高等数学(上册)试卷及答案
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线 L 绕 y 轴旋转而成，L 的方程为 x2 y 2 1
1
（ 1 y 1）（单位：m），容器中装有其一
半容量的水.若以每分钟 （m3）的速度将水从 3
容器口处抽出，问
（1）需要多少分钟才能抽完？ （2）需要做多少功？
O
x
1
第 13 题
4
解：（1）V
0 (1 y 2 )dy 4 ， t
故 y 1 cosh(2x ar cosh2) ，或 y (2 3)e2x (2 3)e2x
2
4
（以上过程中“ ”取正或取负均可）
h
13
附加题
（ 5 分 ） 我 们 知 道 ， 连 续 函 数 f (x) 在 区 间 [a,b] 上 的 算 术 平 均 值 是 极 限
lim
n
f (x1 )
2
2
由 f (0) 0 ，得 c 0 ；由 f (1) 1 ，得 3a 2b 1
2
2
从而解得
a
1 2
h
b 1
y=f(x)
1 第8题
x 6
故 y 1 x3 x2 2
（2）在 O(0,0) 处，曲率 K
| y |
3
1 y2 2
2，
x0
曲率半径为 1 ，故圆 C 的中心为点 0 , 1
f (x) .
解： f (x T ) f (x), f (x T ) f (x)
xT
x
xT
xT
0 f (x)dx 0 f (x)dx x f (x)dx, x f (x)dx 0
h
2
5.设 k Z ，则
3 3
1 x 2k1 cos2 x
dx
2 3.
解：
3 3
1 x2k1 cos2 x
（7 分）讨论反常积分
dx
3 x ln x (ln ln x)a
的收敛性.
解：
I
dx
3 x ln x (ln ln x)a
d ln ln x 3 (ln ln x)a
当 a 1 时， I ln ln 3 1a ；
a 1 当 a 1时， I .
h
9
13.（10 分）如右图所示，一容器的侧面是由曲
2
2
h
7
三.积分学（共 50 分）
9. （7 分）计算 sin x dx
解： 令 x t 即 x t 2 ， dx 2tdt
I 2 t sin t dt 2 t cost cost dt 2t cost 2sin t C
2 x cos x 2sin x C
10. （7 分）求
2. 如 果 函 数 y f (x) 在 点 x x0 处 当 自 变 量 有 增 量 x 时 ， 函 数 的 增 量
y
(1
1
x) 2
1
(
x) 2
，则在
x
x0
处 dy
1 dx . 2
解： lim
y
lim
(1
1
x) 2
1 (
x)2
lim
(1
1
x) 2
1
lim
1 2
x
1
x xx0
x x0
n
e x
ba
n
1b
ln f ( x)dx
e ba a
.
因几何平均值不超过算术平均值，故
1 b ln f ( x)dx
e 1 ba a
b
f (x)dx ，
ba a
即
1
b
ln
f
(x)dx
ln
1
h b f (x)dx
ba a
ba a
14
高等数学（上）试卷 2004 年 1 月
一.填空题（每小题 4 分，共 24 分）
1.极限 lim sin x x
x0 x et2 dt x 0
1. 2
解： lim x0
sin x x
cos x 1 sin x 1
x
et2 dt x
lim x0
ex2 1
lim x0
2xex2
2
0
由连续函数的零点定理知，存在 t0 ( 0 , a ) 使得 (t0 ) 0 ，即 S A SB .
h
11
又因 f 0 ， f (t) 是增加函数，故 S A 是 t 的增加函数， S B 是 t 的减少函数， 即(t) S A SB 是 t 的增加函数，从而使得 S A SB 的 t0 是唯一的. 或计算得 (t) af (t) 0 ，说明 (t) 是增加函数，从而 t0 唯一.
（1）写出三次曲线的方程 y f (x) 的表达式；
y
（2）如果 C 是曲线 y f (x) 的曲率圆，
A1, 1 2
那么 C 的中心位于何处？
解：（1） f (x) ax3 bx2 cx d ,
O (0,0)
f (x) 3ax2 2bx c
因 f (0) 0 ，故 d 0 ；又 f (1) 1 ,故 a b c 1
1
3
3
4.
