限的局部性：如果多元函数f在点(x1, x2, ..., xn)处的极限存在，那么它在点(x1, x2, ..., xn)的某个邻域内必然存在。
(3) 多元函数极限与一元函数极限之间的关系：多元函数可以分解为一元函数，所以多元函数极限可以通过一元函数极限的方法来求解。
1.3 多元函数极限的求解方法(1) 代数运算法：利用多元函数的代数运算性质，如加减乘除、乘幂、复合函数等，将多元函数转化为一元函数，然后利用一元函数的极限求解方式来求解多元函数的极限。
(2) 两变量函数的二次折线法：对于两个变量的多元函数，可以采用二次折线法来求解。
具体步骤是：首先取一个路径，沿该路径逼近极限点，然后通过二次折线逼近法构造两个逼近值，如果这两个逼近值相等，则可得到极限值；如果不等，则重新选择路径再进行逼近。
(3) 极坐标法：对于特定形式的多元函数，可以采用极坐标法来求解。
具体步骤是：将自变量用极坐标表示，然后将多元函数转化为单变量极坐标函数，再利用一元函数的极限求解方法来求解。
论述多元函数在某点极限、连续、偏微商、全微分之间的关系
论述多元函数在某点极限、连续、偏微商、全微分之间
的关系
多元函数在某点极限、连续、偏微分、全微分之间的关系是这样的：。
一般来说，如果一个多元函数在某一点取得极限，那么它也一定是连
续的，它的偏微分也存在，但不一定存在它的全微分。
而如果一个多元函
数是连续的，那么它就一定存在偏微分，而全微分可能存在也可能不存在。
如果一个多元函数的偏微分存在，那么它就一定存在全微分，但不保证它
在某一点取得极限。
总之，某点极限、连续、偏微分、全微分之间的关系是：存在某一点
取得极限，则一定存在连续、偏微分；存在连续，则一定存在偏微分；存
在偏微分，则一定存在全微分。
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第5讲 多元函数及其极限与连续
本节主要内容：
第一节 多元函数的基本概念
1 领域
2 平面区域的概念
3 聚点与孤立点
4 n 维空间的概念
5 多元函数的概念
6 二元函数的极限
7 多元函数的连续性 8 二元初等函数
9 闭区域上连续函数的性质 讲解提纲：
第八章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的基本概念
在第一至第六章中，我们讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数. 但在许多实际应用问题中，我们往往要考虑多个变量之间的关系，反映到数学上，就是要考虑一个变量（因变量）与另外多个变量（自变量）的相互依赖关系. 由此引入了多元函数以及多元函数的微积分问题. 本章将在一元函数微积分学的基础上，进一步讨论多元函数的微积分学. 讨论中将以二元函数为主要对象，这不仅因为有关的概念和方法大都有比较直观的解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然推广到二元以上的多元函数.
一、平面点集,邻域,点集E 的内点、外点、边界点、聚点、开集、闭集、连通集、区域、
闭区域、有界集、无界集等概念.
点集},|||{),(00δδ<=PP P P U 称为点0P 的邻域. 平面区域的概念：连通
的开集称为区域或开区域；开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域. 如果对于任意给定的0>δ，点P 的去心邻域),(0
δP U 内总有E 中的点，则称P 为E 的聚点；如果存在),(0δP U ，使得φδ=E P U ),(0 ，则称P 为E 的孤立点..
二、n 维空间中的线性运算,距离, n 维空间的概念. n 元有序数组),,,(21n x x x 的全体称为n 维空间
三、多元函数的概念
设非空点集,n R D ⊂映射R D f →:称为定义在D 上的n 元函数，记作
;),(),,,(21D P P f u x x x f u n ∈==或 称点集D 为函数的定义域，数集 }),(|{D P P f u u ∈=为函数的值域.
