事件的关系与概率运算

事件的关系与概率运算
一、基础知识
1、事件的分类与概率：
（1）必然事件：一定会发生的事件，用Ω表示，必然事件发生的概率为100%
（2）不可能事件：一定不会发生的事件，用∅表示，不可能事件发生的概率为0%
（3）随机事件：可能发生也可能不发生的事件，用字母,,A B C 进行表示，随机事件的概率[]0,1P ∈
2、事件的交并运算：
（1）交事件：若事件C 发生当且仅当事件A 与事件B 同时发生，则称事件C 为事件A 与事件B 的交事件，记为A B ，简记为AB 多个事件的交事件：12n A A A ：事件12,,,n A A A 同时发生
（2）并事件：若事件C 发生当且仅当事件A 与事件B 中至少一个发生（即A 发生或B 发生），则称事件C 为事件A 与事件B 的并事件，记为A B
多个事件的并事件：12n A A A ：事件12,,,n A A A 中至少一个发生
3、互斥事件与概率的加法公式：
（1）互斥事件：若事件A 与事件B 的交事件A B 为不可能事件，则称,A B 互斥，即事件A 与事件B 不可能同时发生。

例如：投掷一枚均匀的骰子，设事件“出现1点”为事件A ，“出现3点”为事件B ，则两者不可能同时发生，所以A 与B 互斥
（2）若一项试验有n 个基本事件：12,,,n A A A ，则每做一次实验只能产
生其中一个基本事件，所以12,,,n A A A 之间均不可能同时发生，从而
12,,,n A A A 两两互斥
（3）概率的加法公式（用于计算并事件）：若,A B 互斥，则有
()()()P A B P A P B =+
例如在上面的例子中，事件A B 为“出现1点或出现3点”由均匀的骰子可得()()16P A P B ==，所以根据加法公式可得：
()()()13
P A B P A P B =+= （4）对立事件：若事件A 与事件B 的交事件A B 为不可能事件，并事件A B 为必然事件，则称事件B 为事件A 的对立事件，记为B A =，也是我们常说的事件的“对立面”，对立事件概率公式：()()1P A P A =-，关于对立事件有几点说明：
① 公式的证明：因为,A A 对立，所以A A =∅，即,A A 互斥，而A A =Ω，所以()()()()P P A A P A P A Ω==+，因为()1P Ω=，从而()()1P A P A =- ② 此公式也提供了求概率的一种思路：即如果直接求事件A 的概率所讨论的情况较多时，可以考虑先求其对立事件的概率，再利用公式求解
③ 对立事件的相互性：事件B 为事件A 的对立事件，同时事件A 也为事件B 的对立事件
④ 对立与互斥的关系：对立关系要比互斥关系的“标准”更高一层。

由对立事件的定义可知：,A B 对立，则,A B 一定互斥；反过来，如果,A B 互斥，则不一定,A B 对立（因为可能A B 不是必然事件）
4、独立事件与概率的乘法公式：
（1）独立事件：如果事件A （或B ）发生与否不影响事件B （或A ）发生的概率，则称事件A 与事件B 相互独立。

例如投掷两枚骰子，设“第一个骰子的点数是1”为事件A ，“第二个骰子的点数是2”为事件B ，因为两个骰子的点数不会相互影响，所以,A B 独立
（2）若,A B 独立，则A 与B ，B 与A ，A 与B 也相互独立
（3）概率的乘法公式：若事件,A B 独立，则,A B 同时发生的概率
()()()P AB P A P B =⋅ ，比如在上面那个例子中，()()11,66
P A P B ==，设“第一个骰子点数为1，且第二个骰子点数为2”为事件C ，则()()()()136
P C P AB P A P B ==⋅=。

（4）独立重复试验：一项试验，只有两个结果。

设其中一个结果为事件A （则另一个结果为A ），已知事件A 发生的概率为p ，将该试验重复进行n 次（每次试验结果互不影响），则在n 次中事件A 恰好发生k 次的概率为()1n k k k n P C p p -=-
① 公式的说明：以“连续投掷3次硬币，每次正面向上的概率为1
3”
为例，设i A 为“第i 次正面向上”，由均匀的硬币可知()12i P A =，设B 为“恰好2次正面向上”，则有：()()()()123123123P B P A A A P A A A P A A A =++ 而()()()2
1231231231122P A A A P A A A P A A A ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()223223111132222P B C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
② k n C 的意义：是指在n 次试验中事件A 在哪k 次发生的情况总数，例如在上面的例子中“3次投掷硬币，两次正面向上”，其中23C 代表了符
合条件的不同情况总数共3种
5、条件概率及其乘法公式：
（1）条件概率：
（2）乘法公式：设事件,A B ，则,A B 同时发生的概率
()()()|P AB P A P B A =⋅
（3）计算条件概率的两种方法：（以计算()|P B A 为例） ① 计算出事件A 发生的概率()P A 和,A B 同时发生的概率()P AB ，再利用()()
()|P AB P B A P A =即可计算
② 按照条件概率的意义：即B 在A 条件下的概率为事件A 发生后，事件B 发生的概率。

