连续博弈论中的混合策略性质及均衡存在定理
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数理 医药学杂志 文章编 号 ：０ ４４ ３ （ ０ ０ ０ —６ ９０ １ ０ —３ ７２ １ ） ６０ ４ —３ 中图分 类号 ： ３ １ Ｒ １ 文献标识码 ： Ａ
２１ ０ ０年 第 ２ ３卷第 ６期 ・基础 医学研 究 ・
连 续博 弈论中 的混合策略性质及 均衡存在定理
张金旺
摘
阎 岩
李 林 刘 红
华 琳 郑卫英
张 建 李冬果
（ 首都 医科 大 学生 物医 学工 程学 院
北京 １ ０ ６ ） ０ ０ ９
要 ： 在 Ｆ ｄｎ ｅｇ和 Ｔｉ ｌ（ ９ １ ２０ ） ｕ ｅｂ ｒ ｒ ｅ １ ９ ，０ ２相应 的工作基础 （ ｏ 技术性说 明）上 ， 提出并证明连续博弈混合策略集上相似于有限
博弈中混合 策略中的一些 基本和重要性 质 ， 同样利用预备知识中的方法说明了混合策略纳什均衡的存在性 。
关键词 ： 连续博 弈 ； 混合 策略 ； 均衡
ｄｉ１． ９ ９ ｊ ｉ ｎ ０ ４４ ３ ． ０ ０ ０ ． ０ ０：０ ３ ６ ／ ．ｓ ．１０ －３ ７ ２ １． ６ ０ ８ ｓ
的是概率分布 的变化 。现在策 略集 Ｓ （ ＥＮ）是不 可数 的无 ｉ
１ 序 言
限集 ， 中人 ｉ 局 以概率选择策 略时 ， 在维持 隐蔽性 下 ， 这种随机 选 择可以看成是定义在概 率空间 一｛ Ｆ ， 上 的一个随 Ｓ ， ，Ｐ ） 机 变量 专， 中 为 Ｓ 上的 代数 ， 的元 素Ａ ＝ 其 （ Ｓ是 Ｂ ｒｌ ＝ ｏｅ
博弈论可定义为是对有 理性 的局 中人 之间 冲突和合 作 的 数 学模 型的研究 。个人理性强调局 中人在 博弈 中会 自始 至终 以追求 个人（ 期望 ） 支付 （ 效用 ） 或 最大化 为 目标 来决策 。博 弈 论 主要 研究 局中人相互影响对方 策略所形 成或 实现的策 略组 合， 是决策理论对两个 或两个以上局 中人情形 的推广 ， 者是 或
决 策论 在本 质 上 的 逻 辑 完 备 。
可测子集 ， 是 Ｆ 上 的概率测 度 。且根据 概率分 布与分 布函
数 的关 系 ， ８的概率分布 函数 Ｆ （ （ 用 ｓ）ｓＥＲ）来表示 。 定 义 １ 概率 空间 一｛ ， ， 任 意分布 函数 Ｓ ， Ｐ ）上 （ ）组成 的集合 称为策略型博弈 Ｇ一｛ ｝ Ｎ ｓ Ｓ ， ｉ 中局 中人 ｉ Ｅ Ｅ Ｎ 的混合策略集 ， 记为 △ ； 布函数 ∈△称 为局 中人 ｉ的一 分 个混合 策略 。即对 Ｖ Ｅ△ ， 当且仅 当 Ａ∈ 时 Ｆ （ ） ｉ Ａ 一Ｐ （ ） 毒（ ＥＡ 一 Ｊ ｄ （ １≥ ０， （ 一１且 对 的 Ａ 一Ｐ （ ） ） ＾ ｆＳ） Ｓ）
．
在 博弈论的形成 与发展 过程 中 ， 混合 策 略或 随机 策 略概 念 的引进 和应用起到了重大 的作 用 。因为在不确定 环境 或具
有 风险的情 况下 ， 所假 定 的理性局 中人 总会 追求 他 的支付 的
数学期望最 大 ， 而数 学期 望 又完 全 由 随机 变量 分 布 所确 定 。
两两不 相交 的 子 集 族 ｛ ｝ ， ） 都有 （ Ａ ） ∑ Ｕ 一
（ ） Ａ 。
用混合策 略来分 析博 弈是 重要 的手 段 ， 引入 混合 策 略可 以保
证纳什均衡 的存 在 。根 据 贝叶斯 决策 理论 ， 策 略集 上 的概 用 率分布可定 量表 示局 中人 选择 策略 的信 念 ， 映局 中人 的隐 反
密性 。
我们在 △上定义距离 ｐ： ×△一Ｒ 为 △ ｐ ， ） Ｉ 一 ｆ （ 一 １ ｌ
— ｓ ｐ （ ） ｕ Ｉ ｓ 一 （ ） ，Ｖ ， ＥＡ ，ｉ ｓ ｌ ＥＮ
