2014届江西省重点中学盟校(十校)高三第一次联考理科数学试题(含答案解析)
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n
a x
（ a 、 b 为常数） ，在 x = -1 时取得极值．
1 an -1 + 1
（nÎ N 且n ³ 2 ） ，a1 =
* *
1 ，数列 {an } 的前 n 项 2
S n + an -1
（ n Î N , e 是自然对数的底） ．
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江西省重点中学盟校 2014 届高三第一次联考 高三数学（理）试卷
(
)
3x + lg(3 - x) 的定义域是 x-2
B． (2,3) C． [2,3) D． (2, +¥ )
3．已知 m, n 是两条不同直线, a , b , g 是三个不同平面,则下列命题正确的是 A．若 m // a , n // a ,则 m // n C．若 m // a , m // b ,则 a // b B．若 a ^ g , b ^ g ,则 a ∥ b D．若 m ^ a , n ^ a ,则 m ∥ n
第 5 页 共 9 页
故 P (x = 2) = 1 - P (x = 0) - P (x = 1) - P (x = 3) = 分 得到 ξ 的分布列如下：
13 30 ，
………………………………9
\ Ex = 1´
2分
3 13 2 133 + 2 ´ + 3´ = 20 30 5 60
……………………………………………1 z P
x2 y2 p - 2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左焦点 F (-c, 0) (c > 0) ，作倾斜角为 的直线 2 a b 6 uuu r uuu r uuu r 1 uuu r uuu r FE 交该双曲线右支于点 P ，若 OE = (OF + OP) ，且 OE × EF = 0 ，则双曲线的离 2
心率为__________． 三．选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共 5 分． 15（1） ． （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 C1 : r ( 2 cos q + sin q ) = 1 与曲 线 C 2 : r = a, ( a > 0) 的一个交点在极轴上，则 a 的值为__________． 则实数 m 15 （2） ． （不等式选做题） 若关于 x 的不等式 | x - 1| + | x - m |< 3 的解集不为空集， 的取值范围是__________． 四．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． （本小题满分 12 分） 设 DABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，且有 （1）求 cos A 的值；
否 否 开始 输入 x
y=
x£5
是
1 x
x£2
是
y = 2x - 4
输出 y
y = x2Fra Baidu bibliotek
第 13 题图
13．春节期间，某单位安排甲、乙、丙三人于正月初一至初五值班，每人至少值班一天，且 每人均不能连续值班两天， 其中初二不安排甲值班， 则共有__________种不同的值班安 排方案． 14．过双曲线
一．选择题 题号 答案 二．填空题 11．160 三．选做题 15（1） ． 12．3 13．28 14． 3 + 1 1 A 2 B 3 D 4 D 5 B 6 C 7 C 8 B 9 B 10 D
参考答案
2 2
15（2） ．( - 2, 4 )
四．解答题 16 解： （1）∵
tan A + tan C sin B = 3 cos C
M
A
G D B y
C
x
B( 2 , 2 , 0 ) C ( - 2 , 2 , 0 ) P( 0 , 0 , 6 ) A( 0 , - 4 , 0 ) ∴ M(0, -2,3) 设直线 BM 与平面 PBC 所成角为 q r 设平面 PBC 的法向量为 n uuu r uuu r r CB = ( 4 , 0 , 0 ) PB = ( 2 , 2 , - 6 ) ∴ n = ( 0 , 3 ,1) uuuu r BM = ( - 2 , - 4 , 3 ) ∴ r uuuu r r uuuu r | n × BM | 9 r = sin q =| cos < n, BM >|= r uuuu ……………12 分 | n | × | BM | 290 r r r r ì S n - S n -1 n ³ 2 n(n + 1) 19 解： （1）∵ a = l b ∴ a / / b ∴ S n = an = í n =1 2 î S1
tan A + tan C sin B = ． 3 cos C
（2）若 b = 2 ， c = 3 ， D 为 BC 上一点．且 CD = 2 DB ,求 AD 的长． 17． （本小题满分 12 分） 江西某品牌豆腐食品是经过 A 、 B 、 C 三道工序加工而成的， A 、 B 、 C 工序的产品 合格率分别为
