平面向量的等和线问题

uuur uuur xAB2yAE,
2
如图,连BE,当点P在B点时,三点B,E,P共线, uuur uuur
且AP AB,即x2y 101, uuur uuur uuur uuur uuur uuur
当点P在C点时, AP AC AB2AE xAB2yAE,
所以, x2y 123,选B
例 16.如 图 所 示 ,A,B,C是 圆 O上 的 三 点 ,CO的 延 长 线 与 uuu r uuu r uuu r
2
2
例 15.设长方形ABCD边长分别是AD1,AB2， uuur uuur uuur
点P在BCD内部和边界上运动，设APxAByAD，
则的x2y取值范围是( )
A． 1,2? B． 1,3? C． 2,3? D． 0,2
uuur 解: AP
uuur xAB
uuur yAD
uuur xAB2y
1uAuDur
平面向量 复习课(2)
平面向量共线定理 : uuur uuur uuur
已 知 O A O B O C , 若 1,则 A , B , C 三 点 共 线 , 反 之 亦 然 .
等和线 :
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
平 面 内 的 一 组 基 底 OA,OB及 任 一 向 量 OP ,OP OA OB,
OG
uuur
OH
3
uuur
OC
3
uuur
OD
uuur OC
uuur OD
2
2
所以, 3 , 3 ,
2
2
所以, 3 ( ) 3
2
2
uuu r uuu r 例 14.给 定 两 个 长 度 为 1的 平 面 向 量 OA和 OB， 它 们 的
夹 角 为 1200.如 图 所 示 ， 点 C在 以 O为 圆 心 的 圆 弧 » AB上 uuu r uuu r uuu r
uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur
所以,OPxAGyAHxAC'yAB'xg3gACyg3gABABAC 所以,3y,3x3x3y3 当点P位于A点时,显然有:0,所以,选C.
例 12.如图,在边长为2的正六边形ABCDEF中,P是 uuur uuur uuur
变 动 .若 OCxOAyOB,其 中 x,yR,则 xy的 最 大 值
是________.
解 法 1 :当 点 C 位 于 D点 时 ,
uuur uuur uuur
O D O A O B , x y 1, 所 以 , x y 2
uuur uuuv uuur uuur uuur uuur
(3)当 直 线 A B 在 O 点 与 等 和 线 之 间 时 , k (1, );
( 4 )当 等 和 线 过 O 点 时 , k 0;
(5)若 两 等 和 线 关 于 O点 对 称 ,则 定 值 互 为 相 反 数 ;
(6)定 值 k的 变 化 与 等 和 线 到 O点 的 距 离 成 正 比 .
线 段 BA的 延 长 线 交 于 圆 O外 的 点 D,若 OCmOAnOB， 则 mn的 取 值 范 围 是 ( )
解法2 :设AOC
,
O C uuur
•
OA uuuv
xOA uuur
•OA uuur
yOB • OA, uuur uuur
O C • O B x O A • O B yO B • O B ,
即
cos
x
1 2
y
cos(120 0 )
Байду номын сангаас
1
x
, y
2
x y 2[cos cos(1200 )] cos 3 sin 2 sin( ) 2
利用三点共线求参数和范围 例1.如图,BCD与ABC的面积之比为2，点P是
uuur uuur uuur
区域ABCD内任意一点(含边界),且APABAC (,R),则的取值范围是( )
A． 0,1? B． 0,2? C． 0,3? D． 0,4
解:过点P作GH/ /BC,交AC, AB的延长线于G,H,则 uuur uuur uuur OPxAGyAH,且xy1, 当点P位于D点时,G,H分别位于C',B' QBCD与ABC的面积之比为2， AC'3AC,AB'3AB
解 :当点P位于B点时,过B作GH / /BC,分别交OC,OD的延长线于G, H, uuur uuur uuur uuur
则OP OB OG OH,且 1,
由几何知识可知,四边形BCDH为平行四边形,
所以,CG 1 OC, DH 1 OD
2
2
uuur 所以, OP
uuur OB
uuur
CDE内 (含边界)的动点,设向量APmABnAF (m,n为实数),则mn的取值范围是( )
A． 1,3； ? B． 2,4； ? C． 3,4； ? D． 1,5
解:当点P位于D点时, uuur uuur uuur uuur uuur
AP AD 2BC 2AB2AF, 22 4
当点P位于直线CE上,如C, E, H点时,
若 点 P 在 直 线 AB上 或 平 行 于 AB的 直 线 上 ,则 k (定 值 ),
反 之 亦 成 立 .我 们 把 直 线 A B 或 平 行 于 A B的 直 线 叫 做 等 和 线 .
(1)当 等 和 线 恰 为 A B 时 , k 1;
( 2 )当 等 和 线 恰 在 O 点 与 A B 之 间 时 , k (0 ,1);
uuur AP
3
uuur BC
3
uuur AB
3
uuur
AF,
3
2
2
2
所以,选C.
例 13.如 图 ,四 边 形 O A B C 是 边 长 为 1 的 正 方 形 ,点 D 在 O A
的 延 长 线 上 ,且 O D 2,点 P 为 B C D 内 (含 边 界 )的 动 点 ,
设 O u u P u rO u u C u rO u u D u r,则 的 最 大 值 等 于 ____.
解法3 : 设OC与AB交于M
uuur ,则OC
uuur | uOuCur |
uuur OM
uuur xOA
6
uuur yOB
|OM |
uuur
Q
M
, A, B共 线 ,
x
y
1,即 x
y
| uOuCur | |OM |
uu1ur , ( x |OM |
y )max
uuu1r | O M |min
1 1