3
（2）W g
0 (1 y2 )(1 y)dy
1
gy
y2 2
y3 3
y4 0
4
1
25
12
g
h
10
14（. 12 分）右图中曲线 L 的方程为 y f (x) ， f (0) 0 ， f (x) 可 导 且 f (x) 0 . 设 t [0 , a] ，直线 y f (t) ，x 0，x a 与 曲线 L 围成两图形 A 与 B （图中斜线部分）， 其面积分别记为 S A 与 S B . （1）证明：存在 t0 ( 0 , a ) 使得 S A 与 S B 相 等，且这样的 t0 是唯一的. （2）问：当 t 取何值时， S A 与 S B 之和为最
f (x2 ) n
f (xn ) ，其中 xk
a
k (b a) （ k n
1,2,, n ），从而获
—
得算术平均值 f
1
b
f (x)dx .现设连续函数 f (x) 0（ x [a,b] ），试利用正数
ba a
y1 ,
y2 ,,
yn
的几何平均值为 y1
y2
yn
1
n
与定积分来定义
f
(x)
x 1， f (x) 单调增加， f (x) 0 ；1 x 3 ， f (x) 单调减少， f (x) 0
3, 4 上 f (x) 1， f (3) 3 1 ， f (x) x 6 1 ， f (4) 2 1
2
2
2
x 0,1 1,2 2,3 3, 4
y +
+
-
-
y + - -
0
2 函数 f (x) 的单调增加区间为 [0,2]，
单 调 减 少 区 间 为 [2,4] ， 曲 线
y f (x) 的拐点为 (1,3) ， f (4)
1 2.
并在同一坐标图纸中描绘出函数
2
f (x) 图形的示意图.
y 4 3
2 1
O
123
4x
-1
y f (x)
第7题
h
4
解：在 0, 2 内 f (x) 0 ，在 2, 4 内 f (x) 0
小？
y
y f (x)
B
f (t)
A
O
t
ax
第 14 题
答
（1） S A
t f (t) f (x)dx ，
0
SB
a f (x) f (t)dx
t
令(t) SA SB
t f (t) f (x)dx
0
a f (x) f (t)dx ，
t
(t) C[ 0 , a ] ，(0) 0 ，(a) 0 ，
h
5
8.（8 分）请您为某工程设计一条三次多项式曲线轨道，来连接圆形轨道 C 与直线 l . 已 知圆 C 的中心在正 y 轴上且与 x 轴相切于原点， l 的方程为 y 1 x .要求三次曲线
2
y ax3 bx2 cx d 与圆 C 和直线 l 分别相切于点 O(0,0) 与 A1 , 1 （见图）. 2
x
x x0
x
Hale Waihona Puke Baidu
xx0 x 2
h
1
3.
lim
n
n
1 n2 1
1 n2
4
1 n2
9
n2
1
n2
.
4
解：
lim
n
n
1 n2 1
1 n2
4
1 n2
9
n2
1 n2
lim
n
n i1
1
1
i n
2
1 n
1
1
1
dx arctan x
0 1 x2
04
x
4.若 f (x) 是可导的周期函数，则 f (x) 与 f (x)dx 中的哪一个必定是周期函数？ 0
1
c
os
5
x2
dx
解：
5
1 cosx2 dx
2
5
22
cos5
x
dx
16
2
2
c os5
tdt
128
2
0
2
0
15
2
11. （7 分）求 1 ln x dx
2
解
：
2
1 ln x dx
2
1
2 ln x dx
1
2
ln
1
x
dx
x ln
x
1
x
2 1
x ln
x
x
2 1
3 2
ln
2
1 2
h
8
12.
的面积的 2 倍，且曲线 L 经过点 ( 0 , 1 ) ，求 L 的方程.