四、二元函数的极限
设二元函数),()(y x f P f =的定义域为D ，),(000y x P 为D 的聚点. 如果存
在常数A ，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点),(),(00δP U D y x P ∈时，都有ε<-=-|),(||)(|A y x f A P f 成立，那么就称常数A 为函数),(y x f 当),(),(00y x y x →时的极限.
五、多元函数的连续性
设n 元函数)(P f 定义在D 上，聚点D P ∈0，如果存在)()(lim 00
P f P f P P =→，则称n 元函数)(P f 在0P 点连续，否则成为不连续，此时0P 为间断点. 如果函数在D 上各点处都连续，则称函数为D 上的连续函数.
多元初等函数的连续性结论：一切多元初等连续函数在其定义区域内连续.
六、 多元初等函数
可用一个式子表示的多元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.
七、 闭区域上连续函数的性质
有界性与最大值最小值定理；介值定理；一致连续性定理.
例题选讲：
多元函数的概念
例1求二元函数221)ln(y x x
x y z --+-=的定义域.
解：定义域为⎪⎩
⎪⎨⎧>--≥>-010022y x x x y ， 解得 }.,0,1|),{(22x y x y x y x D >≥<+=
例2已知函数,),(222
2y
x y x y x y x f +-=-+ 求),(y x f . 二元函数的极限
例3求极限 2222001sin )(lim y
x y x y x ++→→. 解：函数222
21sin )(),(y x y x y x f ++=的定义域为}0|),{(22≠+=y x y x D ，原点)0,0(为聚点，而221sin y x +有界，故.01sin )(lim 22220
0=++→→y x y x y x 例4 求极限 .)ln(lim 2201
y x e x y y x ++→→
解：}.0|),{(,)
ln(),(2222≠+=++=y x y x D y x e x y x f y 其定义域为为初等函数)0,0( 为聚点，故.2ln 1
2ln )ln(lim 2201
==++→→y x e x y y x 例5求极限 2
2lim y x y x y x ++∞
→∞→. 例6 求极限 .42lim
00xy xy y x +-=→ 解：因为,421)42()42)(42(42++-=+++++-=+-xy xy xy xy xy xy xy 所以.41421lim 42lim
000-=++-=+-=→=→xy xy xy y x y x 例7求xy
y x y x )(lim 2200+→→.
例8证明 y x y x y x -+→→0
0lim 不存在. 解：当,1)0,(lim ),(lim ,)0,0(),(0
0)
0,0(),(==→=→x f y x f x y x P x y y x 时轴趋向于沿 .1),0(l i m ),(l i m ,)0,0(),(0
0)
0,0(),(-==→=→y f y x f y y x P y x y x 时轴趋向于沿 所以),(y x P 沿不同的路径趋向于原点时所得的极限值不一样，故极限不存在.
例9 证明 2
222
20
0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在. 例10 证明 y x y x xy +→→+100
)1(lim 极限不存在.
二元函数的连续性
例11 讨论二元函数
⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(222
y x y x y x xy y x f
在)0,0(处的连续性.
解：当.),(,)0,0(),(222
显然连续时y
x xy y x f y x +=≠ 当,2
1),0,0(),(,)0,0(),(22≤+≠→y x xy y x y x 时 ),0,0(0)(lim lim 2
2)0,0(),(222)0,0(),(f y y x xy y x xy y x y x ==⋅+=+→→ 故.),(.)0,0(),(2上处处连续在因此处也连续在R y x f y x f
例12 求极限 .1)ln(lim 210⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-+-→→x y y x y x 课堂练习
1.设,,22y x x y y x f -=⎪⎭⎫ ⎝
⎛- 求).,(y x f 2. 若点),(y x 沿着无数多条平面曲线趋向于点),(00y x 时, 函数),(y x f 都趋向于A , 能否断定
?),(lim ),(),(00A y x f y x y x =→
3. 讨论函数
⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,
00,),(22224
22y x y x y x xy y x f 的连续性.
作业：第 页：。