9.1特殊函数的常微分方程

q2 0, 0时，q1，2 i,令 m2，
() Acos B sin Acos m B sin m(满足周期条件)
0时，() C1 C2,当且仅当() C2才满足周期条件
() Acos m B sin m， m2，m 0,1, 2,...
对于第(10)式：sin d (sin d) [l(l 1) sin2 ] 0
d
d
两边同除以sin2 得： 1 sin
d
d
(sin
d) [l(l
d
1)
m2
sin2
]
0(12)
下面作变数代换：令 arccos x, x cos
d d dx sin d ,
d dx d
dx
d (sin d) d ( sin2 d) dx d (sin2 d)(sin )
后面关于勒让德方程和自然边界条件本征值问题。]
d (r2 dR ) l(l 1)R 0 dr dr
(4)
1
sin
(sin
Y 1
) sin2
2Y
2
l(l
1)Y
0
(5)
d (r2 dR ) l(l 1)R 0 dr dr
(4)
1
(sin Y )
1
2Y l(l 1)Y 0 (5)
dr 2
dr
为欧拉型方程。
用代换法求解：设: R(r) cr l
代入方程得：cr 2l(l 1)rl2 2rlcr l1 crl 0
可得： l(l 1)
其中：
l2 l 0
1 1 4
l1
2
l
1 1 4
l1
2
(l 1)
方程的解为： 讨论：
R(r)
Cr l
D
1 r l1
①对于球
内部问题
得到球坐标系下的方程。
u 0在球坐标系下的形式为：
1 r2
r
(r2
u ) r
1
r2 sin
(sin
u )
1
r2 sin2
2u
2
0
(1)
可见u是r, ,的函数，先把表示距离的变数r跟表示方向的变数 , 分离，设（u r, ,） R(r)Y ( ,), 代入上式
Y d (r2 dR ) R (sin Y ) R 2Y 0 (2)
r2 dr dr r2 sin
r2 sin2 2
尽量将含r的项与含
,的项分离用
r2 YR
遍乘上式并移项,得
1 R
d dr
(r 2
dR ) dr
Y
1
sin
(sin
Y
) Y
1
sin2
2Y
2
l(l 1)
左边只是r的函数，与 ,无关，右边只是 ,的函数，与r无关，
要使两边相等，除非两边等于同一个常数，记为l(l 1).[为了照顾
r 0时，R(r) 有界，D 0
R(r) Cl l （l为正值）
②对于球
外部问题
r 时，R(r) 有界，C 0
R(r)
D
1 r l 1
（l为正值）
d (r2 dR ) l(l 1)R 0 dr dr
(4)
R(r) Crl Dr (l1) (7)
1
(sin Y )
1
2Y l(l 1)Y 0 (5)
sin
sin2 2
对于(5)式，Q Y( ,)与
半径r无关，称为球面 函数(简称球函数). (5)式称为球函数方程。
对(4)式：r 2
d2R dr 2
2r
dR dr
l(l
1)R
0(6)
~
欧拉型常微分方程
作代换：令r et ,t ln r, dt 1 dr
r
dR dR dt 1 dR dr dt dr r dt
dt dt2 dt
dt 2 dt
q2 q l(l 1) 0 q1 l, q2 (l 1)
R(t) Celt De(l1)t R(r) Crl Dr (l1) (7)
1 d (r2 dR)
R dr dr
1
Y sin
(sin
Y
)
Y
s
1 in
2
2Y
2
方程转化为： r 2 d 2 R 2r dR R 0
1
d 2
d 2
(9)
左边是的函数，右边是的函数,两边要相等除非等于同一个常数，记为.
sin
d (sin d
d 2
d 2
d) [l(l
d 0
1) sin2 ] 0(10)
'' 0 ( 2 ) ()
构成本征值问题 （11）
自然周期条件
'' 0，( 2 ) (（) 11）
d
d dx
dx d dx
dx
方程12变形为：d [(1 x2 ) d] [l(l 1) m2 ] 0
sin
sin2 2
对于(5)式进一步分离变数：Y ( ,) ( )()代入球函数方程
得：
d (sin d)
Hale Waihona Puke Baidu
d 2 l(l 1) 0
(8)
sin d
d sin2 d 2
尽量分离含 ,的项， 用sin2 乘以(8)式两边，并移项得
得：sin
d
d
(sin
d) l(l 1) sin2 d
d2R dr 2
d [1 dr r
dR ] dt
1 r2
dR dt
1 r
d [ dR ] dr dt
1 r2
dR dt
1 r
d [dR ] dt dt dt dr
1 r2
dR dt
1 r2
d 2R dt 2
dR d 2R dR
d 2R dR
2 l(l 1)R 0 l(l 1)R 0
y //(x) P(x)y/(x) q(x)y 0
一、球坐标系下拉普拉斯方程
参数为 ：
(r, , )
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
r2 x2 y2 z2
arctg( x2 y2 z)
arctg y
x
x
z
(x,y,z)
r (r,,)
y
代如拉普拉斯方程: uxx uyy uzz 0
§9、1 特殊函数的常微分方程
球坐标下拉普拉斯方程的分离变量 一般情况 欧拉方程，球函数方程，连带勒让德方程 轴对称情况 勒让德方程
柱坐标下拉普拉斯方程的分离变量 一般情况 亥姆霍兹方程，贝塞尔方程 轴对称情况
• 前面应用分离变量法求解数理问题时，需要求解二阶常 微分方程的本征值问题。再进一步的讨论中，如用球坐 标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输运方程 进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、 贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程．用其他坐 标系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出 现各种各样的特殊函数方程．它们大多是二阶线性变系 数常微分方程．这向我们提出求解带初始条件的线性二 阶常微分方程定解问题.不失一般性，我们讨论线性二 阶常微分方程