小波变换(wavelet transform)

wab =
写成内积形式即有
∞
−∞
∫h
a ,b
( x ) f ( x )dx
(11.4)
w
a ,b
=< f ( x ), ha ,b ( x) >
(11.5)
3 、离散小波变换( D i s c r e t eW a t e l e tT r a n s f o r m ) 多分辨分析是用小波函数的二进伸缩和平移表示函数这一思想的更加抽象复杂的表现 形式，它重点处理整个函数集，而非侧重处理作为个体的函数。MRA形成了构造正交小波 基的一个框架，常用的B-样条正交小波基和Daubechies紧支撑正交小波基都可看作是该框架 下的产物。下面就给出多分辨分析的严格定义： 定义11.1 称 L2 ( R ) 中的闭子空间序列 { Vm }m∈Z 为一个 Vk } 满 （二进） 多分辨分析， 如果 { 足下列条件： 1） 单调性： L ⊂ V j −1 ⊂ V j ⊂ V j +1 ⊂ L , ∀j ∈ Z 2） 逼近性：
序列 { φ (t − k )}k∈Z 线性无关，且存在常数 A 和 B ，满足 0 < A ≤ B < +∞ ，使得对任
+∞ +∞
f (t ) =
k = −∞
∑ c φ (t − k ) 且， A f
k
2 2
≤
k = −∞
∑c
2 k
≤B f
2 2
。
则 称 φ 为 尺 度 函 数 ， 并 称 φ 生 成 L2 ( R ) 的 一 个 多 分 辨 分 析 V j
+∞ +∞
现在，设 V k1 和 Vk2 是由尺度函数 φ 1 ( x) 和 φ 2 ( y ) 生成的两个多分辨分析。则可以得 到 Vk1 和 Vk2 的张量积空间， 由于 Vk1 的基底为 2 k / 2 φ 1 ( 2 k x − j ) ， Vk2 的基底为 2 k / 2 φ 2 ( 2 k y − l ) ，所以 Vk 的基底为
64 9 17 40 A= 32 41 49 8
2 55 47 26 34 23 15 58
3 54 46 27 35 22 14 59
61 12 20 37 29 44 52 5
60 13 21 36 28 45 53 4
6 51 43 30 38 19 11 62
IV = {0} , clos
j j∈Z
L2 ( R )
( UV j ) = L2 ( R)
j∈Z
3） 伸缩性： f (t ) ∈ V j ⇔ f ( 2t ) ∈ V j +1 , ∀j ∈ Z 4） 平移不变性： f (t ) ∈ V0 ⇔ f (t − k ) ∈ V0 , ∀k ∈ Z 5） Riesz基存在性：存在函数 φ ∈ V0 ，使得 { φ (t − k )}k∈Z 构成 V0 的一个Riesz基。即函数 意的 f (t ) ∈ V0 ，总存在序列 {c k }k∈Z ∈ l 2 使得
55.5 9.5 25.5 39.5 23.5 41.5 57.5 7.5
9.5 55.5 39.5 25.5 41.5 23.5 7.5 57.5
11.5 53.5 32.5 32.5 43.5 21.5 5.5 59.5
53.5 11.5 32.5 32.5 21.5 43.5 59.5 5.5
1 1 小波变换(wavelet transform)
11.1 本章知识结构
加窗傅立叶变换 连 续小波 变 连续小波变换 小波变换 一维离散小波变换 离散小波变换 二维离散小波变换 小波在图像处理中的应用
1 1 . 2知识要点
小波变换继承和发展了 Gabor 的窗口傅里叶变换局部化思想， 但它的窗口随频率增高而 缩小，符合了高频信号的分辨力较高的要求，为此得到了迅速的发展，小波分析于八十年代 末取得突破性成就---Daubechies 提出结构具有紧支集的光滑小波和 Mallat 的多分辨率分析 及快速小波变换，其发展历史不过十余年。但在这十多年中，有关小波的研究不断取得重大 突破， 小波分析已经成为目前发展最快和最引人注目的学科之一， 几乎涉及或者应用到信息 领域的所有学科。 1 、加窗傅里叶变换 加窗傅里叶变换（也称短时傅氏变换）就是其中的一种，它把非平稳信号看成是一系列 短时平稳信号的叠加，而短时性则是通过时域上的加窗来获得， f ( x) ∈ L2 ( R ) 的加窗傅氏 变换定义为