ｓ
２
∈ ｔ
在 实际经济 活动 中 ， 中人 （ 局 经济人 ） 的策 略集 通 常是 无
限的， 在对无限博弈 中连续博弈 的均衡存 在性 的研究 中 ， 早 最 的和注重理论 与实效的也是混合 策略均衡 存在性 。关于现 有 的连续博弈 的均衡存 在性 的研 究可 概括 为 ： 在连 续博 弈 中有 关混合策略纳 什均衡 的存 在性 的纳 什均 衡存 在定 理 （ ｉ ｓ Ｇｌｋ — ｃ ｇ ｒ，９ ２ 和连续博弈 中有关 纯策略纳什均衡存在定 理 ； 者 ｅｇ １ ５ ） 后 是前者 的特例 。在求解 连续博弈 的均 衡 中几乎 采用 的都是 反
用 Ｃ Ｓ）表示 Ｓ 上一切连续 函数 （ （ｉ 这时的连续 函数是有界
的） 的集合 ， 它是 ｔ ｎｃ ￣ ａｈ空间， 范数 为 １—ｓｐＩ ｓ ｌ。 其 Ｉ ｕ （ ｃ ）
５
ｆ
ｔ ￡
定义 ２ 设 ｛ ｝ 是 △ 中一个混 合策略序 列 ， ∈△ ， 器 如
果 对 Ｖｃ （ ） ＥＣ Ｓ
都 有
ｉ ｍ Ｅ （１ ｄ （ｉ 一 Ｅ （ ｄ （ｉ Ｓｃ ｓ） ｓ） Ｓｃ ｓ） ｓ） （） １
应 函数法 ， 尽可能避 开用 局 中人 的反应 集去求 集 映 的不 动 点
即博弈 的均衡 。
因此 ， 研 究 在 Ｆ ｄ ｎ ｅｇ和 Ｔ ｒｌ（ ９ １ ２ ０ ） 应 的 本 ｕ ｅｂ ｒ ｉ ｅ １ ９ ，０ ２ 相 ｏ
则称 ｛ ）－弱 收敛 于 ， Ｆ 记为 由定义 １有 Ｆ ； 之 若 反
Ｆ 或ｌ ￣ ｉ ｉ ｍＦ — （ 训）。
—
｝ 。 。
Ｆ ， 对 Ｖｃ 则 Ｅ Ｃ
工作基础 （ 技术性说 明）上 ， 主要对 连续 博弈混合策略 的性质 ，
连续博弈 的混合 策略纳什均衡存在定理 的证 明进行 了讨论 。 ２ 连续博弈 的混合策略性质 、 混合策略纳什均衡存在定 理
（ （） Ｓ）有 １ 式成立 ， 即这两个条件是等价 的。 显然 ， 中任 一序列必有 收敛子序 列 收敛到 △ 中的一个 △ｚ
２１ ０ ０年 第 ２ ３卷第 ６期 ・基础 医学研 究 ・
连 续博 弈论中 的混合策略性质及 均衡存在定理
张金旺
摘
阎 岩
李 林 刘 红
华 琳 郑卫英
张 建 李冬果
（ 首都 医科 大 学生 物医 学工 程学 院
北京 １ ０ ６ ） ０ ０ ９
要 ： 在 Ｆ ｄｎ ｅｇ和 Ｔｉ ｌ（ ９ １ ２０ ） ｕ ｅｂ ｒ ｒ ｅ １ ９ ，０ ２相应 的工作基础 （ ｏ 技术性说 明）上 ， 提出并证明连续博弈混合策略集上相似于有限
博弈中混合 策略中的一些 基本和重要性 质 ， 同样利用预备知识中的方法说明了混合策略纳什均衡的存在性 。
关键词 ： 连续博 弈 ； 混合 策略 ； 均衡
ｄｉ１． ９ ９ ｊ ｉ ｎ ０ ４４ ３ ． ０ ０ ０ ． ０ ０：０ ３ ６ ／ ．ｓ ．１０ －３ ７ ２ １． ６ ０ ８ ｓ
的是概率分布 的变化 。现在策 略集 Ｓ （ ＥＮ）是不 可数 的无 ｉ
１ 序 言
限集 ， 中人 ｉ 局 以概率选择策 略时 ， 在维持 隐蔽性 下 ， 这种随机 选 择可以看成是定义在概 率空间 一｛ Ｆ ， 上 的一个随 Ｓ ， ，Ｐ ） 机 变量 专， 中 为 Ｓ 上的 代数 ， 的元 素Ａ ＝ 其 （ Ｓ是 Ｂ ｒｌ ＝ ｏｅ
博弈论可定义为是对有 理性 的局 中人 之间 冲突和合 作 的 数 学模 型的研究 。个人理性强调局 中人在 博弈 中会 自始 至终 以追求 个人（ 期望 ） 支付 （ 效用 ） 或 最大化 为 目标 来决策 。博 弈 论 主要 研究 局中人相互影响对方 策略所形 成或 实现的策 略组 合， 是决策理论对两个 或两个以上局 中人情形 的推广 ， 者是 或
