古典概型

• [解] (1)用(x，y)(x表示甲摸到的数字，y表 示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成 的基本事件，则基本事件有：(1,1)、(1,2)、 (1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、 设：甲获胜的事件为A，则事件A包含的基本事件有： (3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、 (2,1)、(3,1)、(3,2)、(4,1)、(4,2)、(4,3)，共有6个；则P(Βιβλιοθήκη Baidu)＝ (4,3)、(4,4)，共16个；
为5的结果有4种，因此由古典概型的概率计算公式可得P5 4 1 ＝36＝9.
(3)向上的点数之和为2的结果有(1,1)一种情况， 向上的点数之和为3的结果有(1,2)，(2,1)两种情况， 向上的点数之和为4的结果有(1,3)，(3,1)，(2,2)三种情 况． 记向上的点数之和为2的概率为P2，向上的点数之和为 3的概率为P3，向上的点数之和为4的概率为P4，因此，向上 1 2 3 1 的点数之和小于5的概率P＝p2＋p3＋p4＝36＋36＋36＝6.
• 1．基本事件 • (1)试验结果是有限个，且每个事件都是随机 事件的事件，称为 ． 基本事件 • (2)基本事件有两个特点：①任何两个基本事 互斥的 件是 ；②任何事件都可表示成基本 和 事件的 ．
• 2．古典概型 古典概率 • (1)定义：具有以下两个特点的概率模型称 只有有限个 可能性相等． 为古典概率模型，简称 ． ①试 验中所有可能出现的基本事件 (2)古典概型的概率公式： ；②每个基本事件出现的
2．事件 A 的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数 n 与事件 A 包含的基本事件数 m.因此必须解决以下三个方面的问 题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件数 有多少个；第三，事件 A 是什么，它包含的基本事件有多少．回 答好这三个方面的问题，解题才不会出错．
1．(2010· 北京，3)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a，从 {1,2,3}中随机选取一个数为 b，则 b＞a 的概率是( 4 A.5 2 C.5 3 B.5 1 D.5 )
[解析]
设{1,2,3,4,5}和{1,2,3}中分别任取一个实数a和
b，组成实数对(a，b)，有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)， (2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)， (5,2)，(5,3)共15种，其b＞a的有(1,2)，(1,3)，(2,3)共3种， 3 1 所以b＞a的概率为15＝5. • [答案] D
[解] (1)每颗骰子出现的点数都有 6 种情况， 所以基本事件总数为 6×6＝36 个． 记“点 P(x，y)在直线 y＝x－1 上”为事件 A，A 有 5 个基本 事件：A＝{(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)}， 5 ∴P(A)＝ . 36
(2)记“点P(x，y)满足y2＜4x”为事件B，则事件B有17 个基本事件： 当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝1,2； 当x＝3时，y＝1,2,3；当x＝4时，y＝1,2,3； 当x＝5时，y＝1,2,3,4；当x＝6时，y＝1,2,3,4. 17 ∴P(B)＝ . 36
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[解]
根据古典概型的定义进行判断．(1)1,2,3,4,5,6.
(2)事件A为2,4,6；事件B为4,5,6；事件C为1,2；事件D 为2,3,5. 3 1 3 1 (3)是古典概型，其中P(A)＝6＝2；P(B)＝6＝2；P(C)＝ 2 1 3 1 6＝3；P(D)＝6＝2.
• [点评与警示] 弄清每一次试验的意义及每个 基本事件的含义是解决问题的前提，正确把 握各个事件的相互关系是解决问题的重要方 面，判断一次试验中的基本事件，一定要从 其可能性入手，加以区分．而一个试验是否 是古典概型要看其是否满足有限性和等可能 性．
6 3 16＝8.
(2)设：甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C；事件B 所包含的基本事件有：(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)，共有4 4 1 1 3 个；则P(B)＝ 16 ＝ 4 ，∴P(C)＝1－P(B)＝1－ 4 ＝ 4 ， P(B)≠P(C)，所以这样规定不公平．
• [点评与警示] 首先弄清基本事件的个数，而 且每个基本事件发生的概率是相等的，可用 古典概型公式
因为直线 l1 与
x＞0， l2 的交点位于第一象限，则 y＞0.
x＝ b＋2 ＞0， b－2a 即 解得 b＞2a. a＋1 y＝b－2a＞0. a，b∈{1,2,3,4,5,6}的总事件数为(1,1)，(1,2)，„，(1,6)， (2,1)，(2,2)，„，(2,6)，„，(5,6)，(6,6)共 36 种．
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(2009·惠州第三次调研)同时掷两个骰 子，计算： • (1)一共有多少种不同的结果？ • (2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种？ 概率是多少？ • (3)向上的点数之和小于5的概率是多少？
• [解] (1)掷一个骰子的结果有6种． • 我们把两个骰子标上记号1,2以便区分，由 于1号骰子的每一个结果都可以与2号骰子 (2)在上面的所有结果中，向上的点数之和为5的结果有 的任意一个结果配对，组成同时掷两个骰 子的结果，因此同时掷两个骰子的结果共 (1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)共4种． 36种． 由于所有36种结果是等可能的，其中向上的点数之和
满足条件的实数对(a， b)有(1,3)、 (1,4)、 (1,5)、 (1,6)、 (2,5)、 (2,6)共六种．
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6 1 所以 P(B)＝36＝6. 答：直线l 与l 的交点位于第一象限的概率为.