{ } { }
∫ ∫
−∞ −∞
f ( x , y ) dxdy ≤ M 2 D < +∞
2
{2 φ
k
{
1
(2 k x − j )φ 2 (2 k y − l ) 。
~ h (h ) ↓2
}
}
Vk = Vk1 ⊗ Vk2
{
}
则对应于二维Mallat算法的滤波器组表示如图11.1所示。
~ h (h ) c k +1; n , m
↓2 ↓2 ↓2 ↓2
c k ;n , m
1 dk ;n , m
~) g (g ~) g (g
~ h (h ) ↓2
d k2; n , m d k3; n , m
~) g (g
a)
二维小波分解（括号中表示双正交滤波器）
c k ;n ,m d
1 k ;n ,m
↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2
h ⊕
g
↑ 2
2
(11.2)
2 、连续小波变换( C o n t i n u e sW a v e l e tT r a n s f o r m ) 若基本小波函数为 h( x) 。伸缩和平移因子分别为 a 和 b，则小波变换基底定义为
ha ,b ( x ) = a
2
1/ 2
h(
x −b ) a
(11.3)
函数 f ( x) ∈ L ( R ) 的连续小波变换定义为
32.5 32.5 32.5 32.5 AR = 32.5 32.5 32.5 32.5
0 0 0 0 0 0 0 0
0.5 − 0.5 − 0.5 0.5 0.5 − 0.5 − 0.5 0.5
0.5 31 − 29 27 − 25 − 0.5 − 23 21 − 19 17 − 0.5 − 15 13 − 11 9 0.5 7 −5 3 −1 − 0.5 −1 3 −5 7 − 0.5 9 − 11 13 − 15 − 0.5 17 − 19 21 − 23 0.5 − 25 27 − 29 31
7 50 42 31 39 18 10 63
57 16 24 33 25 48 56 1
使用灰度表示的图像如图 11.2 所示：
图 11.2 图像矩阵 A 的灰度图
一个图像块是一个二维的数据阵列， 可以先对阵列的每一行进行一维小波变换， 然后对 再行变换之后的阵列的每一列进行一维小波变换， 最后对经过变换之后的图像数据阵列进行 编码。 (1) 求均值与差值 利用一维的非规范化哈尔小波变换对图像矩阵的每一行进行变换， 即求均值与差值。 在 图像块矩阵 A 中，第一行的像素值为 R0: [64 2 3 61 60 6 7 57] 步骤 1：在 R0 行上取每一对像素的平均值，并将结果放到新一行 N0 的前 4 个位置， 其余的 4 个数是 R0 行每一对像素的差值的一半（细节系数） ： R0: [64 2 3 61 60 6 7 57] N0: [33 32 33 32 31 -29 27 -25] 步骤 2：对行 N0 的前 4 个数使用与第一步相同的方法，得到两个平均值和两个细节系 数，并放在新一行 N1 的前 4 个位置，其余的 4 个细节系数直接从行 N0 复制到 N1 的相应 位置上： N1: [32.5 32.5 0.5 0.5 31 -29 27 -25] 步骤 3：用与步骤 1 和 2 相同的方法，对剩余的一对平均值求平均值和差值， N2: [32.5 0 0.5 0.5 31 -29 27 -25] 3 0 0 1 V : V W W W2 其中，第一个元素是该行像素值的平均值，其余的是这行的细节系数。 (2) 计算图像矩阵 使用(1)中求均值和差值的方法，对矩阵的每一行进行计算，得到行变换后的矩阵：
