小学奥数之几何五大模型精编版

、等积变换模型

⑴等底等高的两个三角形面积相等；

其它常见的面积相等的情况

⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如上图 S 1 :S 2 a:b

⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图 S △ACD = S △BCD ；

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；

⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

反之，如果 S

△ ACD

△

BCD

、鸟头定理（共角定理）模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角 （相等角或互补角 ）两夹边的乘积之比。 如图，在 △ABC 中， D,E

分别是 AB, AC 上的点 （如图 1）或D 在 BA 的延长线上， 图 2）

，则

S △ABC :S △ ADE （AB AC ）:（AD AE ）

三、蝴蝶定理模型

任意四边形中的比例关系 （ “蝴蝶定理 ”：）

① S 1 :S 2 S 4 :S 3 或者 S 1 S 3 S 2 S 4 ② AO :OC S 1 S 2 : S 4 S 3

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不 规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例 关系。

梯形中比例关系 （ “梯形蝴蝶定理 ”）

22

①

S 1 :S 3 a :b

22

②

S 1 :S 3 : S 2 :S 4 a :b :ab:ab ；

③梯形 S 的对应份数为 a b 2

。

E 在AC 上（如

图2

四、相似模型

相似三角形性质：

金字塔模型 沙漏模型

①

AD AE DE AF AB AC

BC AG

所谓的相似三角形， 就是形状相同， 大小不同的三角形 （只要其形状不改变， 不论大小怎样改变它 们都相似 ），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。 五、燕尾定理模型

② S

△ADE : S

△ ABC

22

AF 2 :AG 2

。

S △

ABG : S △

AGC S △

BGE : S △

EGC BE :EC S △

BGA : S △

BGC S △

AGF :

S △

FGC AF :FC S △AGC : S △BCG S △ADG : S △DGB AD :DB

典型例题精讲

例1一个长方形分成 4 个不同的三角形， 绿色三角形面积是长方形面积的

21 平方厘米。问：长方形的面积是 _________ 平方厘米。

0.15 倍，黄色三角形的面积是

例 2 如图，三角形田地中有两条小路 AE 和 CF ，交叉处为 D ，张大伯常走这两条小路， 他知道 DF ＝DC ， 且

AD ＝2DE 。则两块地 ACF 和 CFB 的面积比是 ____________ 。

举一反三图

拓展】如图，已知长方形 ADEF 的面积 16，三角形 ADB 的面积是 3，三角形 ACF 的面积是 4，那么三 角

形 ABC 的面积是多少？

拓展图

举一反三】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，

7，7，则阴影四边形的面积是多少？

三个三角形的面积分别是 3，

例 2

例3 如图，将三角形ABC 的AB边延长1倍到D，BC 边延长2倍到E，CA 边延长3倍到F。如果三角形ABC 的面积等于1，那么三角形DEF 的面积是 ________ 。

如图，在△ ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM 与AN相交于O，若△ AOM、△ ABO和△BON 的面积分别是3、2、1，则△ MNC 的面积是_________。

ABCD 中，EF＝16，F＝9，求AG 的长。

ABCD 是边长为12cm 的正方形，从G 到正方形顶点C、D 连成一个三角形，已知

这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形GDC 的面积是多少？

的面

积。

EFGH 的面积是66 平方米，EA＝AB，CB＝BF，DC＝CG，HD ＝DA，求四边形ABCD

例5图

例6 如右图长方形

铺垫】图中四边形

例7 如图，长方形ABCD 中，E为AD 中点，AF 与BE、BD 分别交于G、H ，已知AH＝5cm，HF＝3cm，求AG 。

例8 如右图，三角形ABC 中，BD∶DC ＝4∶9，CE∶EA＝4∶ 3，求AF∶ FB。

例8图

例9 如右图，△ ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD 与BG交于M，AF与BG 交于N，已知△ ABM 的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则△ ABC 的面积是多少平方厘米？

例9图

例10 如图，在正方形ABCD 中，E、F 分别在BC 与CD 上，且CE＝2BE，CF＝2DF，连接BF ，DE，相交于点G，过G 作MN，PQ 得到两个正方形MGQA 和正方形PCNG，设正方形MGQA 的面积为S1，正方形PCNG 的面积为S2，则S1：S2＝____________________________ 。