所以以事件A 发生后的事实为基础，直接计算事件B 发生的概率
例：已知6张彩票中只有一张有奖，甲，乙先后抽取彩票且不放回，求在已知甲未中奖的情况下，乙中奖的概率。

解：方法一：按照公式计算。

设事件A 为“甲未中奖”，事件B 为“乙中奖”，所以可得：()56
P A =，事件AB 为“甲未中奖且乙中奖”，则
()11512616C C P AB A ⋅==。

所以()()()1|5P AB P B A P A == 方法二：按照条件概率实际意义：考虑甲在抽取彩票后没有中奖，则留给乙的情况是剩下的五张彩票中有一张是有奖的，所以乙中奖的概率为15
P =
6、两种乘法公式的联系：
独立事件的交事件概率：()()()P AB P A P B =⋅
含条件概率的交事件概率：()()()|
=⋅
P AB P A P B A
通过公式不难看出，交事件的概率计算与乘法相关，且事件,A B通常存在顺承的关系，即一个事件发生在另一事件之后。

所以通过公式可得出这样的结论：交事件概率可通过乘法进行计算，如果两个事件相互独立，则直接作概率的乘法，如果两个事件相互影响，则根据题意分出事件发生的先后，用先发生事件的概率乘以事件发生后第二个事件的概率（即条件概率）
二、典型例题：
例1：从1,2,3,4,5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。

上述事件中，是对立事件的是（）
A. ①
B. ②④
C. ③
D. ①③
思路：任取两数的所有可能为{两个奇数；一个奇数一个偶数；两个偶数}，若是对立事件，则首先应该是互斥事件，分别判断每种情况：①两个事件不是互斥事件，②“至少有一个奇数”包含“两个都是奇数”的情况，所以不互斥，③“至少一个奇数”包含“两个奇数”和“一奇一偶”所以与“两个偶数”恰好对立，④“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”均包含“一奇一偶”的情况，所以不互斥。

综上所述，只有③正确
答案：C
例2：5个射击选手击中目标的概率都是23，若这5个选手同时射同一个目标，射击三次则至少有一次五人全部集中目标的概率是（ ） A. 35113⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ B. 53113⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ C. 3
52113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ D. 5
32113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 思路：所求中有“至少一次”，且若正面考虑问题所涉及的情况较多。

所以考虑从问题的对立面入手，设所求事件为事件A ，则A 为“射击三次没有一次五人均命中目标”，考虑射击一次五人没有全命中目标的概率为5213⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()
35213P A ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，从而可得()()3521113P A P A ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
答案：C
例3：甲，乙，丙三人独立的去译一个密码，分别译出的概率为111,,534
，则此密码能译出概率是（ ）
A.
160 B. 15 C. 35 D. 5960 思路：若要译出密码，则至少一个人译出即可。

设事件A 为“密码译出”，
正面分析问题情况较多，所以考虑利用对立面，A 为“没有人译出密码”，
则
()11121115435P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而()()
315P A P A =-= 答案：C
例4：某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮，假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率是_________
思路：因为选手回答4个问题就晋级下一轮，所以说明后两个回答结果正确，且第二次回答错误（否则第二次与第三次连续正确，就直接
晋级了），第一次回答正确错误均可。

所以2
141655125P ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭ 答案：16125
例5：掷3颗骰子，已知所得三个数都不一样，求含有1点的概率 思路：首先判断出所求的为条件概率，即在3个数都不一样的前提下，含有1点的概率，设事件A 表示“含有1点的概率”，事件B 为“掷出三个点数都不一样”，事件AB 为“三个点数都不一样且有一个点数为
1”，则有()123535618C A P AB ==，()363569
A P
B ==，所以由条件概率公式可得：()()()1|2P AB P A B P B =
= 答案：1
2
例6：甲乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，比赛结束，乙胜出。

