2011年日本大地震影响的定量评估

2011年日本大地震影响的定量评估
摘要
一、问题重述
1.1问题背景
2011年3月11日，日本当地时间14时46分，日本东北部海域发生里氏9.0级地震并引发海啸，造成重大人员伤亡和财产损失。

地震震中位于宫城县以东太平洋海域，震源深度20公里。

东京有强烈震感。

地震引发的海啸影响到太平洋沿岸的大部分地区。

地震造成日本福岛第一核电站1~4号机组发生核泄漏事故。

4月1日，日本内阁会议决定将此次地震称为“东日本大地震”。

截至当地时间4月12日19时，此次地震及其引发的海啸已确认造成14063人死亡、13691人失踪。

1.2问题提出
请选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2011年日本大地震对日本社会、经济等的影响以及对世界的影响。

二、问题分析
2.1问题重要性分析
3月11日日本发生史上最强地震，除了大量死伤，地震和海啸对苦苦挣扎试图摆脱“失去的十年”经济衰退期的日本来说，影响巨大。

有经济专家预言，这将是有史以来最昂贵的自然灾害，而且不仅仅是对日本，对太平洋两岸，对美国以及全球经济的影响都会很快显现。

研究日本大地震的影响力大小，是一个非常重要的课题。

2.2问题思路分析
研究2011年日本大地震对日本社会、经济等的影响以及对世界的影响。

现在社会主要三大产业：服务业、工业和农业，这三大产业占据了主要部分，这三大产业反应的大地震对其的影响，基本可以代表整个影响力。

本文分别选取了其中的几个代表性的行业进行分析比较，如：服务业，主要选取了访日人数、信息和医疗保险；工业、主要选取了电子设备和钢铁行业；农业，主要选取了粮业水产。

假设没有发生日本大地震，在这种情况下，对这几个代表性行业的发展趋势状态预测，这里主要是运用灰色预测和线性回归方程，得出2011年3、4月份的预测值；同时与发生大地震后的实际值进行比较，得出大地震对每个行业的影响率。

通过层次分析法得出内部细分行业的贡献因子及对应三大产业的贡献因子，进而得出整体的影响力。

层次分析法，先将目标进行分层，分成目标层、准则层和方案层；其次根据网上提供的这几个行业对日本经济的贡献率，对这几个代表行业进行排序，利用比例标度法以对事物物质差别的评判标准为基础，构造判断矩阵；其次计算判断矩阵，对其进行归一化处理，得出每个行业所占权重比例。

根据影响率和权重比例，得出整个行业的影响力，综合评估定量2011年日本大地震对日本社会、经济等的影响以及对世界的影响。

三、基本假设
为了简化模型，使整个模型更加严谨准确，本文对其作出了如下的假设：
（1）假设一：数据的处理只考虑主要的因素的影响。

（2）假设二：查找的数据都是真实有效的，不存在错误的数据或者是误差的范围比较小。

（3）假设三：日本地震引发的三个支柱产业的波动情况能代表日本全体产业的波动情况，除此之外，影响比重较小，可以忽略不计。

（4）假设四：如果日本不发生地震，日本的农副产业进、出口额，旅游人数以及制造业产值按以前规律变化，无突变。

四、符号说明及名词解释
4.1符号说明
（1）灰色系统：是指既含有已知信息、又含有未知信息或非确知信息的系统，也称为贫信息系统。

灰色模型是根据关联度、生成数灰导数、灰微分等观点和一系列数学方法建立起来的连续性的微分方程。

灰色预测是灰色系统理论的一个重要方面，它利用这些信息，建立灰色预测模型，从而确定系统未来的变化趋势。

灰色预测模型能够根据现有的少量信息进行计算和推测。

（2）层次分析法：将决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。

（3）权重：权重是一个相对的概念，是针对某一指标而言。

某一指标的权重是指该指标在整体评价中的相对重要程度。

五、模型准备
5.1 GM(1,1)预测模型的基本原理
( 1) GM(1,1)灰色系统
所谓灰色系统是指既含有已知信息, 又含有未知信息的系统, 是由邓聚龙教授在1986年提出的. 灰色理论自诞生以来, 发展很快, 由于它所需因素少, 模型简单, 特别
是对于因素空间难以穷尽, 运行机制尚不明确, 又缺乏建立确定关系的信息系统, 灰色系统理论及方法为解决此类问题提供了新的思路和有益的尝试.
灰色预测方法[2]是根据过去及现在已知的或非确知的信息, 建立一个从过去引申到将来的GM 模型, 从而确定系统在未来发展变化的趋势, 为规划决策提供依据. 在灰色预测模型中, 对时间序列进行数量大小的预测, 随机性被弱化了, 确定性增强了. 此时在生成层次上求解得到生成函数, 据此建立被求序列的数列预测, 其预测模型为一阶微分方程, 即只有一个变量的灰色模型, 记为GM(1,1)模型.
灰色GM(1,1)预测模型在计算过程中主要是以矩阵为主, 它和MATLAB 的结合可以有效的解决了灰色系统理论在矩阵计算中的问题, 为灰色系统理论的应用提供了一种新的方法.
( 2) GM(1,1)预测模型的基本原理
GM(1,1)模型是灰色预测的核心, 它是一个单个变量预测的一阶微分方程模型, 其离散时间响应函数近似呈指数规律. 建立GM(1,1)模型的方法是：
设()()(){}(0)
(0)
(0)
(0)
1,2,,X X
X
X
n =
为原始非负时间序列,
()(1)
X
t 为累加生成序
列, 即
()()(1)
(0)
1
,1,2,,i
m X
t X
m t
n
===∑
( 1)
GM(1,1)模型的白化微分方程为： (1)
(1)
d X
a X
u
d t
+= ( 2)
式( 2) 中,
a
为待辨识参数, 亦称发展系数；u 为待辨识内生变量,亦称灰作用量. 设待辨
识向量ˆa a
u ⎛⎫= ⎪⎝⎭
, 按最小二乘法求得1
ˆ()
T
T
a
B B B y
-=式中
()()()()()()
()()()
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
1121212312
111
2
X X X X
B X n X
n -+
-
+
=
--+
()()
()
(0)
(0)
(0)
23X X
y X
n =
于是可得到灰色预测的离散时间响应函数为：
()()(1)
(0)
11a t u u
X
t X e
a a
-⎛⎫+=
-
+ ⎪⎝
⎭ ( 3)
()(1)
1X
t +为所得的累加的预测值, 将预测值还原即为：
()()()()(0)
(1)
(1)
ˆˆˆ11,1,2,3X
t X
t X
t t n +=
+-
= ( 4)
通过上述GM （1，1）模型的建模过程可知，模型的解是一个指数函数，实际上对于任意非负离散点序列，其一次累加序列呈现指数规律，因此，用指数函数来拟合是可以的。

