南师大高代2009(有答案)

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由于 |A − λE | = (−λ)(1 − λ)n−1 , 故A的特征值为0, 1(n − 1重).从而正负惯性指数分别为n − 1, 0. 五.(30分)设σ 是有限维线性空间V 上的线性变换,证明:V = Imσ ⊕ Kerσ 充要条件 是Imσ = Imσ 2 . 证明: 必要性.显然Imσ 2 ⊆ Imσ.下证Imσ ⊆ Imσ 2 . ∀σ (α) ∈ Imσ, α ∈ V,由V = Imσ ⊕ Kerσ 可知存在β, γ ∈ V 使得 α = σ (β ) + γ, σ (γ ) = 0. ◇※☆■◇◇※☆■◇ 4 高等代数资源网http://www.52gd.org
2 试题
一.(20分)f (x) = x3 + ax2 + bx + c是整系数多项式,若a, c是奇数,b是偶数.证明:f (x)是 有理数域上的不可约多项式. 二.(20分)设σ 是欧氏空间V 的一个正交变换,λ和µ是σ 的两个不同的特征值,设σ 的属 于λ的特征向量为α,属于µ的特征向量为β .证明:α与β 是正交的. 三.(20分)设A, B 为n级矩阵满足A2 + A = 2E, B 2 = B,且AB = BA.证明:存在可逆矩 阵Q使得Q−1 AQ和Q−1 BQ都是对角矩阵. 四(30分)求实二次型
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0 = k1 g1 (σ )u(σ )(α1 ) + · · · + kn1 g1 (σ )u(σ )(αn1 ) = k1 α1 + · · · + kn1 αn1 , 从而两边作用σ − λ1 I 可得 k2 α1 + · · · + kn1 αn1 −1 = 0,
继续下去可得kn1 = · · · = k1 = 0.同理可得ln2 = · · · = l1 = 0.从而结论成立. 易知σ 在α1 , · · · , αn1 , β1 , · · · , βn2 下的矩阵为 ( Jn1 (λ1 ) A= ) Jn2 (λ2 ) .
n n ∑ ∑ xj 2 ) f (x1 , · · · , xn ) = (xi − n i=1 j =1
的矩阵及正负惯性指数. 1
南京师范大学2009高等代数参考解答
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五.(30分)设σ 是有限维线性空间V 上的线性变换,证明:V = Imσ ⊕ Kerσ 充要条件 是Imσ = Imσ 2 . 六.(30分)设n维线性空间V 上的线性变换σ 的特征多项式为 f (λ) = (λ − λ1 )n1 (λ − λ2 )n2 , λ1 ̸= λ2 , 且有 σ (α1 ) = λ1 α1 , (σ − λ1 I )α2 = α1 , · · · , (σ − λ1 I )αn1 = αn1 −1 , σ (β1 ) = λ2 β1 , (σ − λ2 I )β2 = β1 , · · · , (σ − λ2 I )βn2 = βn2 −1 , 证明:α1 , · · · , αn1 , β1 , · · · , βn2 构成整个线性空间的一组基,并求σ 在这组基下的矩阵. 休息一下,来张美图欣赏一下吧.
−1 Ri Bi Ri , i = 1, · · · , s