h ⊕ c k + 1;n , m
d k2; n , m d
3 k ;n ,m
h ⊕
g
↑ 2
g
b)
二维小波重构
图11.1 二维二通道Mallat算法的滤波器组表示
1 1 . 3 补充内容
11.3.1 二维哈尔小波变换 一幅图像可看成是由许多像素组成的一个大矩阵， 在进行图像压缩时， 为降低对存储器 的要求，人们通常把它分成许多小块，例如以 8×8 个像素为一块，并用矩阵表示，然后分 别对每一个图像块进行处理。 在小波变换中， 由于小波变换中使用的基函数的长度是可变的， 一般无须把输入图像进行分块，以避免产生“块效应” 。但为便于理解小波变换的奥妙，还 是从一个小的图像块入手，并且继续使用哈尔小波对图像进行变换。 1）举例 假设有一幅灰度图像，其中的一个图像块用矩阵表示为：
其中，左上角的元素表示整个图像块的像素值的平均值，其余是该图像块的细节系数。 如果从矩阵中去掉表示图像的某些细节系数，事实证明重构的图像质量仍然可以接受。 具体做法是设置一个阈值，例如的细节系数δ≤5 就把它当作“0”看待，这样经过变换之 后的上面的矩阵就变成
Aδ ＝
与 ARC 相比， Aδ 中“0”的数目增加了 18 个，也就是去掉了 18 个细节系数。这样做的好 处是可提高小波图像编码的效率。对矩阵进行逆变换，得到了重构的近似矩阵
59.5 5.5 21.5 ~ 43.5 A= 32.5 32.5 53.5 11.5
5.5 59.5 43.5 21.5 32.5 32.5 11.5 53.5
7.5 57.5 41.5 23.5 39.5 25.5 9.5 55.5
57.5 7.5 23.5 41.5 25.5 39.5 55.5 9.5
{ }
j∈Z
。特别的，若
{φ (t − k )}k∈Z 构成 V0 的一个标准正交基，则称 φ 为正交尺度函数，相应的，称 φ 生成 L2 ( R)
的一个正交多分辨分析 V j
{ }
j∈Z
。
4 、二维张量积多分辨分析及 M a l l a t 算法 前面介绍的是一维小波及其变换， 为了能够处理二维函数或信号， 就必须引入二维小波 和二维小波变换及相应的快速算法。二维多分辨分析有两种，一种是可分离的，一种是不可 分离的。 前一种情况简单且应用广泛。 因此本节就介绍可由一维多分辨分析的张量积空间构 造的二维多分辨分析。而不可分离的情况也比较常见，但在图像处理领域应用不多，故这里 不作介绍。 用 L2 ( R 2 ) 表示平面上平方可积函数空间，即
∞
F ( w, t ) =
−∞
∫e
− jwx
g ( x − t ) f ( x )dx
(11.1)
Baidu Nhomakorabea
其中 g ( x) 称为窗函数。一般情况下， g ( x) 为实函数且其傅氏变换的能量集中在低频处，它 还可以看作是一低通滤波的脉冲响应，为了归一化，一般取
|| g ||
Z
=
∞
−∞
∫ | g ( x)| dx = 1
其中，每一行的第一个元素是该行像素值的平均值，其余的是这行的细节系数。使用同样的 方法，再对的每一列进行计算，得到：
ARC
32.5 0 0 0 = 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 −4 4 −4 0 0 0 4 −4 4 −4 0 0.5 0.5 27 − 25 23 − 21 0 − 0.5 − 0.5 − 11 9 −7 5 0 0.5 0.5 − 5 7 − 9 11 0 − 0.5 − 0.5 21 − 23 25 − 27
f ( x, y ) ∈ L2 ( R 2 ) ⇔ ∫
+∞ +∞
−∞ − ∞
∫
f ( x, y ) dxdy < ∞
2
(11. 6)
平面上有限区域中的一幅图像的能量是有限的。如设 f ( x, y ) 是一幅图像，它的定义域 围成的区域的面积为 D ，设 f ( x, y ) 最大的亮度值为M，即 f ( x, y ) ≤ M ，则