工程力学第八章：扭转

d
I p A 2 dA 2 d
2 D 2 d 2

d
O
D


32 D 4 (1 4 ) 32
(D4 d 4 )
( d ) D
4. 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上广泛采用空心截面圆轴：提高强度，节约材料，结构轻 便，应用广泛。
第一节 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图
一、圆轴扭转的概念 轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、
石油钻机中的钻杆等。 扭转：受力特点是外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直
杆的轴线垂直。变形特点是横截面形状大小未变，只是绕轴线
发生相对转动。
剪应变 扭转角
A
B
O
A Me


O
B Me
T1 M eA 274 N.m
M eA
T2 M eA M eB 75 N.m
M eB M eC
T
x
75 N.m
274 N.m
第二节 圆轴扭转横截面上的切应力与强度计算
一、等直圆轴扭转变形实验及实验结果
实验结果：
※各圆周线绕轴线相对旋转了一个角度，但大小、形状和相邻两
M eA
1
M eB
2
M eC
对AB段
1 2
M 0
M eA
1
T1
扭矩按右手螺旋法 则设定为正
T1 M eA 274 N.m
对BC段
M eA
1
M 0
M eB
2
T2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
扭矩按右手螺旋 法则设定为正
T2 M eA M eB 75 N.m
2
（3）画扭矩图。由该图可看出，最大扭矩发生在AB段。
M eA M eB
M eC
解 （1）计算外力偶矩。
M eA 27.5 9549 N.m 274 N.m 960 20 N.m 199 N.m 960 7.5 N.m 75 N.m 960
M eB 9549 M eC 9549
（2）计算扭矩。将主轴ABC分为AB、BC两段，逐段计算扭矩。
扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
M e1 M e2 M e4
M e3
T
M e4
x
M e1
M e1 M e 2
例1： 如图所示，一传动系统的主轴ABC的转速n=960r/min， 输入功率 PA=27.5kW，输出功率 PB=20kW ，PC=7.5kW。试画出 主轴ABC的扭矩图。
解决杆件发生扭转变形强度、刚度问题的方法，和轴向拉压、剪
切的分析方法类似：
外力偶分析
截面法：计算扭矩时按右手螺旋法则设其为正
扭矩分析
找到扭转在截面上的分布
变形分析
应力分析
规律，建立应力计算公式
刚度计算
强度计算
1.强度刚度校核
应用
2.设计截面尺寸 3.设计外载荷
第一节 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图 第二节 圆轴扭转时横截面上的切应力与强度计算 第三节 圆轴扭转时的变形与刚度条件
M 0
T Me 0 T Me
分别取左段和右段为研究对象，相应截面上扭矩 的大小相等，转向相反。为了使二者的正负号一
致，因此有必要作出正负号的规定。
扭矩正负规定：
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为正(+)
反之为负(-)
+
T
T
-
T
计算扭矩时必须采用设正法，这样计算结果的符号与其规定 的符号一致。

二、等直圆杆扭转时横截面上的应力 1. 变形几何关系：
D’

d
dx
(对给定截面，d / dx是常数)
结论：距圆心为 任一点处的切应变与该点到圆心的距离 成正比。
2. 物理关系： 根据剪切胡克定律
G
d d G G G dx dx
传动轴
传动轴：图中的汽车传动轴和齿轮传动轴承受扭转变形，在工 作过程中涉及到强度和刚度条件。
扭转圆轴动画演示：
Me
主动 力偶
约束力偶
承受扭转变形的工具：图中所示工具在工作的时候受一对等值 反向的力偶的作用，承受扭转变形，在工作的时候同样要遇到 与扭转变形对应的强度问题和刚度问题。
解决任务的方法：
d 将上式代入物理关系式 G dx
d T dx GI P
T Ip
I p A dA 单位：mm4，m4。
2
对于实心圆截面：
I p A 2 dA 2 2 d
D 2 0
d

O
D
D 4
32
对于空心圆截面：
二、扭矩与扭矩图
1. 外力偶矩的计算
输入功率kW
Me
转速n（r/min）
按输入功率和转速计算:
直接计算: 已知轴转速为n，输入功率为P 。求输
M e Fd
入力偶矩Me。
P M e 9549 （N.m） n
2. 扭矩及扭矩图
Me
Me
扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T ”
Me
Me
5. 确定最大切应力
T 由 Ip
max
D , max 知：当 R 2
D T T T D 2 (令Wp I p / ） D Wp Ip 2 Ip / 2
max
T Wp
Wp ----抗扭截面系数，单位为mm3或m3。
问题引入：在工程实际中，尤其是在机械中的许多构件，其
主要变形是扭转。如攻丝时，施加在手柄两端的一对力等值反 向，构成一对力偶，使丝锥转动，下面丝扣的阻力是一个转向 相反的约束力偶，阻碍丝锥的转动，在这样一对力偶的作用下 丝锥产生扭转变形。这些构件（一般称为圆轴）扭转变形后的 强度问题和刚度问题必须考虑。
圆周线之间的距离不变。 ※在小变形的情况下，各纵向线仍可近似看成是一条直线，只是 倾斜了一个微小的角度。 ※变形以前圆轴表面的方格，变形后扭歪成菱形。
可推知：

横截面上各点无轴向变形，故横截面上没有正应力。

横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，故横截面 上有剪应力存在。 各横截面半径不变，所以剪应力方向与截面半径垂直。
该结论反映了剪应力的变化规律。
d G dx
结论：横截面上某点剪应力和该点到横截面形心的距离成正比，
T
O

R
3. 静力学关系：
T A dA d A G dA dx d G A 2 dA dx
2
dA

O
2 I dA 令 p A