4．为了调查你们学校高中学生身高分布情况，假设你的同桌抽取的样本容量与你抽取的样 本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是 A．你与你的同桌的样本频率分布直方图一定相同 B．你与你的同桌的样本平均数一定相同 C．你与你的同桌的样本的标准差一定相同 D．你与你的同桌被抽到的可能性一定相同 5．下列函数中，与函数 f ( x) = 2 A． y = e x C． y = x 2
uuu r
uuu r
3 2 4 、 、 ．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都 4 3 5
为合格时产品为一等品；恰有两次合格为二等品；其它的为废品，不进入市场． （1）生产一袋豆腐食品，求产品为废品的概率； （2）生产一袋豆腐食品，设 X 为三道加工工序中产品合格的工序数，求 X 的分布列和 数学期望．
1
D B
第 10 题图
C
y
1
A
O
3
x
O
3
x
A y
1
B y
1
O
3
x
O
3
x
C D 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 11．已知 a
= ò sin xdx ，则 ( x +
p 3 0
1 6 ) 的展开式中的常数项是__________． ax
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12．下图给出了一个程序框图，其作用是输入 x 的值，输出相应的 y 值．若要使输入的 x 值 与输出的 y 值相等，则这样的 x 值有__________个．
18 解： （1）取 BC 中点 D ，连接 AD 、 PD ， ∵ PG ^ 平面 ABC ，∴ PG ^ BC 等腰 DABC 中， G 为重心，∴ AG ^ BC ∴ BC ^ 平面 PAG ……………6 分 ∴平面 PAG ^ 平面 BCM （2） DABC 中， AD = 6 ∴ GD = 2 ∵ BC ^ 平面 PAG ∴ CD ^ PD ∴ PD = 2 10 ∴ GP = 6 过 G 作 BC 的平行线为 x 轴， AG 为 y 轴， GP 为 z 轴 建立空间直角坐标系
G B
第 18 题图
C
19． （本题满分 12 分）
已知数列 {an } 前 n 项和为 Sn ，向量 a = ( 2 , n ) 与 b = ( n +1 , S n ) ，且 a = l b ， l Î R （1）求数列 {an } 的通项公式； （2）求 {
r
r
r
r
1 3 } 的前 n 项和 Tn ，不等式 Tn < log a (1 - a ) 对任意的正整数 n 恒成立， 4 an an + 2
求 a 的取值范围． 20． （本题满分 13 分）
2 2 动圆 N 过点 F ( 3 , 0 ) 且与圆 M 相切， 记动圆 N 圆 设定圆 M : ( x + 3) + y = 16 ，
心 N 的轨迹为 C . （1）求轨迹 C 的方程； （2）已知 A( - 2 , 0 ) ，过定点 B ( 1 , 0 ) 的动直线 l 交轨迹 C 于 P 、 Q 两点， DAPQ 的 外心为 N ．若直线 l 的斜率为 k1 ，直线 ON 的斜率为 k2 ，求证： k1 × k2 为定值． 21． （本题满分 14 分） 已知函数 f ( x) = ln ax + bx + （1）求实数 b 的取值范围； （2）当 a = -1 时，关于 x 的方程 f ( x) = 2 x + m 有两个不相等的实数根，求实数 m 的 取值范围； （3）数列 {an } 满足 an = 1 和为 Sn ，求证： 2 × an ³ e
7p 成立; 24 r r r r r r r r r ②对于任意的三个平面向量 a 、 b 、 c ，总有 (a × b) × c = a × (b × c) 成立;
③相关系数 r ( | r |£ 1 )， | r | 值越大，变量之间的线性相关程度越高. A．0 B．1 C．2 D．3
D1 A1 B1 C1
江西省重点中学盟校 2014 届高三第一次联考 高三数学（理）试卷
命题人：景德镇一中 审题人：景德镇一中 江 宁 曹永泉 赣州三中 明小青 余江一中 官增文
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． ，则 z 在复平面内对应的点位于 1．已知复数 z 满足 1 + 3i z = 2 3i （ i 为虚数单位） A．第一象限 2．函数 f ( x) = A． (3, +¥) B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
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18． （本题满分 12 分） 如图，三棱锥 P - ABC 中， AB = AC = 2 10 ， P M
BC = 4 ， PC = 2 11 ，点 P 在平面 ABC 内的射影
恰为 DABC 的重心 G ，M 为侧棱 AP 上一动点． （1）求证：平面 PAG ^ 平面 BCM ； （2）当 M 为 AP 的中点时，求直线 BM 与平面 PBC 所成角的正弦值． A
10．如图，已知正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 的棱长是 1，点 E 是 对角线 AC1 上一动点，记 AE = x （ 0 < x <
3 ）,过点 E
平行于平面 A1 BD 的截面将正方体分成两部分，其中点 A
E