已知每一局甲，乙两人获胜的概率分别为23,55，则甲胜出的概率为（ ）
A.
1625 B. 1825 C. 1925
D. 2125
思路：考虑甲胜出的情况包含两种情况，一种是甲第一局获胜，一种是甲第一局输了，第二局获胜，设事件i A 为“甲在第i 局获胜”，事件B 为“甲胜出”，则()()()112P B P A P A A =+，依题意可得：()12
5
P A =，两场比赛相互独立，所以()()()12123265525
P A A P A P A =⋅=⋅=
从而()1625P B =
答案：A 例7：如图，元件()1,2,3,4i A i =通过电流的概率均为0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在,M N 之间通过的概率是（ ）
A. 0.729
B. 0.8829
C. 0.864
D. 0.9891
思路：先分析各元件的作用，若要在,M N 之间通过电流，则4A 必须通过，且12,A A 这一组与3A 两条路至少通过一条。

设A 为“12,A A 通过”，则
()20.90.81P A ==，设B 为“3A 通过”
，()0.9P B =，那么“至少通过一条”的概率()()()110.019P P AB P A P B =-=-=，从而,M N 之间通过电流的概率为0.0190.90.8829⨯=
答案：B
例8：假设每一架飞机的引擎在飞行中出现的故障率为1p -，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，
飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机也可成功飞行；要使得4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p 的取值范围是（ ） A. 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
D. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
思路：所谓“更安全”是指成功飞行的概率更高，所以只需计算两种引擎成功的概率即可，引擎正常运行的概率为p ，设事件A 为“4引擎飞机成功飞行”，事件i A 为“i 个引擎正常运行”，可知引擎运行符合独
立重复试验模型，所以()()441i
i i i P A C p p -=-，所以()()()()()33443434441P A P A A P A P A C p p C p ==+=-+。

设事件B 为“2引擎飞机成功飞行”，则()2P B p =，依题意：()()P A P B >，即
()33442441C p p C p p -+>，进而解出113
p << 答案：B
例9：从1,2,3,,15中，甲，乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是_______
思路一:本题涉及条件概率的问题，设事件A 为“甲取到的数比乙大”，事件B 为“甲取到的数是5的倍数”，则所求概率为()|P A B 。

若用公式求解，则需求出()(),P AB P B ，事件AB 即为“甲取到了5的倍数且甲数大于乙数”，由古典概型可计算出概率。

甲能够取得数为5,10,15，当甲
取5时，乙有14C 种取法，当甲取10时，乙有19C 种取法，当甲取15时，
乙有1
14
C 种取法，所以()1114914215970C C C P AB A ++==，因为()1311515C P B C ==，所以()()
()9|14
P AB P A B P B == 思路二：本题处理条件概率时也可从实际意义出发，甲取5,10,15对乙的影响不同，所以分情况讨论。

当甲取的是5时，甲能从5的倍数中取出5的概率是13，此时乙从剩下14个数中可取的只有1,2,3,4，所
以甲取出5且大于乙数的概率114314
P =⋅
，同理，甲取的是10时，乙可取的由9个数，所以甲取出10且大于乙数概率为219314
P =⋅，甲取的是15时，乙可取14个数，所以甲取出15且大于乙数的概率为313P =，所以甲取到的数是5的倍数后，甲数大于乙数的概率为
123914
P P P P =++= 答案：914
小炼有话说：本题两种处理条件概率的思路均可解决问题，但第二种方法要注意，所发生过的只是甲取到5的倍数，但不知是哪个数，所以在分类讨论时还要乘上某个5的倍数能抽中的概率。

即所求问题转变为“已知抽到5的倍数后，抽到哪个5的倍数（具体分类讨论）且甲数大于乙数的概率”。

例10：甲袋中有5只白球，7只红球；乙袋中由4只白球，2只红球，从两个袋子中任取一袋，然后从所取到的袋子中任取一球，则取到白球的概率是_______
思路：本题取到白球需要两步：第一步先确定是甲袋还是乙袋，第二步再取球。

所以本问题实质上为“取到某袋且取出白球的概率”，因为
全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解） 取袋在前，取球在后，所以取球阶段白球的概率受取袋的影响，为条件概率。

设事件A 为“取出甲袋”，事件B 为“取出白球”，分两种情况进行讨论。

若取出的是甲袋，则()()1|P P A P B A =⋅，依题意可得：
()()15,|212P A P B A ==，所以1155=21224
P =⋅；若取出的是乙袋，则()()2|P P A P B A =⋅，依题意可得：()()
142,|263
P A P B A ===，所以2121233P =⋅=，综上所述，取到白球的概率121324
P P P =+= 答案：1324。