高中数学复习专题讲座函数的连续及其应用

高中数学复习专题讲座函数的连续及其应
用 高考要求 函数的连续性是新增加的内容之一 它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起 在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点 本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系 重难点归纳 1 深刻明白得函数f (x )在x 0处连续的概念
等式lim 0
x x →f (x )=f (x 0)的涵义是
(1)f (x 0)在x =x 0处有定义，即f (x 0)存在；
(2)lim 0
x x →f (x )存在，那个地点隐含着f (x )在点x =x 0邻近有定义； (3)f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值，即lim 0
x x →f (x )=f (x 0) 函数
f (x )在x 0处连续，反映在图象上是f (x )的图象在点x =x 0处是不间断的 2 函数f (x )在点x 0不连续，确实是f (x )的图象在点x =x 0处是间断的 其情形
(1)lim 0x x →f (x )存在；f (x 0)存在，但lim 0
x x →f (x )≠f (x 0);
(2)lim 0x x →f (x )存在，但f (x 0)不存在 (3) lim 0
x x →f (x )不存在 3 由连续函数的定义，能够得到运算函数极限的一种方法 假如函数f (x )在其定义区间内是连续的，点x 0是定义区间内的一点，那么求x →x 0时函数f (x )的极限，只要求出f (x )在点x 0处的函数值f (x 0)就能够了，即lim 0x x →f (x )=f (x 0) 典型题例示范讲解
例1函数f (x )=2
42+-x x , (1)求f (x )的定义域，并作出函数的图象；
(2)求f (x )的不连续点x 0;
(3)对f (x )补充定义，使其是R 上的连续函数 命题意图 函数的连续性，专门是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映 因而画函数图象去直观反映题目中的连续性咨询题也就成为一种最重要的方法
知识依靠 此题是分式函数，因此解答此题的闪光点是能准确画出它的图象
错解分析 第(3)咨询是此题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解 应明确明白第(3)咨询是求的分数函数解析式
技巧与方法 对分式化简变形，注意等价性，观看图象进行解答 解 (1)当x +2≠0时，有x ≠－2
因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞) 当x ≠－2时，f (x )=2
42+-x x =x －2, 其图象如上图
(2)由定义域知，函数f (x )的不连续点是x 0=－2
(3)因为当x ≠－2时，f (x )=x －2,
因此)2(lim )(lim 2
2-=-→-→x x f x x =－4
因此，将f (x )的表达式改写为f (x )=⎪⎩
⎪⎨⎧-=--≠+-2)( 4)2( 242x x x x
那么函数f (x )在R 上是连续函数
例2求证 方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个正根，且它不大于a +b 命题意图 要判定方程f (x )=0是否有实根 即判定对应的连续函数y =f (x )的图象是否与x 轴有交点，因此依照连续函数的性质，只要找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可 此题要紧考查这种解题方法
知识依靠 解答此题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正
错解分析 因为此题为超越方程，因而考生最易想到画图象观看，而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用
证明 设f (x )=a sin x +b －x ,
那么f (0)=b ＞0,f (a +b )=a ·sin(a +b )+b －(a +b )=a ［sin(a +b )－1］≤0, 又f (x )在(0,a +b ］内是连续函数，因此存在一个x 0∈(0,a +b ］，使f (x 0)=0,即x 0是方程f (x )=0的根，也确实是方程x =a ·sin x +b 的根
因此，方程x =a sin x +b 至少存在一个正根，且它不大于a +b
例3函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+-<)51( )1(log )11( )1()1( 32
x x x x x x
(1)讨论f (x )在点x =－1,0,1处的连续性；
(2)求f (x )的连续区间 解 (1)lim 1--→x f (x )=3, lim 1+-→x f (x )=－1,因此lim 1
-→x f (x )不存在， 因此f (x )在x =－1处不连续，
但lim 1-→x f (x )=f (－1)=－1, lim 1
