小波变换(wavelet transform)

55.5 9.5 25.5 39.5 23.5 41.5 57.5 7.5
9.5 55.5 39.5 25.5 41.5 23.5 7.5 57.5
11.5 53.5 32.5 32.5 43.5 21.5 5.5 59.5
53.5 11.5 32.5 32.5 21.5 43.5 59.5 5.5
{ }
j∈Z
。特别的，若
{φ (t − k )}k∈Z 构成 V0 的一个标准正交基，则称 φ 为正交尺度函数，相应的，称 φ 生成 L2 ( R)
的一个正交多分辨分析 V j
{ }
j∈Z
。
4 、二维张量积多分辨分析及 M a l l a t 算法 前面介绍的是一维小波及其变换， 为了能够处理二维函数或信号， 就必须引入二维小波 和二维小波变换及相应的快速算法。二维多分辨分析有两种，一种是可分离的，一种是不可 分离的。 前一种情况简单且应用广泛。 因此本节就介绍可由一维多分辨分析的张量积空间构 造的二维多分辨分析。而不可分离的情况也比较常见，但在图像处理领域应用不多，故这里 不作介绍。 用 L2 ( R 2 ) 表示平面上平方可积函数空间，即
序列 { φ (t − k )}k∈Z 线性无关，且存在常数 A 和 B ，满足 0 < A ≤ B < +∞ ，使得对任
+∞ +∞
f (t ) =
k = −∞
∑ c φ (t − k ) 且， A f
k
2 2
≤
k = −∞
∑c
2 k
≤B f
2 2
。
则 称 φ 为 尺 度 函 数 ， 并 称 φ 生 成 L2 ( R ) 的 一 个 多 分 辨 分 析 V j
IV = {0} , clos
j j∈Z
L2 ( R )
( UV j ) = L2 ( R)
j∈Z
3） 伸缩性： f (t ) ∈ V j ⇔ f ( 2t ) ∈ V j +1 , ∀j ∈ Z 4） 平移不变性： f (t ) ∈ V0 ⇔ f (t − k ) ∈ V0 , ∀k ∈ Z 5） Riesz基存在性：存在函数 φ ∈ V0 ，使得 { φ (t − k )}k∈Z 构成 V0 的一个Riesz基。即函数 意的 f (t ) ∈ V0 ，总存在序列 {c k }k∈Z ∈ l 2 使得
wab =
写成内积形式即有Biblioteka ∞−∞∫h
a ,b
( x ) f ( x )dx
(11.4)
w
a ,b
=< f ( x ), ha ,b ( x) >
(11.5)
3 、离散小波变换( D i s c r e t eW a t e l e tT r a n s f o r m ) 多分辨分析是用小波函数的二进伸缩和平移表示函数这一思想的更加抽象复杂的表现 形式，它重点处理整个函数集，而非侧重处理作为个体的函数。MRA形成了构造正交小波 基的一个框架，常用的B-样条正交小波基和Daubechies紧支撑正交小波基都可看作是该框架 下的产物。下面就给出多分辨分析的严格定义： 定义11.1 称 L2 ( R ) 中的闭子空间序列 { Vm }m∈Z 为一个 Vk } 满 （二进） 多分辨分析， 如果 { 足下列条件： 1） 单调性： L ⊂ V j −1 ⊂ V j ⊂ V j +1 ⊂ L , ∀j ∈ Z 2） 逼近性：
∞
F ( w, t ) =
−∞
∫e
− jwx
g ( x − t ) f ( x )dx
(11.1)
其中 g ( x) 称为窗函数。一般情况下， g ( x) 为实函数且其傅氏变换的能量集中在低频处，它 还可以看作是一低通滤波的脉冲响应，为了归一化，一般取
|| g ||
Z
=
∞
−∞
∫ | g ( x)| dx = 1
其中，每一行的第一个元素是该行像素值的平均值，其余的是这行的细节系数。使用同样的 方法，再对的每一列进行计算，得到：
ARC
32.5 0 0 0 = 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 −4 4 −4 0 0 0 4 −4 4 −4 0 0.5 0.5 27 − 25 23 − 21 0 − 0.5 − 0.5 − 11 9 −7 5 0 0.5 0.5 − 5 7 − 9 11 0 − 0.5 − 0.5 21 − 23 25 − 27
59.5 5.5 21.5 ~ 43.5 A= 32.5 32.5 53.5 11.5
5.5 59.5 43.5 21.5 32.5 32.5 11.5 53.5
7.5 57.5 41.5 23.5 39.5 25.5 9.5 55.5
57.5 7.5 23.5 41.5 25.5 39.5 55.5 9.5
32.5 32.5 32.5 32.5 AR = 32.5 32.5 32.5 32.5