1 2
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有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个 完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、 4. • (1)甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另 一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的数 字大谁就获胜(蔌数字相同则为平局)，求甲获 胜的概率； • (2)摸球方法与(1)同，若规定：两人摸到的球 上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则 乙获胜，这样规定公平吗？
• [点评与警示] 这类问题考查概率的应用及古 典概型的求法，结合分层抽样概念的理解及 解次实际问题的能力．
1．用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后 m 再求出事件 A 中的基本事件，利用公式 P(A)＝ n 求出事件 A 的 概率．这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺 序做到不重复，不遗漏．
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把一颗骰子抛6次，设正面出现的点数
为x. (1)求出x的可能取值情况(即全体基本事件)； (2)下列事件由哪些基本事件组成(用x的取值 回答)? ①x的取值是2的倍数(记为事件A)；②x的取值 大于3(记为事件B)；③x的取值不超过2(记为 事件C)；④x的取值是质数(记为事件D)； (3)判断上述事件是否为古典概型并求其概
1 a [解] (1)直线 l1 的斜率 k1＝2，直线 l2 的斜率 k2＝b. 设事件 A 为“直线 l1∩l2＝∅”． a，b∈{1,2,3,4,5,6}的总事件数为(1,1)，(1,2)，„(1,6)，(2,1)， (2,2)，„，(2,6)，„，(5,6)，(6,6)共 36 种． 若 l1∩l2＝∅，则 l1∥l2，即 k1＝k2，即 b＝2a. 满足条件的实数对(a，b)有(1,2)、(2,4)、(3,6)共三种情形， 3 1 所以 P(A)＝36＝12.
事件A包含的基本事件数 P(A)＝ 求解． 试验的基本事件总数
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(2008·广东高考题)某初级中学共有学生 2000名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级 初二年级 初三年级
373 x y 女生 377 370 z 男生 • 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年 级女生的概率是0.19.
• (1)求x的值； • (2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生， 问应在初三年级抽取多少名？ • (3)已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比 男生多的概率．
1 3 2．(2011· 深圳一模)已知函数 f(x)＝ x －ax＋b，其中实数 3 a， 是常数． b 已知 a∈{0,1,2}， b∈{0,1,2}， 求事件 A“f(1)≥0” 发生的概率．
[解]
当 a∈{0,1,2}，b∈{0,1,2}时，等可能发生的基本事
件(a，b)共有 9 个： (0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2) 1 其中事件 A“f(1)＝3－a＋b≥0”，包含 6 个基本事件： (0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,1)，(1,2)，(2,2)． 6 2 故 P(A)＝ ＝ . 9 3 2 答：事件“f(1)≥0”发生的概率 . 3
1 答：直线 l1∩l2＝∅的概率为12.
(2)设事件 B 为“直线 l1 与 l2 的交点位于第一象限”， 由于直线 l1 与 l2 有交点，则 b≠2a. x＝ b＋2 ， ax－by＋1＝0， b－2a 联立方程组 解得 x－2y－1＝0. a＋1 y＝b－2a.
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(2010·广州一模)已知直线l1：x－2y－1 ＝0，直线l2：ax－by＋1＝0，其中a， b∈{1,2,3,4,5,6}． • (1)求直线l1∩l2＝∅的概率； • (2)求直线l1与l2的交点位于第一象限的概率． • [分析] 本小题主要考查概率、解方程与解不 等式等知识，考查数形结合、化归与转化的 数学思想方法，以及运算求解能力．
[解] x (1)因为2000＝0.19，所以x＝380.
(2)初三年级人数为y＋z＝2000－(373＋377＋380＋370) ＝500.现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三 48 年级抽取的人数为2000×500＝12名．
(3)设初三年级女生比男生多的事件为A，初三年级女生 男生数记为(y，z)，由(2)知y＋z＝500，且y，z∈Z＋. 基本事件共有(245,255)，(246,254)，(247,253)， L(255,245)共11个，事件A包含的基本事件有(251,249)， (252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)共5个，所以P(A) 5 ＝ . 11
A包含的基本事件的个数 P(A)＝ . 基本事件的总数
• 3．随机(整)数 • (1)定义：随机(整)数就是在一定范围内 产 随机 生的(整)数，并且得到这个范围内的每一个 一样 (整)数的机会 ． • (2)随机(整)数的产生 • ①用计算器产生(a，b)之间的取整数值的随机 数的过程如下：
• 反复按ENTER键，就可以不断产生你需要的 随机(整)数． • ②用计算机软件产生随机函数，应先选定随 RANDBETWEEN(a，b) 机函数，键入“ ” ， 按 Enter键，每按一次“Enter”键便产生一个所 需的随机整数．
• 3．(2009·江苏高考题)现有5根竹竿，它们的 长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从 中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好 相差0.3 m的概率为________． • [解析] 考查等可能事件的概率知识． • 从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件 总数为10，它们的长度恰好相差0.3 m的事件 数为2，分别是：2.5和2.8,2.6和2.9，所求概率 为0.2. • [答案] 0.2
• [点评与警示] 古典概型概率求法的步骤： • (1)判定事件是否是古典概型(即看试验结果是 否有限，每个结果出现是否等可能)； • (2)确定基本事件总数及所求事件中所含基本 事件个数； • (3)代入公式求概率．
• 先后随机投掷2枚骰子，其中x表示第1枚骰子 出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数． • (1)求点P(x，y)在直线y＝x－1上的概率； • (2)求点P(x，y)满足y2＜4x的概率．