大学物理质点运动学

①平均速率 v =
≠
∆t ∆t v dS dr v = = v but 瞬时速率 v = dt dt
v = v
②在曲线运动中，速度方向总是沿 在曲线运动中， 着曲线的切向(意味着速度方向在不 着曲线的切向 意味着速度方向在不 断改变). 断改变
v v
真空中光速 太阳在银河系中的运动 一 地球的公转 些 人造地球卫星 速 现代歼击机 度 空气中声速 值 (m/s) 猎豹 载流导线中自由电子的漂移 大陆板块运动
t1 t1 t1 t1
质点与参考系( §1.2 质点与参考系 Material Particles and Reference Frames )
1.质点 质点 ——仅有质量的点状物 (理想模型 仅有质量的点状物. 理想模型) 仅有质量的点状物 理想模型 适用情形： 运动范围. 适用情形：物体尺寸 << 运动范围
§1.1 矢量 (Vectors)
v v v v e.g. r (位矢), ∆r (位移), v (速度), a (加速度)
标量——只有大小没有方向的量 只有大小没有方向的量. 标量 只有大小没有方向的量 e.g. S(路程 t(时间 m(质量 A(功) 路程), 时间 时间), 质量 质量), 功 路程
刘翔 秒
∼3.0×108 × ∼3.0×105 × ∼3.0×104 × ∼7.9×103 × ∼9 ×102 ∼3.3×102 × ∼2.8 ×10 ∼10– 4 ∼10– 9
70米栏 米栏8.79 米栏
4.加速度 (acceleration) 加速度 v v ∆v 平均加速度： 平均加速度： a = ∆t v v 2v ∆v dv d r v 瞬时加速度： 瞬时加速度：a = lim = = 2
(2)标积 (or点积 标积 点积) 点积
v v 定义： 定义：r1 ⋅ r2 = r1r2 cos θ v Notes: ① θ≤π r2
θ
v r1
v v v v r1 ⋅ r2 = 0 ⇔ r1⊥r2
②特殊情形： 特殊情形：
v v v v 性质： 性质：① a ⋅ b = b ⋅ a v v v v v v v ② (a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c
v Notes: ① ∆r ≠ ∆S v ② ∆r ≠ ∆r
but and
v dr = dS v dr ≠ dr
v ∆r
v r (t )
3.速度 (velocity) 速度
v r (t + ∆ t )
∆r
v v ∆r 平均速度： 平均速度：v = ∆t
Notes:
v v ∆r dr v 瞬时速度： 瞬时速度： v = lim = ∆t → 0 ∆ t dt v ∆S ∆r
v 、v . O v a
2
x = l −h
2
lv o dx 2l dl 于是 v = = ⋅ =− dt 2 l 2 − h 2 dt x dl dx x− l 2 2 dv dt dt = − h vo = −vo a= 2 3 dt x x v v
结果中的负号表示 X 轴的负向 轴的负向.
v 、 的实际方向沿 a
(2)
v v v v v v (0) r (0) a (t ) → v (t ) → r (t )
(积分 积分) 积分
dv kt 1 → ∫ − 2 = ∫ ktdt → v = 1 /( + ) v0 0 2 v0 v
v t
某物体的运动规律为dv/dt=–kv2t (k dv/dt= [例1-3] 某物体的运动规律为dv/dt= kv k 为常数), t=0时 为常数 t=0时, v=v0，求v与t的函 数关系． 数关系． 2 解：dv / dt = − kv t
v r1
v v v v v e.g. (i + 2 j ) × (i − 3k ) v v v v v v v v k v = i × i + i × (−3k ) + 2 j × i + 2 j × (−3k ) v v v v j = 0 − 3(− j ) + 2(−k ) − 6 i i v v v = −6i + 3 j − 2k
v r2
v r1
v v r1 + r2 v v r1 − r2
v v v v 代数方法： 代数方法： r1 = x1i + y1 j + z1k 设 v v v v r2 = x2i + y2 j + z2 k v v v v v 则 r1 ± r2 = ( x1 ± x2 )i + ( y1 ± y2 ) j + ( z1 ± z 2 )k
思考：船是作何种运动？ 思考：船是作何种运动？ (变加速直线运动 变加速直线运动) 变加速直线运动
5.两类问题 两类问题 v v (1) r (t ) → v (t ) →
v a (t )
(求导 求导) 求导
质点的运动方程为 x=3+5t+6t2–t3 t [例1-2] (SI),则 t=0时 速度v (SI),则①t=0时，速度vo= ; 加速度为零时，速度v= ②加速度为零时，速度v= . 解: ① v=dx/dt= 5+12t–3t2 vo=5 m/s 令 ② a=dv/dt=12–6t = 0 v=17 m/s . t=2 s
∼5×105 × ∼1×103 × ∼7×10 × ∼9.8 ∼1.7 ∼3.4×10–2 × ∼6×10–3 ×
× (m/s2) 太阳绕银河系中心转动的加速度 ∼3×10–10
[例1-1] 例
v vo
h
百度文库
l
X
x 求：船的 ：建立坐标轴如图 建立坐标轴如图， 解：建立坐标轴如图，则有
其中 l = l (t ) 且 dl / dt = −vo
(4)求导 设 求导
分量形式下的运算： 分配律 分配律) 分量形式下的运算：(分配律
v dr dx v dy v dz v 则 = i + j+ k dt dt dt dt
v v v v r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k
v v v v (5)积分 设 r (t ) = x (t )i + y (t ) j + z (t ) k 积分 v t2 v t2 v t2 t2 v 则 ∫ r dt = i ∫ xdt + j ∫ ydt + k ∫ zdt
分量形式下的运算： 分量形式下的运算：
(3)矢积 (or叉积 矢积 v叉积 叉积) v 定义： 定义：r1 × r2 =
大小： θ v 大小：r1r2sinθ r{ Notes:
v r⊙
v r2
θ
方向： 方向：右手螺旋规则 ① θ≤π 特殊情形： ②特殊情形：
v v v v r1 × r2 = 0 ⇔ r1 // r2 v v v v ① 性质： 性质： a × b = −(b × a ) v v v v v v v ② (a + b ) × c = a × c + b × c
dt
dt
x v dv →∫ = ∫ − kdx → ln = − kx v0 v 0 v0 v
→ v = v0 e
− kx
§1.4曲线运动(Curvilinear Motion) 1.4曲线运动(Curvilinear 曲线运动 v
v 特点： 特点：① v 沿曲线切向 v v v
②a
Notes:
= at + an vtangential normal v ① at = at et 切向单位矢量
Y
v0 rr v r 的长度
v 方向的单位矢量 沿r
v v v v (2) r = xi + yj + zk v沿相应坐标轴的分量 x、y、z—— r 沿相应坐标轴的分量.