0 0 0 0 0 0 0 0
0.5 − 0.5 − 0.5 0.5 0.5 − 0.5 − 0.5 0.5
0.5 31 − 29 27 − 25 − 0.5 − 23 21 − 19 17 − 0.5 − 15 13 − 11 9 0.5 7 −5 3 −1 − 0.5 −1 3 −5 7 − 0.5 9 − 11 13 − 15 − 0.5 17 − 19 21 − 23 0.5 − 25 27 − 29 31
2
(11.2)
2 、连续小波变换( C o n t i n u e sW a v e l e tT r a n s f o r m ) 若基本小波函数为 h( x) 。伸缩和平移因子分别为 a 和 b，则小波变换基底定义为
ha ,b ( x ) = a
2
1/ 2
h(
x −b ) a
(11.3)
函数 f ( x) ∈ L ( R ) 的连续小波变换定义为
f ( x, y ) ∈ L2 ( R 2 ) ⇔ ∫
+∞ +∞
−∞ − ∞
∫
f ( x, y ) dxdy < ∞
2
(11. 6)
平面上有限区域中的一幅图像的能量是有限的。如设 f ( x, y ) 是一幅图像，它的定义域 围成的区域的面积为 D ，设 f ( x, y ) 最大的亮度值为M，即 f ( x, y ) ≤ M ，则
{ } { }
∫ ∫
−∞ −∞
f ( x , y ) dxdy ≤ M 2 D < +∞
2
{2 φ
k
{
1
(2 k x − j )φ 2 (2 k y − l ) 。
~ h (h ) ↓2
}
}
Vk = Vk1 ⊗ Vk2
{
}
则对应于二维Mallat算法的滤波器组表示如图11.1所示。
~ h (h ) c k +1; n , m
↓2 ↓2 ↓2 ↓2
c k ;n , m
1 dk ;n , m
~) g (g ~) g (g
~ h (h ) ↓2
d k2; n , m d k3; n , m
~) g (g
a)
二维小波分解（括号中表示双正交滤波器）
c k ;n ,m d
1 k ;n ,m
↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2
h ⊕
g
↑ 2
h ⊕ c k + 1;n , m
d k2; n , m d
3 k ;n ,m
h ⊕
g
↑ 2
g
b)
二维小波重构
图11.1 二维二通道Mallat算法的滤波器组表示
1 1 . 3 补充内容
11.3.1 二维哈尔小波变换 一幅图像可看成是由许多像素组成的一个大矩阵， 在进行图像压缩时， 为降低对存储器 的要求，人们通常把它分成许多小块，例如以 8×8 个像素为一块，并用矩阵表示，然后分 别对每一个图像块进行处理。 在小波变换中， 由于小波变换中使用的基函数的长度是可变的， 一般无须把输入图像进行分块，以避免产生“块效应” 。但为便于理解小波变换的奥妙，还 是从一个小的图像块入手，并且继续使用哈尔小波对图像进行变换。 1）举例 假设有一幅灰度图像，其中的一个图像块用矩阵表示为：
7 50 42 31 39 18 10 63
57 16 24 33 25 48 56 1
使用灰度表示的图像如图 11.2 所示：
图 11.2 图像矩阵 A 的灰度图
一个图像块是一个二维的数据阵列， 可以先对阵列的每一行进行一维小波变换， 然后对 再行变换之后的阵列的每一列进行一维小波变换， 最后对经过变换之后的图像数据阵列进行 编码。 (1) 求均值与差值 利用一维的非规范化哈尔小波变换对图像矩阵的每一行进行变换， 即求均值与差值。 在 图像块矩阵 A 中，第一行的像素值为 R0: [64 2 3 61 60 6 7 57] 步骤 1：在 R0 行上取每一对像素的平均值，并将结果放到新一行 N0 的前 4 个位置， 其余的 4 个数是 R0 行每一对像素的差值的一半（细节系数） ： R0: [64 2 3 61 60 6 7 57] N0: [33 32 33 32 31 -29 27 -25] 步骤 2：对行 N0 的前 4 个数使用与第一步相同的方法，得到两个平均值和两个细节系 数，并放在新一行 N1 的前 4 个位置，其余的 4 个细节系数直接从行 N0 复制到 N1 的相应 位置上： N1: [32.5 32.5 0.5 0.5 31 -29 27 -25] 步骤 3：用与步骤 1 和 2 相同的方法，对剩余的一对平均值求平均值和差值， N2: [32.5 0 0.5 0.5 31 -29 27 -25] 3 0 0 1 V : V W W W2 其中，第一个元素是该行像素值的平均值，其余的是这行的细节系数。 (2) 计算图像矩阵 使用(1)中求均值和差值的方法，对矩阵的每一行进行计算，得到行变换后的矩阵：