所在的部分的体积为 V ( x) ，则函数 y = V ( x) 的图像大致为 y
1 1 1 1 + + 7．设 f ( x) = ，则 f ( x) + f ( )= lg x lg x lg x 1+ 2 1+ 4 1+ 8 x
A． 1 B．2 C．3 D．4
M R
第 8 题图
8．如图，函数 f ( x) = A sin(w x + j ) （其中 A > 0 ， w > 0 ， | j |£
x -1
-
1 的奇偶性、单调性均相同的是 2 x +1 x 2 + 1)
B． y = ln( x + D． y = tan x
6．已知直线 x + y = 1 与圆 x 2 + y 2 = a 交于 A 、 B 两点， O 是原点，C 是圆上一点，若 y
OA + OB = OC ，则 a 的值为
A． 1 B． 2 C． 2 D． 4 P O Q x
………6 分 （2）由题意可得 x = 0,1, 2,3
……………………
3 2 4 1 P(x = 0) = (1 - ) ´ (1 - ) ´ (1 - ) = 4 3 5 60 3 1 1 1 2 1 1 1 4 3 P(x = 1) = ´ ´ + ´ ´ + ´ ´ = 4 3 5 4 3 5 4 3 5 20 3 2 4 2 P(x = 3) = ´ ´ = 4 3 5 5
∴
sin A sin C 3sin B + = cos A cos C cos C
∴ 3sin B cos A = sin A cos C + cos A sin C = sin( A + C ) = sin B ∵
sin B ¹ 0
∴
3cos A = 1
∴
cos A =
1 3
（2）∵
…………………………….6 分
p ） 2
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与坐标轴的三个交点 P 、 Q 、 R 满足 P ( 2 , 0 ) ， ÐPQR = 为 QR 的中点， PM = 2 5 ， 则 A 的值为 A．
p ，M 4
8 3 3
B．
16 3 3
C．8
D．16
9．给出下列命题，其中真命题的个数是 ①存在 x0 Î R ，使得 sin x0 + cos x0 = 2sin
b=2 ， c=3
∴
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A = 9
∴
DC = 2
cos C =
1 3
∴
AD 2 = 22 + 2 2 - 2 ´ 2 ´ 2 cos C =
……………………12 分
16 3
∴
AD =
4 3 3
17 解： （1）产品为废品的概率为：
1 1 1 3 1 1 1 2 1 1 1 4 1 P= ´ ´ + ´ ´ + ´ ´ + ´ ´ = 4 3 5 4 3 5 4 3 5 4 3 5 6
a x
（ a 、 b 为常数） ，在 x = -1 时取得极值．
1 an -1 + 1
（nÎ N 且n ³ 2 ） ，a1 =
* *
1 ，数列 {an } 的前 n 项 2
S n + an -1
（ n Î N , e 是自然对数的底） ．
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(
)
3x + lg(3 - x) 的定义域是 x-2
B． (2,3) C． [2,3) D． (2, +¥ )
3．已知 m, n 是两条不同直线, a , b , g 是三个不同平面,则下列命题正确的是 A．若 m // a , n // a ,则 m // n C．若 m // a , m // b ,则 a // b B．若 a ^ g , b ^ g ,则 a ∥ b D．若 m ^ a , n ^ a ,则 m ∥ n
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故 P (x = 2) = 1 - P (x = 0) - P (x = 1) - P (x = 3) = 分 得到 ξ 的分布列如下：
13 30 ，
………………………………9
\ Ex = 1´
2分
3 13 2 133 + 2 ´ + 3´ = 20 30 5 60
……………………………………………1 z P
x2 y2 p - 2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左焦点 F (-c, 0) (c > 0) ，作倾斜角为 的直线 2 a b 6 uuu r uuu r uuu r 1 uuu r uuu r FE 交该双曲线右支于点 P ，若 OE = (OF + OP) ，且 OE × EF = 0 ，则双曲线的离 2
心率为__________． 三．选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共 5 分． 15（1） ． （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 C1 : r ( 2 cos q + sin q ) = 1 与曲 线 C 2 : r = a, ( a > 0) 的一个交点在极轴上，则 a 的值为__________． 则实数 m 15 （2） ． （不等式选做题） 若关于 x 的不等式 | x - 1| + | x - m |< 3 的解集不为空集， 的取值范围是__________． 四．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． （本小题满分 12 分） 设 DABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，且有 （1）求 cos A 的值；
