电路分析基础13二阶电路

1 Cp
i L?
iS
uS
Lp uL
G
?
?
? iL ?
1 Cp
uC Lp uL
?
?
i
i2
Lp
＋ R1＋ i1 R2
＋
us u1 1/C1p
u2
1/Cp
__
1/C2p _
§6.2 RLC串联电路
?一、二阶电路的零输入响应
? uR ? ? uC ?
?电路方程
LC
d 2uC dt 2
?
RC duC dt
?
t?0
LC
d 2uC dt 2
?
RC duC dt
? uC
? US
的经典解为：
u Czs ( t ) ? u C h ? u C p
其中 u CP 为方程特解，由于方程右端为常数，故其
特解ucp 可求得： u C p ? U S
代入 0-条件 可确定待定系数吗？
代入0+初始条件 ，即可确定 2个待定的系数。
uCzs (0 ? )
?
0,uCzs' (0? )
?
iL (0? ) C
?
0
零状态响应为（过阻尼）：
uCzs (t ) ? U S ? K1es1t ? K2es2t
t?0
全响应：
uC (t) ? uCzi (t) ? uCzs (t)
t?0
例3 RLC串联电路的全响应
电路如图所示，电路响应由电源和电路的原始储能
特征根关系 响应形式（齐次解 y）h 响应性质（名称）
s1 ? s2
不等负实根
s1 ? s2
相等负实根
A1es1t ? A2es2t
过阻尼
A1es t ? A 2tes t
临界阻尼
s1,2 ? ?? ? j? d
共轭复根
e? ? t (A1 cos? dt ? A 2 sin ? dt)
欠阻尼（衰减
由微分方程可得特征方程： LCs2 ? RCs ? 1 ? 0
特征根：
s ? s1, s ? s2
设uch 为方程的齐次解，则它的形式决定于方 程的特征根，也有四种形式，与零输入响应相同。
若特征根为两个不相等的实数，则零状态响应为：
uCzs (t ) ? U S ? K1e s1t ? K2e s2t
?
GL
d iL dt
?
iL
?
IS
iS
G
? iL ? C uC L uL
iL (0) ? I 0
?
?
iL ' (0)
?
u C (0) L
?
U0 L
特征根：
s1,2
?
?
G 2C
?
( G )2 ? 1 2C LC
2L LC
?
2
?
?
2 0
其中 R ? ? 为衰减系数，? 0 ?
2L
1 为固有振荡频
LC
率， ? ，? 0 都与电路参数有关。
这样在R、L、C为非负值时，有四种情况， 即零输入响应有四种情况。
?RLC串联电路的零输入响应：
参数关系
R?2 L C
R?2 L C
R? L C
R? 0
表1 二阶电路零输入响应形式
振荡）
s1,2 ? ? j? 0
共轭虚根
A1 cos? 0t ? A2 sin ? 0t 自由振荡
过阻尼 欠阻尼
临界阻尼 无阻尼
例1：如图 (a)的电路，已知 R ? 3 Ω ，L ? 1H ，C ? 0.5F
初始值 uC (0) ? 1V ，iL (0) ? 1A ，求 t ? 0 的 uC 、iL 和 u L
共同产生，求电容电压 。
i 1?
0.5H
?
S(t ? 0)
12V
?
5?
? 2F uC
?
uCzi (t) ? (10? 11t)e?t
t?0
uCzs (t) ? 12 ? (? 12 ? 12t)e?t
t?0
§6.3 GCL并联电路分析
是RLC 串联电路的对偶电路，二阶微分方程为：
LC
d 2iL dt 2
? uL ?
L iL
?
R
C uC
?
uC (t) ?
2
3 3
?
e
1 t
2
cos????
3t? 2
π 6
????V
t?0
iL(t) ?
iC (t) ?
C duC dt
?
2 3
?
e
Leabharlann Baidu1t 2
cos
? ???
3t? 2
π 2
? ???A
t?0
iL(t) A
1
0.8
uC (t) V
0.6
uC
0.4
0.2
0
2
4
§6.1 二阶电路微分方程的建立
S ? uR ? ? uC ?
?
t?0 R
C
i L?
iS
? iL ?
uS
L uL
G
C uC L uL
?
?
?
?
i
i2
＋ R1＋ i1 R2
＋
us u1 __
C1
C2
u2 _
§6.1 二阶电路微分方程的建立
算子符号可以方便建立微分方程
S ? uR ? ? uC ?
?
t?0 R
?
2e ? t
?
6e?2t (A)
t?0
t?0
iL (t) A uC (t)、uL (t) V
1.3
1
uC
0
tm1 1
2
? 0.34
tm2
34
ts
iL
?1
?2
uL
?3
?4
(b)
例2：RLC 串联电路如图 (a) 所示，已知 R ? 1 Ω L ? 1H , C ? 1F , 电容初始电压 uC (0) ? 1V ,电感初始 电流 iL (0) ? 0，求 t ? 0 时的 iL 和 uC 的零输入响应。
uC
?
0
R
C
i L?
L uL ?
uC (0) ? U0 iL (0) ? I0
默认0-
? 由储能导出两个初始条件
uC (0? )和
duC
? iC (0? ) ? iL (0? )
dt t? 0?
C
C
?特征方程： LCs2 ? RCs ? 1 ? 0
?固有频率（特征根）：
s1, 2
?
?
R 2L
?
( R )2 ? 1 ? ?? ?
6
8
10 t s
? 0.2
? 0.4
iL
0.6
二、RLC串联电路的零状态响应
换路后（ t>0) 电路如图，储能为零，电路响应仅 由电源引起 。
LC
d 2uC dt 2
?
RC
duC dt
?
uC
?
US
?
uC (0? ) ? 0
US
iL (0? ) ? 0
?
? uR ? R
? uC ?
C
i L?
L uL ?
第6章 高阶动态电路
§6.1 二阶电路的微分方程 §6.2 RLC并联电路的零输入响应 §6.3 RLC并联电路的全响应 §6.4 RLC串联电路 §6.5 一般二阶电路和高阶动态电路 §6.6 工程应用—电火花加工电路
本章要求
1、电路二阶微分方程的建立。 2、求特征根，并由此判断响应的四种形
式（无阻尼 临界阻尼 欠阻尼 过阻 尼）。 3、掌握二阶电路的零输入响应， 4、掌握二阶电路的零状态响应。
的零输入响应。
? uL ?
L iL
?
R
C uC
? uS ?
?
? uL ?
L iL
?
R
C uC
?
图 (a
图 (b)
uC (t ) ? 4e ? t ? 3e ?2t (V) t ? 0
iL (t) ?
iC (t) ?
C duC dt
?
? 2e ?t
? 3e? 2t (A)
uL (t)
?
L diL dt