答
t
1 y2 dx 2
t
ydx
0
0
1 y2 2y ， y (2y)2 1
ar cosh(2y) 2t C ，或 ln 2y (2y)2 1 2t C
代入 t 0 , y 1 ，得 C ar cosh2 或 C ln(2 3)
在区间 [a, b]
上的几
^
何平均值 f ，并根据几何平均值不超过算术平均值，写出相应的积分不等式.
答
将[a,b] 作 n 等分，分点 xk
a
k
b
n
a
，
xk
ba
.
n
^
1
lim ln f ( x1 )ln f ( x2 )ln f ( xn ) ba
f
lim n
f (x1) f (x2) f (xn )
7 2
x
C2
sin
7 2
x
1 2
.
解：特征方程 r2
r
2
0
， r1,2
1 2
7i
，
非齐次微分方程的特解设为 y* k
h
3
二.微分学（16 分）
7.（8 分）设函数 f (x) ( x [0,4] )可导， 且 f (0) 2 ， f (1) 3 ， f (2) 4 ， f (3) 3 1 ,. 试根据 f (x) 的图形，则
2
2
故当 t a 时，对应的图形 A 与 B 的面积之和为最小. 2
h
12
15B.（学《微积分》者回答）
（10 分）设曲线 L 的方程为 y y(x) （ y(x) 0 ），如果对任意的 t 0 ，曲线 L 在
区间[ 0 , t ]所对应的弧长恒为该曲线与直线 x 0， x t 及 y 0 所围成的曲边梯形
（2）令 (t) SA SB tf (t)
t
f (x)dx
0
a f (x)dx f (t)(a t) ，
t
则
(t) (2t a) f (t) ，
令 (t) 0 ，因 f (x) 0 ，故得唯一的驻点 t a ，
2
当 t a 时， (t) 0 ，当 t a 时， (t) 0 ，
dx
3 3
1 cos2
x
dx
tan
x
3
3
2
3
6 A.（学《高等数学》者回答）设
a
2,
b
1 ，且 a 与 b
的夹角为 3
，则 a
b 在
4
a 上的投影 Pr ja (a b)
4 2
.
2
6 B.（学《微积分》者回答） 常系数线性非齐次微分方程 y y 2 y 1的通解
为y
x e 2 C1 cos
1
（ 1 y 1）（单位：m），容器中装有其一
半容量的水.若以每分钟 （m3）的速度将水从 3
容器口处抽出，问
（1）需要多少分钟才能抽完？ （2）需要做多少功？
O
x
1
第 13 题
4
解：（1）V
0 (1 y 2 )dy 4 ， t
故 y 1 cosh(2x ar cosh2) ，或 y (2 3)e2x (2 3)e2x
2
4
（以上过程中“ ”取正或取负均可）
h
13
附加题
（ 5 分 ） 我 们 知 道 ， 连 续 函 数 f (x) 在 区 间 [a,b] 上 的 算 术 平 均 值 是 极 限
lim
n
f (x1 )
2
2
由 f (0) 0 ，得 c 0 ；由 f (1) 1 ，得 3a 2b 1
2
2
从而解得
a
1 2
h
b 1
y=f(x)
1 第8题
x 6
故 y 1 x3 x2 2
（2）在 O(0,0) 处，曲率 K
| y |
3
1 y2 2
2，
x0
曲率半径为 1 ，故圆 C 的中心为点 0 , 1
f (x) .
解： f (x T ) f (x), f (x T ) f (x)
xT
x
xT
xT
0 f (x)dx 0 f (x)dx x f (x)dx, x f (x)dx 0
h
2
5.设 k Z ，则
3 3
1 x 2k1 cos2 x
dx
2 3.
解：
3 3
1 x2k1 cos2 x
（7 分）讨论反常积分
dx
3 x ln x (ln ln x)a
的收敛性.