为对角阵.令
R1 .. R= . Rs

则P = QR可逆,且使得结论成立. 四(30分)求实二次型
n n ∑ ∑ xj 2 ) f (x1 , · · · , xn ) = (xi − n i=1 j =1
=X T (E + β T α)T (E + Biblioteka Baidu T α)X =X T (E + β T α)2 X =X T (E + β T α)X 于是二次型的矩阵 1 1 1 − n − n 1 1 − n 1− n T A=E+β α= . . . . . . 1 1 − − n n 1 − n 1 − n . . . . 1 1− n
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南京师范大学2009高等代数参考解答 的矩阵及正负惯性指数. 解: 令 X = (x1 , · · · , xn )T , 1 1 1 α1 = (1 − , − , · · · , − ), n n n 1 1 1 α2 = (− , 1 − , · · · , − ), n n n ······ , 1 1 1 αn = (− , − , · · · , 1 − ), n n n 1 1 1 α = ( − , − , · · · , − ), n n n β = (1, 1, · · · , 1), 则 f (x1 , · · · , xn ) =(x1 −
漂亮吧?
3 参考解答
一.(20分)f (x) = x3 + ax2 + bx + c是整系数多项式,若a, c是奇数,b是偶数.证明:f (x)是 有理数域上的不可约多项式. 证明: 反证法.若f (x)在有理数域上可约,则可设 f (x) = (x + d)(x2 + ex + m), d, e, m ∈ Z. ◇※☆■◇◇※☆■◇ 2 高等代数资源网http://www.52gd.org
南京师范大学2009高等代数参考解答 于是 σ (α) = σ 2 (β ) ⊆ Imσ 2 . 即Imσ ⊆ Imσ 2 .从而Imσ = Imσ 2 . 充分性.显然Imσ + Kerσ ⊆ V. 设α1 , · · · , αn 为V 的基,则 Imσ = L(σ (α1 ), · · · , σ (αn )) = L(β1 , · · · , βs ) 其中β1 , · · · , βs 为Imσ 的一组基.则 Imσ 2 = L(σ (β1 ), · · · , σ (βs ))
则(g1 (λ), g2 (λ)) = 1,从而存在多项式u(λ), v (λ)使得 g1 (λ)u(λ) + g2 (λ)v (λ) = 1. ◇※☆■◇◇※☆■◇ 5 高等代数资源网http://www.52gd.org
南京师范大学2009高等代数参考解答 这样 g1 (σ )u(σ ) + g2 (σ )v (σ ) = I. 于是由上式及条件有 g1 (σ )u(σ )(αi ) = αi , i = 1, · · · , n1 , g2 (σ )v (σ )(βj ) = βj , j = 1, · · · , n2 . 设 k1 α1 + · · · + kn1 αn1 + l1 β1 + · · · + ln2 βn2 = 0, 则
南京师范大学2009高等代数参考解答 比较等式两边的系数可得 e + d = a, m + de = b, c = dm.
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由c是奇数可知d, m都是奇数,再由a是奇数知e为偶数,从而可知b = m + de是奇数.这与条 件b是偶数矛盾.从而结论成立. 二.(20分)设σ 是欧氏空间V 的一个正交变换,λ和µ是σ 的两个不同的特征值,设σ 的属 于λ的特征向量为α,属于µ的特征向量为β .证明:α与β 是正交的. 证明: 此题应该有误.?? 三.(20分)设A, B 为n级矩阵满足A2 + A = 2E, B 2 = B,且AB = BA.证明:存在可逆矩 阵Q使得Q−1 AQ和Q−1 BQ都是对角矩阵. 证明: 由条件知x2 + x − 2, x2 − x分别是A, B 的零化多项式,它们无重根,从而A, B 的 最小多项式无重根,故相似与对角阵.然后类似于下面问题的证明即可. 例 3.1 n阶矩阵A, B 都可对角化,且AB = BA.则存在可逆矩阵P 使得 P −1 AP, P −1 BP 同时为对角阵. 证明: 阵Q使得 设λ1 , · · · , λs 为A的全部互异的特征值,其重数分别为r1 , · · · , rs .则存在可逆矩 λ1 Er1 −1 .. Q AQ = . λs Ers 由AB = BA有 故 Q−1 AQQ−1 BQ = Q−1 BQQ−1 AQ B1 −1 .. Q BQ = . Bs 其中Bi 为ri 阶方阵.由于B 可以对角化,故Bi 也可对角化.设存在ri 阶可逆阵Ri 使得
南京师范大学2009年硕士学位研究生入学考试高等 代数试题参考解答
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由于Imσ = Imσ 2 ,则dim Imσ 2 = dim Imσ, 于是σ (β1 ), · · · , σ (βs )为Imσ 2 的一组基. ∀α ∈ Imσ ∩ ker σ,设 由于 0 = σ (α) = k1 σ (β1 ) + · · · + ks σ (βs ) 以及σ (β1 ), · · · , σ (βs )线性无关,可得k1 = · · · = ks = 0,故α = 0. 即 Imσ ∩ ker σ = {0} 又 dim(Imσ + ker σ ) = dim Imσ + dim ker σ − dim(Imσ ∩ ker σ ) = n = dim V Imσ + ker σ ⊆ V 从而V = Imσ ⊕ ker σ. 六.(30分)设n维线性空间V 上的线性变换σ 的特征多项式为 f (λ) = (λ − λ1 )n1 (λ − λ2 )n2 , λ1 ̸= λ2 , 且有 σ (α1 ) = λ1 α1 , (σ − λ1 I )α2 = α1 , · · · , (σ − λ1 I )αn1 = αn1 −1 , σ (β1 ) = λ2 β1 , (σ − λ2 I )β2 = β1 , · · · , (σ − λ2 I )βn2 = βn2 −1 , 证明:α1 , · · · , αn1 , β1 , · · · , βn2 构成整个线性空间的一组基,并求σ 在这组基下的矩阵. 证明: 易知n1 + n2 = n.下证α1 , · · · , αn1 , β1 , · · · , βn2 线性无关. 令 g1 (λ) = f ( λ) f (λ) , g , 2 (λ) = n (λ − λ1 ) 1 (λ − λ2 )n2 α = k1 β1 + · · · + ks βs
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x1 + · · · + xn 2 x1 + · · · + xn 2 ) + · · · + (xn − ) n n T T =X T α1 α1 X + · · · + X T αn αn X
T T =X T (α1 α1 + · · · + αn αn ) X α1 T T T . =X (α1 , · · · , αn ) . . X αn
完成了,来张美图欣赏一下吧.
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