--→x f (x )≠f (－1), 因此f (x )在x =－1处右连续，左不连续
lim 1-→x f (x )=3=f (1), lim 1+→x f (x )不存在，因此lim 1
→x f (x )不存在， 因此f (x )在x =1不连续，但左连续，右不连续
又lim 0
→x f (x )=f (0)=0,因此f (x )在x =0处连续
(2)f (x )中，区间(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三个函数差不多上初等函数，因此f (x )除不连续点x =±1外，再也无不连续点，
因此f (x )的连续区间是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5] 学生巩固练习 1 假设f (x )=1
1113-+-+x x 在点x =0处连续，那么f (0)等于( ) A 23 B 32 C 1 D 0 2 设f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<2
1 11 2110 x x x x 那么f (x )的连续区间为( ) A (0，2) B (0，1) C (0，1)∪(1，2) D (1，2) 3 x x x x arctan 4)2ln(lim 21--→ =_________ 4 假设f (x )=⎪⎩
⎪⎨⎧≥+<--0 0 11x bx a x x x 处处连续，那么a 的值为_________ 5 函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-)
0( 1)0( 1
21211
x x x x
(1)f (x )在x =0处是否连续？讲明理由；
(2)讨论f (x )在闭区间［－1,0］和［0,1］上的连续性 6 f (x )=⎪⎩
⎪⎨⎧≥+<--)0()0(11x bx a x x x (1)求f (－x );
(2)求常数a 的值，使f (x )在区间(－∞,+∞)内处处连续 7 求证任何一个实系数一元三次方程a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3=0(a 0,a 1,a 2,a 3∈R ,a 0≠0)至少有一个实数根 8 求函数f (x )=⎪⎩
⎪⎨⎧>-≤)1( )21(log )1( 2x x x x 的不连续点和连续区间 参考答案 1 解析 ]11][11)1()[11(]
11)1()[11)(11()(3332332-+++++++++++-+++=x x x x x x x x x f
2
311111)0(1
11
1)1(323=+++=++++++=f x x x 答案 A 2 解析 11lim )(lim 1
1==++→→x x x f 21)1(1)(lim ,1lim )(lim 11
1=
≠===→→→--f x f x x f x x x
即f (x )在x =1点不连续，显知f (x )在(0,1)和(1,2)连续 答案 C 3 解析 利用函数的连续性，即)()(lim 00
x f x f x x =→,
π
=--=--∴→11arctan 4)12sin(11arctan 4)2sin(lim 221x x x 答案 π1
21,0)(lim )(lim 21111lim 11lim )(lim :.40
0000=∴=+==-+=--=++---→→→→→a bx a x f x x x x f x x x x x 解析 答案 2
1 5 解 f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0( 1)0(12111x x x (1) lim 10-→x f (x )=－1, lim 0+→x f (x )=1,因此lim 0
→x f (x )不存在， 故f (x )在x =0处不连续
(2)f (x )在(－∞,+∞)上除x =0外，再无间断点，
由(1)知f (x )在x =0处右连续，
因此f (x )在［－1，0］上是不连续函数，在［0,1］上是连续函数
6 解 (1)f (－x )=⎪⎩
⎪⎨⎧≥-<-+)0( )0( 11x bx a x x x (2)要使f (x )在(－∞,+∞)内处处连续，只要f (x )在x =0连续， lim 0-→x f (x )= lim 0-→x x x --11=21111lim )11(lim 00=-+=-+--→→x
x x x x x lim 0+→x f (x )=lim 0
+→x (a +bx )=a , 因为要f (x )在x =0处连续，
只要lim 0+→x f (x )= lim 0+→x f (x )= lim 0
+→x f (x )=f (0),因此a =21 7 证明 设f (x )=a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3,函数f (x )在(－∞,+∞)连续， 且x →+∞时，f (x )→+∞;x →－∞时，f (x )→－∞,
因此必存在a ∈(－∞,+∞),b ∈(－∞,+∞),使f (a )·f (b )＜0,
因此f (x )的图象至少在(a ,b )上穿过x 轴一次，即f (x )=0至少有一实根 8 解 不连续点是x =1,连续区间是(－∞,1),(1,+∞)
课前后备注。