解：
I
dx
3 x ln x (ln ln x)a
d ln ln x 3 (ln ln x)a
当 a 1 时， I ln ln 3 1a ；
a 1 当 a 1时， I .
h
9
13.（10 分）如右图所示，一容器的侧面是由曲
2
2
h
7
三.积分学（共 50 分）
9. （7 分）计算 sin x dx
解： 令 x t 即 x t 2 ， dx 2tdt
I 2 t sin t dt 2 t cost cost dt 2t cost 2sin t C
2 x cos x 2sin x C
10. （7 分）求
2. 如 果 函 数 y f (x) 在 点 x x0 处 当 自 变 量 有 增 量 x 时 ， 函 数 的 增 量
y
(1
1
x) 2
1
(
x) 2
，则在
x
x0
处 dy
1 dx . 2
解： lim
y
lim
(1
1
x) 2
1 (
x)2
lim
(1
1
x) 2
1
lim
1 2
x
1
x xx0
x x0
n
e x
ba
n
1b
ln f ( x)dx
e ba a
.
因几何平均值不超过算术平均值，故
1 b ln f ( x)dx
e 1 ba a
b
f (x)dx ，
ba a
即
1
b
ln
f
(x)dx
ln
1
h b f (x)dx
ba a
ba a
14
高等数学（上）试卷 2004 年 1 月
一.填空题（每小题 4 分，共 24 分）
1.极限 lim sin x x
x0 x et2 dt x 0
1. 2
解： lim x0
sin x x
cos x 1 sin x 1
x
et2 dt x
lim x0
ex2 1
lim x0
2xex2
2
0
由连续函数的零点定理知，存在 t0 ( 0 , a ) 使得 (t0 ) 0 ，即 S A SB .
h
11
又因 f 0 ， f (t) 是增加函数，故 S A 是 t 的增加函数， S B 是 t 的减少函数， 即(t) S A SB 是 t 的增加函数，从而使得 S A SB 的 t0 是唯一的. 或计算得 (t) af (t) 0 ，说明 (t) 是增加函数，从而 t0 唯一.
（1）写出三次曲线的方程 y f (x) 的表达式；
y
（2）如果 C 是曲线 y f (x) 的曲率圆，
A1, 1 2
那么 C 的中心位于何处？
解：（1） f (x) ax3 bx2 cx d ,
O (0,0)
f (x) 3ax2 2bx c
因 f (0) 0 ，故 d 0 ；又 f (1) 1 ,故 a b c 1
1
3
3
4.
3
（2）W g
0 (1 y2 )(1 y)dy
1
gy
y2 2
y3 3
y4 0
4
1
25
12
g
h
10
14（. 12 分）右图中曲线 L 的方程为 y f (x) ， f (0) 0 ， f (x) 可 导 且 f (x) 0 . 设 t [0 , a] ，直线 y f (t) ，x 0，x a 与 曲线 L 围成两图形 A 与 B （图中斜线部分）， 其面积分别记为 S A 与 S B . （1）证明：存在 t0 ( 0 , a ) 使得 S A 与 S B 相 等，且这样的 t0 是唯一的. （2）问：当 t 取何值时， S A 与 S B 之和为最
f (x2 ) n
f (xn ) ，其中 xk
a
k (b a) （ k n
1,2,, n ），从而获
—
得算术平均值 f
1
b
f (x)dx .现设连续函数 f (x) 0（ x [a,b] ），试利用正数
ba a
y1 ,
y2 ,,
yn
的几何平均值为 y1
y2
yn
1
n
与定积分来定义
f
(x)
x 1， f (x) 单调增加， f (x) 0 ；1 x 3 ， f (x) 单调减少， f (x) 0
3, 4 上 f (x) 1， f (3) 3 1 ， f (x) x 6 1 ， f (4) 2 1
2
2
2
x 0,1 1,2 2,3 3, 4
y +
+
-
-
y + - -
0
2 函数 f (x) 的单调增加区间为 [0,2]，
单 调 减 少 区 间 为 [2,4] ， 曲 线
y f (x) 的拐点为 (1,3) ， f (4)
1 2.
