两条直线垂直的条件

练习4
1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值.
2 2、求过点A（－1,2），且与原点的距离等于 2
的直线方程 .
结论1：如果直线L1,L2的方程为 L1:A1x+B1y+C1=0, L2:A2x+B2y+C2=0 那么L1⊥L2的条件是A1A2+B1B2=0 结论2： 如果两直线的斜率为k1, k2,那么,这两条直线垂 直的条件是k1·k2= -1
2. 求点B（-5，7）到直线12x+5y+3=0的距离.
3、求点P0（-1，2）到直线2x+y-10=0的距离.
例题分析
例1:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求 y
A
的面积 ABC
h
C O
B
x
两条平行直线间的距离：
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直 y l1 线间的公垂线段的长. P
练习: 求过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线的方程
点到直线的距离
复习回顾
y
两点间距离公式
| PQ || x2 x1 | 1
P2(x2,y2)
| P2Q || y2 y1
P1(x1,y1)
O
2
Q(x2,y1)
x
2
| P P2 | ( x2 x1 ) ( y2 y 1 ) 1
小结
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0 的距离公式是 d = Ax0 + By 0 + C A 2 + B2 当A=0或B=0时,公式仍然成立.
2.两条平行线Ax+By+C1=0与
Ax+By+C2=0的距离是
d=
C1 - C 2 A
2
+B
2
例2：求过下列各点且与已知直线垂直的 直线方程：
1 1 1, 2 , y x 1; 2 2 1, 4 , 2 x 3 y 5 0.
例1：已知直线
例3 已知直线 (a 2) x (1 a ) y 3 0 与
(a 1) x (2a 3) y 2 0 互相垂直，求a的值
点到直线的距离
如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l 的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足. y
P
l
Q
o x
思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎
样求点P到直线l的距离呢?
当A=0或B=0时,直线方程为 y=y1或x=x1的形式.
y
P (x0,y0) y=y1
Q (x0,y1)
l2
Q o 例7、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与 l2: Ax+By+C2=0的距离是 x
d
C1 - C2 A B
2 2
y
l1
P O
l2
l1 :Ax+By+C1=0
x
设P ( x0 , y0 )在直线L1上
l2 :Ax+By+C2=0
d
则点P到直线L2的距离 | Ax0 By0 C2 |
1 两条直线L1:y=2x-7，L2:y=- x-2 2
两条直线L1:2x=7，L2:3y=5
l1 : Ax By C1 0, l2 : Bx Ay C2 0
求证：l1⊥l2 我们把与直线 Ax By C 0 垂直的直线 的方程，表示成 Bx Ay D 0
利用两点间距离公式:
y
P(x0,y0)
d
Q
o
l Ax+By+C=0 x
d
| Ax0 By 0 C | A B
2 2
点到直线的距离：
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
练习2
d
| Ax0 By 0 C | A B
2 2
1、求点A（-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离.
1、复习回顾 位置关系 相交 平行 重合
条 A 1 x+B 1 y+C 1 =0 A2x+B2y+C2=0 件
y=k1x+b1
A1 B1 A2 B2
A1 B1 C1 A1 B1 C1 A2 B2 C2 A2 B2 C2
k1 k2
k1 k2 b1 b2
k1 k2 b1 b2
y=k2x+b2
结论： 如果两直线的斜率为k1, k2,那么,这两条直线垂直 的条件是k1·k2= -1 注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 缺少这个前提，结论并不存立． 特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： 当另一条直线的斜率为0时， 则一条直线的倾斜角为900,另一条直线的倾斜角为0° 两直线互相垂直
2 2
又 Ax 0 By0 C1 A B C2 C1 d 2 2 A B
注意: 运用此公式时直线方程要化成一般式,并 且X、Y项的系数要对应相等.
练习3
14 53 1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是______; 53
2 13 2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是____. 13
l1 l2 k1 k2 1或l1 , l2一斜率不存在另一斜率为0
2、结论1 如果直线l1,l2的方程为 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0 那么l1⊥l2的是A1A2+B1B2=0
练习：下列直线是否垂直？ 两条直线L1:2x-4y-7=0，L2:2x+y+5=0
y
(x1,y0)
Q
P(x0,y0) x x=x1
o
x
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o
PQ = y 0 - y1
PQ = x 0 - x1
练习1
5 (1)点P(-1,2)到直线3x=2的距离是______. 3 4 (2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是______. 3
下面设A≠0,B ≠0, 我们进一步探求点 到直线的距离公式: