第四讲 函数及其基本性质--对称、单调、奇偶

第四讲 函数的基本性质之-对称、奇偶、单调

一、知识点汇集

1、函数对称轴：若)()(a x f x f +-=，则函数)(x f 的对称轴为 。

2、奇偶性：⇔-=)()(x f x f ； ⇔函数)(x f 是奇函数。 函数有奇偶性的前提是：

3、在公共定义域内，奇函数与奇函数的和（差）是 函数；偶函数和偶函数的和（差）是 函数。奇函数与奇函数的积（商）是 函数，偶函数与偶函数的积（商）是 函数。奇函数与偶函数的积（商）是 函数。

4、奇偶函数的对称性：

5、函数单调性： 1）定义

2）怎么证明（关键是步骤及证明的难点是什么？）？

3）函数有资格谈单调的前提是什么？ 6、复合函数的奇偶性：

二、同步例题 例1.判断函数x

x x x f --=1)(3

4

的奇偶性

例2．求函数322

++-=x x y 的单调区间

例3、已知函数x

a

x x x f ++=

2)(2

，[)+∞∈,1x

（1）当a=4时，求)(x f 的最小值。 （2）当2

1=

a 时，求)(x f 的最小值。

（3）当a 为正常数时，求)(x f 的最小值。

例4、（2010年东莞模拟）)(x f 是定义在R 上的周期为3的偶函数，且0)2(=f ，则方程在区间（0，6）内的解的个数最小值是（ ）

A ．5 B.4 C.3 D.2

例5．（2009年陕西理12）定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的(]()21210,,x x x x ≠∞-∈，都有()()0)()(2121 x f x f x x --，则当*N n ∈时，有（ ）

A.)1()1()(+--n f n f n f

B.)1()()1(+--n f n f n f

C.)1()()1(--+n f n f n f

D.)()1()1(n f n f n f --+

例6、（2010年衡水调研）设直线x=1是函数)(x f 的图象的一条对称轴，对于任意R x ∈，

)()2(x f x f -=+，当11≤≤-x 时，3

)(x x f =。

（1）证明：)(x f 是奇函数

（2）当[]7,3∈x 时，求函数)(x f 的解析式。

例7、（2010湖北孝感一摸）已知函数x

a a

a x f 2

112)(-

+=

，常数0 a

（1）设0 mn ，证明：函数)(x f 在[]n m ,上单调递增。

（2）设n m 0，且)(x f 的定义域和值域都是[]n m ,，求n-m 的最大值。

*第三讲剩余例题*

（2）已知不等式|2|1a x x ->-，对任意[0,2]x ∈恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．()(),15,-∞+∞ B ．()(),25,-∞+∞ C ．（1，5）

D ．（2，5）

例7、某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x ，3x （吨）。求： （1）y 关于x 的函数；

（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4吨、元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费。