高三函数与导数专题(含答案)经典

函数与导数（理科数学）

1、对于R 上的可导函数()f x ，若满足/(1)()0x f x -≥，则必有（C ） A ．(0)(2)2(1)f f f +< B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +≥ D ．(0)(2)2(1)f f f +>

2、()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足/

()()0xf x f x -≤对任意正数,a b .若a b <则必有( C )

A.()()af a f b ≤

B.()()bf b f a ≤

C.()()af b bf a ≤

D.()()bf a af b ≤

3、()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足/()()0xf x f x +≤对任意正数,a b .若a b <则必有( C )

A 、()()af a f b ≤

B 、()()bf b f a ≤

C 、()()af b bf a ≤

D 、()()bf a af b ≤

4、记{}⎩⎨⎧>≤=q p q q

p p q p 当当.,,min ．若函数⎭

⎬⎫⎩⎨⎧+=x x x f 241log ,log 3min )(，

则函数)(x f 的解析式_______________.2)(

答案：（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=x x x f 241log ,log 3min )(=⎪⎩

⎪⎨⎧>+≤++x x x x

x x 241224

141log log 3,

log log log 3,log 3 3分

解x x 24

1log log 3=+得4=x ．又函数x y 4

11log 3+=在),0(+∞内递减，x y 22log =在),0(+∞内递增，所

以当40<

1log log 3>+；当4≥x 时，x x 24

1log log 3≤+．

所以⎪⎩

⎪

⎨⎧≥+<<=4,log 34

0,log )(41

2x x x x x f ．

（2）2)(

⎪

⎨⎧<+≥2log 3,441

x x ②．

解得：440><

5、设函数32

3()(1)1,32

a f x x x a x a =

-+++其中为实数。

（1）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；

（2）已知不等式'

2

()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围。

解: (1) '

2()3(1)f x ax x a =-++，由于函数()f x 在1x =时取得极值，所以 '

(1)0f =

即 310,1a a a -++==∴

(2) 方法一由题设知：2

2

3(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，

即2

2

(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立，设 2

2

()(2)2()g a a x x x a R =+--∈, 则对任意x R ∈，

()g a 为单调递增函数()a R ∈，所以对任意(0,)a ∈+∞，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥，

即 2

20x x --≥，20x -≤≤∴， 于是x 的取值范围是}{

|20x x -≤≤

方法二 由题设知：22

3(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，

即2

2

(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立，于是2222

x x

a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，

即22

202

x x

x +≤+20x -≤≤∴于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤ 6、已知函数43219

()42

f x x x x cx =

+-+有三个极值点。 （1）证明：275c -<<；

（2）若存在实数c ，使函数)(x f 在区间[],2a a +上单调递减，求a 的取值范围。 解：（1）因为函数43219

()42

f x x x x cx =

+-+有三个极值点, 所以3

2

()390f x x x x c '=+-+=有三个互异的实根.

设3

2

()39,g x x x x c =+-+则2

()3693(3)(1),g x x x x x '=+-=+-当3x <-时，()0,g x '>

()g x 在(,3)-∞-上为增函数;当31x -<<时，()0,g x '< ()g x 在(3,1)-上为减函数;

当1x >时，()0,g x '> ()g x 在(1,)+∞上为增函数;所以函数()g x 在3x =-时取极大值,在1x =时取极小值. 当(3)0g -≤或(1)0g ≥时,()0g x =最多只有两个不同实根.因为()0g x =有三个不同实根,

所以(3)0g ->且(1)0g <. 即2727270c -+++>,且1390c +-+<,解得27,c >-且5,c <故275c -<<. （2）由（I ）的证明可知，当275c -<<时, ()f x 有三个极值点. 不妨设为123x x x ，，（123x x x <<），则

123()()()().f x x x x x x x '=--- 所以()f x 的单调递减区间是1(]x -∞，,23[,]x x 若)(x f 在区间[],2a a +上单调