Z z x X 4.矢量的运算 矢量的运算 (1)加减 加减 几何方法： 几何方法：
O
v r
y
Note: r = x 2 + y 2 + z 2 v v v xi + yj + zk v0 r = 2 2 2 Y x +y +z
——运动方程 or 运动函数 运动方程
X
O
e.g. 抛体运动： 抛体运动： v v v 2 1 r (t ) = v0 xti + (v0 y t − 2 gt ) j o
y v
v0
x
2.位移 (displacement) 位移
Z P1
∆S v P2 ∆r v v r (t ) r (t + ∆ t )
e.g. 设
v v v dr v 则 v (t ) = = j + 2 t k ( SI ) dt v v dv v 2 a (t ) = = 2k m / s dt
t v v ∆v→0 2∆t dt v r (t ) = i + t j + t k (SI )
dt
一 些 加 速 度 值
子弹在枪膛中的加速度 车祸瞬间的加速度 致人晕眩的加速度 地球表面的重力加速度 月球表面的重力加速度 地球自转引起赤道上的加速度 地球公转的加速度
v v v v 设 r1 = x1i + y1 j + z1k v v v v r2 = x2 i + y2 j + z2 k v v 则 r1 ⋅ r2 = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 v v v v v e.g. (i + 2 j + 3k ) ⋅ (2i − j ) = 1 × 2 + 2 × (−1)= 0
第一章 质点运动学 (Kinematics of Particles)
——质点运动的描述（位置、位移、速度、 质点运动的描述（位置、位移、速度、 质点运动的描述 加速度及其相互关联） 加速度及其相互关联）. 1.定义 定义 矢量——既有大小又有方向的量 既有大小又有方向的量. 矢量 既有大小又有方向的量
2.参考系 ——建立在参考物上的坐标系 参考系 建立在参考物上的坐标系. 建立在参考物上的坐标系
运动的描述(Description of Motion) §1.3运动的描述 运动的描述
1.位矢 (position vector) 位矢 v Z 位矢 r ——位矢
v r
• P(x,y,z) Y
v v v v r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k
质点所在处， 质点所在处，曲线的曲率半径 仅在曲线的拐点处，才有 仅在曲线的拐点处，才有an=0 .
1.圆周运动 圆周运动 特点：ρ≡ 特点：ρ≡R 特例： 特例 ①匀速率圆周运动
at v an
o
φ
v vv
s
at = 0, an = const.
②匀变速率圆周运动
R
X
at = const .
③直线运动
v v v ∆ r = r (t + ∆t ) − r (t )
—— t 至 t+∆t 内的位移 ∆
Y
o
X
e.g. 设
v v 2 v 国际单位制 v r (t ) = i + t j + t k (SI )
v v v ∆r = r (1) − r (0)
v v = j +k m
则在 t=0 至 1s 内的位移
Note: 矢量与标量都归属于张量 矢量与标量都归属于张量(tensors). 2.单位矢量 单位矢量 ——具有单位长度的矢量 具有单位长度的矢量. 具有单位长度的矢量 Z e.g.
v k vO v X i j
3.矢量表示法 矢量表示法 v (1) r =
v v v 单位矢量 i , j , k ——单位矢量
R → ∞ , an = 0
线量与角量： 线量与角量： 线量： 线量： S ——线位移 线位移 线速度 v = ds / dt ——线速度 切向加速度 at = dv / dt ——切向加速度 2 法向加速度 an = v / R ——法向加速度 角量： 角位移(单位 角量：φ ——角位移 单位：rad) 角位移 单位： 角速度(rad/s) 角速度 ω = dφ / dt ——角速度
dv at = dt
v v at v a v an
加速度的切向分量
(通常与速度方向一致 通常与速度方向一致) 通常与速度方向一致
——反映速度大小对 反映速度大小对 时间的变化率
v v ② an = an en
2
法向单位矢量
(指向曲线凹侧 指向曲线凹侧) 指向曲线凹侧
加速度的法向分量
an =
v
ρ
——反映速度方向对 反映速度方向对 时间的变化率
2
电艇在关机后，有dv/dt=–kv2(k为常 [例1-4]电艇在关机后， dv/dt= kv k 试证：电艇此后行驶距离x 数). 试证：电艇此后行驶距离x时的 − kx 其中v 速度为 v = v0 e , 其中v0是电艇关机 时的速度. 时的速度 dv dv 2 2 证： dx = − kv dx = − kv →