2018年中国西部数学邀请赛

海南 海口

第一天 8月15日 上午8:00-12:00

每题15分

1. 已知实数122018,,

,x x x 满足：对任意12018i j ≤<≤,均有()1i j

i j x x ++≥−． 求

20181i i ix =∑的最小值．

2. 设整数2n ≥,正实数12,,,n x x x 满足121n x x x =．证明：

{}{}{}12212n n x x x −++

+<． 其中{}x 表示实数x 的小数部分．

3. 设集合{}1,2,,10M =,T 是M 的某些二元子集构成的集合．满足对T 中任意两个不同的元素{}{},,,a b x y ,都有()()ax by ay bx ++不能被11整除．求T 的元素个数的最大值．

4. 在锐角ABC △中,AB AC >,点,E F 分别在边,AC AB 上，满足BF CE BC +=．点,B C I I 分别为,B C ∠∠内的旁心,直线,C B EI FI 相交于点T ,点K 为弧BAC 的中点,直线KT 与ABC △的外接圆相交于点,K P ．证明：,,,T F P E 四点共圆．

海南 海口

第二天 8月16日 上午8:00-12:00

每题15分

5. 在锐角ABC △中,AB AC <,O 为其外心,M 为边BC 的中点,过,,A O M 三点的圆与AB 的延长线交于点D ,与线段AC 交于点E ．证明：DM EC =．

6. 设整数2n ≥,正实数12n a a a ≥≥≥．证明：

()21111112n n i i i i i i n a n a a a a a +==+⎛⎫−≤− ⎪⎝⎭

∑∑,

其中11n a a +=．

7. 设正整数,p c 分别是素数与合数．证明：存在正整数,m n ,满足：

[][]1,2,,0,1,,1c n n m m n p n n m ++<−<

=+−, 其中[]12,,

,k x x x 表示正整数12,,

,k x x x 的最小公倍数． 8. 给定正整数n 和k ,其中n 是偶数,2k ≥,且4n k >．在圆周上有n 个点．若2

n 条在圆内互不相交的弦的端点恰是这n 个点,则称这些弦为一个匹配．求最大的整数m ,满足对任意一个匹配,都存在圆周上连续k 个点,使得这个匹配中至少有m 条弦的所有端点都在这k 个点中．