否 否 开始 输入 x
y=
x£5
是
1 x
x£2
是
y = 2x - 4
输出 y
y = x2Fra Baidu bibliotek
第 13 题图
13．春节期间，某单位安排甲、乙、丙三人于正月初一至初五值班，每人至少值班一天，且 每人均不能连续值班两天， 其中初二不安排甲值班， 则共有__________种不同的值班安 排方案． 14．过双曲线
一．选择题 题号 答案 二．填空题 11．160 三．选做题 15（1） ． 12．3 13．28 14． 3 + 1 1 A 2 B 3 D 4 D 5 B 6 C 7 C 8 B 9 B 10 D
参考答案
2 2
15（2） ．( - 2, 4 )
四．解答题 16 解： （1）∵
tan A + tan C sin B = 3 cos C
M
A
G D B y
C
x
B( 2 , 2 , 0 ) C ( - 2 , 2 , 0 ) P( 0 , 0 , 6 ) A( 0 , - 4 , 0 ) ∴ M(0, -2,3) 设直线 BM 与平面 PBC 所成角为 q r 设平面 PBC 的法向量为 n uuu r uuu r r CB = ( 4 , 0 , 0 ) PB = ( 2 , 2 , - 6 ) ∴ n = ( 0 , 3 ,1) uuuu r BM = ( - 2 , - 4 , 3 ) ∴ r uuuu r r uuuu r | n × BM | 9 r = sin q =| cos < n, BM >|= r uuuu ……………12 分 | n | × | BM | 290 r r r r ì S n - S n -1 n ³ 2 n(n + 1) 19 解： （1）∵ a = l b ∴ a / / b ∴ S n = an = í n =1 2 î S1
tan A + tan C sin B = ． 3 cos C
（2）若 b = 2 ， c = 3 ， D 为 BC 上一点．且 CD = 2 DB ,求 AD 的长． 17． （本小题满分 12 分） 江西某品牌豆腐食品是经过 A 、 B 、 C 三道工序加工而成的， A 、 B 、 C 工序的产品 合格率分别为
4．为了调查你们学校高中学生身高分布情况，假设你的同桌抽取的样本容量与你抽取的样 本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是 A．你与你的同桌的样本频率分布直方图一定相同 B．你与你的同桌的样本平均数一定相同 C．你与你的同桌的样本的标准差一定相同 D．你与你的同桌被抽到的可能性一定相同 5．下列函数中，与函数 f ( x) = 2 A． y = e x C． y = x 2
uuu r
uuu r
3 2 4 、 、 ．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都 4 3 5
为合格时产品为一等品；恰有两次合格为二等品；其它的为废品，不进入市场． （1）生产一袋豆腐食品，求产品为废品的概率； （2）生产一袋豆腐食品，设 X 为三道加工工序中产品合格的工序数，求 X 的分布列和 数学期望．
1
D B
第 10 题图
C
y
1
A
O
3
x
O
3
x
A y
1
B y
1
O
3
x
O
3
x
C D 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 11．已知 a
= ò sin xdx ，则 ( x +
p 3 0
1 6 ) 的展开式中的常数项是__________． ax
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12．下图给出了一个程序框图，其作用是输入 x 的值，输出相应的 y 值．若要使输入的 x 值 与输出的 y 值相等，则这样的 x 值有__________个．
18 解： （1）取 BC 中点 D ，连接 AD 、 PD ， ∵ PG ^ 平面 ABC ，∴ PG ^ BC 等腰 DABC 中， G 为重心，∴ AG ^ BC ∴ BC ^ 平面 PAG ……………6 分 ∴平面 PAG ^ 平面 BCM （2） DABC 中， AD = 6 ∴ GD = 2 ∵ BC ^ 平面 PAG ∴ CD ^ PD ∴ PD = 2 10 ∴ GP = 6 过 G 作 BC 的平行线为 x 轴， AG 为 y 轴， GP 为 z 轴 建立空间直角坐标系
G B
第 18 题图
C
19． （本题满分 12 分）
已知数列 {an } 前 n 项和为 Sn ，向量 a = ( 2 , n ) 与 b = ( n +1 , S n ) ，且 a = l b ， l Î R （1）求数列 {an } 的通项公式； （2）求 {
r
r
r
r
1 3 } 的前 n 项和 Tn ，不等式 Tn < log a (1 - a ) 对任意的正整数 n 恒成立， 4 an an + 2
求 a 的取值范围． 20． （本题满分 13 分）
2 2 动圆 N 过点 F ( 3 , 0 ) 且与圆 M 相切， 记动圆 N 圆 设定圆 M : ( x + 3) + y = 16 ，