并在同一坐标图纸中描绘出函数
2
f (x) 图形的示意图.
y 4 3
2 1
O
123
4x
-1
y f (x)
第7题
h
4
解：在 0, 2 内 f (x) 0 ，在 2, 4 内 f (x) 0
小？
y
y f (x)
B
f (t)
A
O
t
ax
第 14 题
答
（1） S A
t f (t) f (x)dx ，
0
SB
a f (x) f (t)dx
t
令(t) SA SB
t f (t) f (x)dx
0
a f (x) f (t)dx ，
t
(t) C[ 0 , a ] ，(0) 0 ，(a) 0 ，
h
5
8.（8 分）请您为某工程设计一条三次多项式曲线轨道，来连接圆形轨道 C 与直线 l . 已 知圆 C 的中心在正 y 轴上且与 x 轴相切于原点， l 的方程为 y 1 x .要求三次曲线
2
y ax3 bx2 cx d 与圆 C 和直线 l 分别相切于点 O(0,0) 与 A1 , 1 （见图）. 2
x
x x0
x
Hale Waihona Puke Baidu
xx0 x 2
h
1
3.
lim
n
n
1 n2 1
1 n2
4
1 n2
9
n2
1
n2
.
4
解：
lim
n
n
1 n2 1
1 n2
4
1 n2
9
n2
1 n2
lim
n
n i1
1
1
i n
2
1 n
1
1
1
dx arctan x
0 1 x2
04
x
4.若 f (x) 是可导的周期函数，则 f (x) 与 f (x)dx 中的哪一个必定是周期函数？ 0
1
c
os
5
x2
dx
解：
5
1 cosx2 dx
2
5
22
cos5
x
dx
16
2
2
c os5
tdt
128
2
0
2
0
15
2
11. （7 分）求 1 ln x dx
2
解
：
2
1 ln x dx
2
1
2 ln x dx
1
2
ln
1
x
dx
x ln
x
1
x
2 1
x ln
x
x
2 1
3 2
ln
2
1 2
h
8
12.
的面积的 2 倍，且曲线 L 经过点 ( 0 , 1 ) ，求 L 的方程.
答
t
1 y2 dx 2
t
ydx
0
0
1 y2 2y ， y (2y)2 1
ar cosh(2y) 2t C ，或 ln 2y (2y)2 1 2t C
代入 t 0 , y 1 ，得 C ar cosh2 或 C ln(2 3)
在区间 [a, b]
上的几
^
何平均值 f ，并根据几何平均值不超过算术平均值，写出相应的积分不等式.
答
将[a,b] 作 n 等分，分点 xk
a
k
b
n
a
，
xk
ba
.
n
^
1
lim ln f ( x1 )ln f ( x2 )ln f ( xn ) ba
f
lim n
f (x1) f (x2) f (xn )
7 2
x
C2
sin
7 2
x
1 2
.
解：特征方程 r2
r
2
0
， r1,2
1 2
7i
，
非齐次微分方程的特解设为 y* k
h
3
二.微分学（16 分）
7.（8 分）设函数 f (x) ( x [0,4] )可导， 且 f (0) 2 ， f (1) 3 ， f (2) 4 ， f (3) 3 1 ,. 试根据 f (x) 的图形，则
2
2
故当 t a 时，对应的图形 A 与 B 的面积之和为最小. 2
h
12
15B.（学《微积分》者回答）
（10 分）设曲线 L 的方程为 y y(x) （ y(x) 0 ），如果对任意的 t 0 ，曲线 L 在
区间[ 0 , t ]所对应的弧长恒为该曲线与直线 x 0， x t 及 y 0 所围成的曲边梯形
（2）令 (t) SA SB tf (t)
t
f (x)dx
0
a f (x)dx f (t)(a t) ，
t
则
(t) (2t a) f (t) ，
令 (t) 0 ，因 f (x) 0 ，故得唯一的驻点 t a ，
2
当 t a 时， (t) 0 ，当 t a 时， (t) 0 ，
dx
3 3
1 cos2
x
dx
tan
x
3
3
2
3
6 A.（学《高等数学》者回答）设
a
2,
b
1 ，且 a 与 b
的夹角为 3
，则 a
b 在
4
a 上的投影 Pr ja (a b)
4 2
.
2
6 B.（学《微积分》者回答） 常系数线性非齐次微分方程 y y 2 y 1的通解
为y
x e 2 C1 cos