高等数学I(电子)(同济大学)高等数学课件D4_4有理函数积分544 44有理函数积分

令
t
tan
x 2
万能代换
t 的有理函数的积分
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例7.
求
sin
1 sin x x(1 cos
dx . x)
解: 令 t tan x , 则 2
sin
x
2
sin
x 2
cos
x 2
sin 2
x 2
cos2
x 2
2 1
tan
x 2
tan 2
x 2
2t 1 t
2
cos
x
cos2 sin 2
m n时, 为假分式; m n 时, 为真分式
有理函数 相除 多项式 + 真分 式
分解
其中部分分式的形式为
若干部分分式之和
(
x
A a)k
;
MxN (x2 p x q)k
( k N , p2 4q 0)
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例1. 将下列真分式分解为部分分式 :
解: (1) 用拼凑法
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例2. 求
解: 已知
1 (1 2x)(1 x2 )
1 5
1
4 2
x
1
2x x
2
1
1 x2
原式
2 5
d(1 2x) 1 2x
1 5
d(1 x2 1 x2
)
1 5
1
dx x
2
2 ln 1 2x 1 ln (1 x2 ) 1 arctan x C
5
5
5
例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束
d(x2 2x 2) (x2 2x 2)2
arctan(x
1)
x2
1 2
x
2
C
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dx
例6. 求 x4 1
解: 原式 1 2
(x2 1) (x2 1) x4 1
dx
1 2
1
1 x2
x2
1 x2
dx
1 2
1
1 x2
x2
1 x2
dx
注意本题技巧 按常规方法较繁
1 2
(
x
d(x
1 x
)2
1 x
)
2
1 2
(
d(x
1 x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)
x
1 x
)2
2
(见P348公式21)
1
arctan
x
1 x
1
1
ln
x
1 x
2 C
22
2 22 2
x
1 x
2
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二 、可化为有理函数的积分举例
1. 三角函数有理式的积分
设
表示三角函数有理式 , 则
R(sin x , cos x) dx
x3 x3
x2
5
B (x 3) 原式
x
3
x3 x2
x
3
6
故
原式 5 6
x2 x3
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(3) 混合法
(1
1 2 x)(1
x2)
A 1 2x
Bx C 1 x2
A (1 2x) 原式
4
x
1 2
5
1 4C 5
1 4 BC 6 15 2
原式
=
1 5
4 1 2x
第四节
第四章
有理函数的积分
• 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法
求导 • 初等函数
积分
初等函数
本节内容: 一、有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分举例
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一、 有理函数的积分
有理函数:
R(x) P(x) a0xn a1xn1 an Q(x)
2t
ln
t
C
1 tan2 x tan x 1 ln tan x C
4 2 22
2
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例8. 求
解:
原式
a
2
1 cos 2
x
dx
tan2 x
b
2
1 a2
d tan x tan2 x (ba)2
1 arctan( a tan x ) C
ab
b
说明: 通常求含 sin2 x, cos2 x 及 sin x cos x 的有理式 的积分时, 用代换 t tan x 往往更方便 .
1 x(x 1)2
x (x 1) x(x 1)2
(
x
1 1)2
x(
1 x
1)
(
x
1 1)2
x (x 1) x(x 1)
(x
1 1)2
x
1 1
1 x
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(2) 用赋值法
x2
x3 5x 6
x3 (x 2)(x 3)
A x2
B x3
A (x 2) 原式
x 2
例3. 求
解: 原式
1 2
(2
x
2)
3
x2 2x 3
dx
1 2
d(x2 2x 3) x2 2x 3
3
d(x 1) (x 1)2 ( 2)2
1 ln x2 2x 3 3 arctan x 1 C
2
2
2
思考: 如何求
提示: 变形方法同例3, 并利用 P209 例9 .
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例9. 求
(a
sin
x
1 b
cos
x)2
dx
(ab 0) .
解法 1
原式
dx (a tan x b)2 cos2 x
令 t tan x
dt (a t b)2
1 C a(a t b)
cos x
C
a(a sin x b cos x)
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例9. 求
(a
sin
x
1 b
cos
x)
2
dx
(ab 0)
解法 2 令
a sin ,
a2 b2
b cos
a2 b2
原式
a2
1
b2
dx
cos2 (x )
a2
1
b2
tan(
x
)
C
asin x bcos x sin
(x2 1) (x2 4) (x2 1)(x2 4)
dx
1 ln x4 5x2 4 1 arctan x arctan x C
2
2
2
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例5. 求
解: 原式
(x2 2x 2) (2x 2) (x2 2x 2)2
dx
dx (x 1)2 1
2x 1
1 x2
B 2 5
C1 5
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四种典型部分分式的积分:
1.
x
A
a
dx
Aln
xa
C
2.
(x
A a)n
dx
A 1 n
(x
a)1n
C
(n 1)
3.
x
MxN 2 px
q
dx
4.
(
x
M 2
x px
N q)
n
dx
变分子为
M 2
(2x
p)
N
Mp 2
再分项积分
x 2
sin
2
x 2
cos2
x 2
x 2
1 1
tan 2 tan 2
x 2
x 2
1 1
t t
2 2
dx
1
2 t
2
dt
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1 sin x sin x(1 cos
x)
dx
1
2t 1t 2
2t 1t
2
(1
1t 1t
2 2
)
2 1t
2
dt
1 2
t
2
1 t
dt
1 2
1t2 2
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说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法.
例4. 求
解:
I
2x3 5x x4 5x2
4
dx
x
4
2x2 5x2
5
4
dx
1 2
d(x4 5x2 5) x4 5x2 4