心 N 的轨迹为 C . （1）求轨迹 C 的方程； （2）已知 A( - 2 , 0 ) ，过定点 B ( 1 , 0 ) 的动直线 l 交轨迹 C 于 P 、 Q 两点， DAPQ 的 外心为 N ．若直线 l 的斜率为 k1 ，直线 ON 的斜率为 k2 ，求证： k1 × k2 为定值． 21． （本题满分 14 分） 已知函数 f ( x) = ln ax + bx + （1）求实数 b 的取值范围； （2）当 a = -1 时，关于 x 的方程 f ( x) = 2 x + m 有两个不相等的实数根，求实数 m 的 取值范围； （3）数列 {an } 满足 an = 1 和为 Sn ，求证： 2 × an ³ e
7p 成立; 24 r r r r r r r r r ②对于任意的三个平面向量 a 、 b 、 c ，总有 (a × b) × c = a × (b × c) 成立;
③相关系数 r ( | r |£ 1 )， | r | 值越大，变量之间的线性相关程度越高. A．0 B．1 C．2 D．3
D1 A1 B1 C1
江西省重点中学盟校 2014 届高三第一次联考 高三数学（理）试卷
命题人：景德镇一中 审题人：景德镇一中 江 宁 曹永泉 赣州三中 明小青 余江一中 官增文
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． ，则 z 在复平面内对应的点位于 1．已知复数 z 满足 1 + 3i z = 2 3i （ i 为虚数单位） A．第一象限 2．函数 f ( x) = A． (3, +¥) B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
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18． （本题满分 12 分） 如图，三棱锥 P - ABC 中， AB = AC = 2 10 ， P M
BC = 4 ， PC = 2 11 ，点 P 在平面 ABC 内的射影
恰为 DABC 的重心 G ，M 为侧棱 AP 上一动点． （1）求证：平面 PAG ^ 平面 BCM ； （2）当 M 为 AP 的中点时，求直线 BM 与平面 PBC 所成角的正弦值． A
10．如图，已知正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 的棱长是 1，点 E 是 对角线 AC1 上一动点，记 AE = x （ 0 < x <
3 ）,过点 E
平行于平面 A1 BD 的截面将正方体分成两部分，其中点 A
E
所在的部分的体积为 V ( x) ，则函数 y = V ( x) 的图像大致为 y
1 1 1 1 + + 7．设 f ( x) = ，则 f ( x) + f ( )= lg x lg x lg x 1+ 2 1+ 4 1+ 8 x
A． 1 B．2 C．3 D．4
M R
第 8 题图
8．如图，函数 f ( x) = A sin(w x + j ) （其中 A > 0 ， w > 0 ， | j |£
x -1
-
1 的奇偶性、单调性均相同的是 2 x +1 x 2 + 1)
B． y = ln( x + D． y = tan x
6．已知直线 x + y = 1 与圆 x 2 + y 2 = a 交于 A 、 B 两点， O 是原点，C 是圆上一点，若 y
OA + OB = OC ，则 a 的值为
A． 1 B． 2 C． 2 D． 4 P O Q x
………6 分 （2）由题意可得 x = 0,1, 2,3
……………………
3 2 4 1 P(x = 0) = (1 - ) ´ (1 - ) ´ (1 - ) = 4 3 5 60 3 1 1 1 2 1 1 1 4 3 P(x = 1) = ´ ´ + ´ ´ + ´ ´ = 4 3 5 4 3 5 4 3 5 20 3 2 4 2 P(x = 3) = ´ ´ = 4 3 5 5
∴
sin A sin C 3sin B + = cos A cos C cos C
∴ 3sin B cos A = sin A cos C + cos A sin C = sin( A + C ) = sin B ∵
sin B ¹ 0
∴
3cos A = 1
∴
cos A =
1 3
（2）∵
…………………………….6 分
p ） 2
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与坐标轴的三个交点 P 、 Q 、 R 满足 P ( 2 , 0 ) ， ÐPQR = 为 QR 的中点， PM = 2 5 ， 则 A 的值为 A．
p ，M 4
8 3 3
B．
16 3 3
C．8
D．16
9．给出下列命题，其中真命题的个数是 ①存在 x0 Î R ，使得 sin x0 + cos x0 = 2sin
b=2 ， c=3
∴
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A = 9
∴
DC = 2
cos C =
1 3
∴
AD 2 = 22 + 2 2 - 2 ´ 2 ´ 2 cos C =
……………………12 分
16 3
∴
AD =
4 3 3
17 解： （1）产品为废品的概率为：
1 1 1 3 1 1 1 2 1 1 1 4 1 P= ´ ´ + ´ ´ + ´ ´ + ´ ´ = 4 3 5 4 3 5 4 3 5 4 3 5 6