5.2层次分析法
层次分析法又称AHP 构权法(Analytic hierarchy process ，简写为A H P )，是将复杂的评价对象排列为一个有序的递阶层次结构的整体，然后在各个评价项目之间进行两两的比较、判断，计算各个评价项目的相对重要性系数，即权重。

A H P 构权法又分为单准则构权法和多准则构权法。

层次分析法的主要步骤如下： 1．确定指标的量化标准
层次分析法的核心问题是建立一个构造合理且一致的判断矩阵，判断矩阵的合理性受到标度的合理性的影响。

比例标度法是以对事物质的差别的评判标准为基础，一般以5种判别等级表示事物质的差别。

当评价分析需要更高的精确度时，可以使用9种判别等级来评价。

同等重要用比例标度值1；稍微重要用比例标度值3；较强重要用比例标度值5；强烈重要用比例标度值7；极端重要用比例标度值9；两相邻判断的中间值用比例标度值2、4、6、8。

2.对初始权数进行处理
第一步，建立判断矩阵 。

通过专家对评价指标的评价，进行两两比较，其初始权数形成判断矩阵 ，判断矩阵中第i 行和第j 列的元素 表示指标i x 与j x 比较后所得的标度系数。

第二步，计算判断矩阵中的每一行各标度数据的几何平均数，记作i w 。

第三步，进行归一化处理。

归一化处理是利用公式∑
=
i
i
i w w w '
计算，依据计算结果
确定各个指标的权重系数。

3.检验判断矩阵的一致性
检验判断矩阵的一致性是指需要确定权重的指标较多时，矩阵内的初始权数可能出现相互矛盾的情况，对于阶数较高的判断矩阵，难以直接判断其一致性，这时就需要进行一致性检验。

六、模型建立与求解
6.1各行业的影响率 6.1.1服务业 （1）访日人数
建立灰色预测模型，通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分预测模型，对事物
发展规律作出模糊性的长期描述。

通过数据查找得出2010年7月到2011年2月的访日人数如下：
表一：访日人数表
那么原始数列如下()()(){}(0)
(0)
(0)
(0)
1,2,,X X
X
X
n =
：
(0)
(0)
(0)(0)
(0)
(0)(0)
(0)(1)878582
(2)802725(3)717756(4)727278
(5)634818(6)648380(7)714099(8)679398X X X X X X X X ⎧=⎪=⎪⎪=⎪=⎪⎨=⎪
⎪=⎪=⎪⎪=⎩
① 灰色预测可行性判断 令一级比值为(0)
()i σ，(0)
(0)
(0)
(1)()()
X
i i X
i σ
-=
得出: 0()(1.09,1.12,0.98,1.15,0.97,0.91,1.05)i σ=
因为0
()[0.7788,1.2840]i σ∈，所以可以作灰色预测模型。

② 对原始数列进行一次累加
()()(1)
(0)
1
,1,2,,k
i X
i X
i i
n
===∑
表二：灰色预测表
③ 计算矩阵B Y 、
(1)
2(1)3(1)
4
(1)
51111z z B z z ⎛⎫
- ⎪- ⎪=
⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
(0)
2(0)3(0)4(0)
5x x Y x x ⎛
⎫ ⎪
⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
得出：
1249944.51204078512762702
134437501408534914766588.515463337
1B ---=---
802725717756727278
634818
648380714099679398
Y =
④ GM （1，,1）模型相应的微分方程为
1
1
d X a X
d t
μ
+=，求解微分方程，即可得预测模
型：(1)
(0)
1
[](0,1,2..5)a k
k X X
e
k a
a
μμ→
-+=-
⨯+
=。

设α
为待估参数向量，α=a μ⎛⎫
⎪⎝⎭
，可利
用最小二乘法求解。

解得：1
()
T T
n B B B Y α
-=。

⑤ 利用m atlab 编程求解，得出α，同时还原值：
(0)
(1)
(1)(1)(1)
(0)
1111
(1)()a a i
i i i i
X a
X X X e x e
a
μ→
→→→-+++==-=--
得出预测方程如下：
(0)
0.0240470.024047(1)
(1)31782935.416532661517.4165i
i X
i e
e
---+=-⨯+⨯
对2011年3、4月份的访日人数进行预测，如下表：
表三：访日人口预测值。