决 策论 在本 质 上 的 逻 辑 完 备 。
可测子集 ， 是 Ｆ 上 的概率测 度 。且根据 概率分 布与分 布函
数 的关 系 ， ８的概率分布 函数 Ｆ （ （ 用 ｓ）ｓＥＲ）来表示 。 定 义 １ 概率 空间 一｛ ， ， 任 意分布 函数 Ｓ ， Ｐ ）上 （ ）组成 的集合 称为策略型博弈 Ｇ一｛ ｝ Ｎ ｓ Ｓ ， ｉ 中局 中人 ｉ Ｅ Ｅ Ｎ 的混合策略集 ， 记为 △ ； 布函数 ∈△称 为局 中人 ｉ的一 分 个混合 策略 。即对 Ｖ Ｅ△ ， 当且仅 当 Ａ∈ 时 Ｆ （ ） ｉ Ａ 一Ｐ （ ） 毒（ ＥＡ 一 Ｊ ｄ （ １≥ ０， （ 一１且 对 的 Ａ 一Ｐ （ ） ） ＾ ｆＳ） Ｓ）
．
在 博弈论的形成 与发展 过程 中 ， 混合 策 略或 随机 策 略概 念 的引进 和应用起到了重大 的作 用 。因为在不确定 环境 或具
有 风险的情 况下 ， 所假 定 的理性局 中人 总会 追求 他 的支付 的
数学期望最 大 ， 而数 学期 望 又完 全 由 随机 变量 分 布 所确 定 。
两两不 相交 的 子 集 族 ｛ ｝ ， ） 都有 （ Ａ ） ∑ Ｕ 一
（ ） Ａ 。
用混合策 略来分 析博 弈是 重要 的手 段 ， 引入 混合 策 略可 以保
证纳什均衡 的存 在 。根 据 贝叶斯 决策 理论 ， 策 略集 上 的概 用 率分布可定 量表 示局 中人 选择 策略 的信 念 ， 映局 中人 的隐 反
密性 。
我们在 △上定义距离 ｐ： ×△一Ｒ 为 △ ｐ ， ） Ｉ 一 ｆ （ 一 １ ｌ
— ｓ ｐ （ ） ｕ Ｉ ｓ 一 （ ） ，Ｖ ， ＥＡ ，ｉ ｓ ｌ ＥＮ
ｓ
２
∈ ｔ
在 实际经济 活动 中 ， 中人 （ 局 经济人 ） 的策 略集 通 常是 无
限的， 在对无限博弈 中连续博弈 的均衡存 在性 的研究 中 ， 早 最 的和注重理论 与实效的也是混合 策略均衡 存在性 。关于现 有 的连续博弈 的均衡存 在性 的研 究可 概括 为 ： 在连 续博 弈 中有 关混合策略纳 什均衡 的存 在性 的纳 什均 衡存 在定 理 （ ｉ ｓ Ｇｌｋ — ｃ ｇ ｒ，９ ２ 和连续博弈 中有关 纯策略纳什均衡存在定 理 ； 者 ｅｇ １ ５ ） 后 是前者 的特例 。在求解 连续博弈 的均 衡 中几乎 采用 的都是 反
用 Ｃ Ｓ）表示 Ｓ 上一切连续 函数 （ （ｉ 这时的连续 函数是有界
的） 的集合 ， 它是 ｔ ｎｃ ￣ ａｈ空间， 范数 为 １—ｓｐＩ ｓ ｌ。 其 Ｉ ｕ （ ｃ ）
５
ｆ
ｔ ￡
定义 ２ 设 ｛ ｝ 是 △ 中一个混 合策略序 列 ， ∈△ ， 器 如
果 对 Ｖｃ （ ） ＥＣ Ｓ
都 有
ｉ ｍ Ｅ （１ ｄ （ｉ 一 Ｅ （ ｄ （ｉ Ｓｃ ｓ） ｓ） Ｓｃ ｓ） ｓ） （） １
应 函数法 ， 尽可能避 开用 局 中人 的反应 集去求 集 映 的不 动 点
即博弈 的均衡 。
因此 ， 研 究 在 Ｆ ｄ ｎ ｅｇ和 Ｔ ｒｌ（ ９ １ ２ ０ ） 应 的 本 ｕ ｅｂ ｒ ｉ ｅ １ ９ ，０ ２ 相 ｏ
则称 ｛ ）－弱 收敛 于 ， Ｆ 记为 由定义 １有 Ｆ ； 之 若 反
Ｆ 或ｌ ￣ ｉ ｉ ｍＦ — （ 训）。
—
｝ 。 。
Ｆ ， 对 Ｖｃ 则 Ｅ Ｃ
工作基础 （ 技术性说 明）上 ， 主要对 连续 博弈混合策略 的性质 ，
连续博弈 的混合 策略纳什均衡存在定理 的证 明进行 了讨论 。 ２ 连续博弈 的混合策略性质 、 混合策略纳什均衡存在定 理
（ （） Ｓ）有 １ 式成立 ， 即这两个条件是等价 的。 显然 ， 中任 一序列必有 收敛子序 列 收敛到 △ 中的一个 △ｚ