多元函数及偏导数

共同点：( x, y) ( x0 , y0 )
x x0 y y0
lim f ( x, y ) A
P 0 ( x0 , y0 )
l
P ( x, y ) 与 P 0 ( x0 , y0 ) 之间的距离

பைடு நூலகம்
x x0 y y0
2
2
0
P ( x, y )
☞ 偏导数 理想气体 等压变化
p p0 gh
p p(x, y, z, t)
水流速度
v v(x, y, z, t)
x x(t), y y(t), z z(t)
定义 设函数 u u( x, y), ( x, y) 在点 ( x, y ) 有偏 导数，而函数 z f (u, v) 在对应点（u,）处有连续 偏导数，则复合函数 z f [u( x, y), ( x, y)] 在点
类似地，对y的偏导数
z y
x x0 y y0
f x0 x, y0 f x0 , y0 lim y 0 y
结论：求多元函数对某一自变量的偏导数，并不需要 用新的方法，只需要把其他自变量看作常数，应用一
元函数的求导法则即可。
d V R RT 例如 V d T p0 p d V p, T0 RT0 2 dp p
3 全微分
z f ( x, y )
z x
f x0 x, y0 f x0 , y0 x x0 lim x 0 x y y0 z x偏增量 f x x, y f x, y ~ x x 类似地，y偏增量 z f x, y y f x, y y y 如果两个自变量同时有增量x和y，
d z 称为全导数。 dx d z z d u z d d x u d x d x
精品课件！
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例如： vx vx (x, y, z, t)
vy vy (x, y, z, t)
vz vz (x, y, z, t) x x(t), y y(t), z z(t) d vx vx vx d x vx d y vx d z ax ＋ ＋ ＋ dt t x d t y d t z d t d x x x x x ＋ x＋ y＋ z dt t x y z d vy vy vy d x vy d y vy d z ay ＋ ＋ ＋ dt t x d t y d t z d t d vz vz vz d x vz d y vz d z az ＋ ＋ ＋ dt t x d t y d t z d t
R V T p p
注意：偏导数的记号是一个整体记号。
V RT 2 p p T
例1 、已知 求 解：
z e cos3 y ， 2 2 z z z z ， ， 2 ， 2 y x y x
2x
z z 2x 2e cos 3 y 3e2 x sin 3 y x y 2 z 2x 2x 2e (2 cos 3 y) 4e cos 3 y 2 x 2 z 2x 2x (3e ) 3cos3 y 9e cos3 y 2 y
RT V p
dV R d T p0
RT0 dV 2 dp p
等温变化
定义 设函数 z f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内 有定义，当 y 固定在点 y0 ，而 x 在 x0 点处有增 量 x 时，相应地函数z有增量（偏增量）
z f x0 x, y0 f x0 , y0
vz vz (x, y, z, t)
2、偏导数
☞ 二元函数的极限
z f ( x, y )
若当点 P ( x, y ) 以任意方式无限接近点 P ( x , y ) 0 0 0 时，对应的函数值 f ( x, y ) 无限接近于某一常数A
( x , y ) ( x0 , y0 )
lim
f ( x, y ) A
dz dz dy . dx dy dx
1、多元函数 几个实例： 矩形的面积 长方体的体积
S xy V xyz
p1V1 p2V2 p1V1 p2V2 理想气体 T1 T2 T1 T2 pV R（常数） 或 V RT T p 静止液体的压强 p p0 gh
液体流动时，
4 多元复合函数的导数 一元复合函数
z f [ y( x)]
x A cos(t )
多元复合函数 假设 z f (u, v), u u( x, y), ( x, y)
z f [u( x, y), ( x, y)] 是变量x，y的多元复合函数
例如， 液体压强 静止 流动时
z f x x, y y f x, y
----全增量
举例：
z xy
y
y
xy
x y
yx
xy x
0( )
z x x)( y y xy yx xy xy
z z x y x y
x
p p(x, y, z, t)
z f ( x, y )
因变量
或
z z ( x, y )
自变量
例如，
z x 3xy y
2
2
S xy
RT V p
二元函数举例 ---- 流体中的机械波（波函数）， 可以用压强的涨落表示为
cos(t kx) p(t, x)＝pa
f x0 x, y0 f x0 , y0 z lim lim 如果 存在， x 0 x x 0 x
则称此极限为函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处对x 的偏导数 f x0 x, y0 f x0 , y0 z x x0 lim x y y0 x0 x
在物理学中，常用牛顿的表示方法：例如
dx d2 x a 2 x x(t ) dt dt x ax (t ) dy dx ★一元函数 y f x 的微分 d y
★复合函数 z z[ y x ] 的导数
dx
例如，
x A cos(t )
z z , ( x, y ) 处的偏导数 存在，有 x y
z z u z x u x z z u z y u y
, x y
全导数 若函数 z f (u, v) ，而 u u ( x), ( x) ， 则复合函数 z f [u ( x), ( x)] 只是自变量x的一元 函数，这时z 对x 的导数
(x) (y )
2
2
定义：
0( )
(x) (y )
2
2
z z d z x y x y
dx
z z dz dx d y x y
对于三元函数 u f ( x, y, z )
dy
u u u du dx d y dz x y z
也可用流体质点的位移表示为
(t , x)＝A cos(t kx) p 、 ----因变量。 x、t ----自变量，
例如： (x, y, z, t) 流体， p p( x, y, z, t )
☞ 多元函数
vx vx (x, y, z, t)
vy vy (x, y, z, t)