等价无穷小在求函数极限中的应用

等价无穷小在求函数极限中的应用
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(XX 学院XX 学院 山西XX )
摘要：等价无穷小替换是求函数极限的常用方法之一，本文讨论了等价无穷小在四则运算、变上限积分、幂指运算中的应用，并通过实例分析了等价无穷小求极限的优势及常见错误．
关键词：等价无穷小；替换；极限 1 引言
在微积分中极限处于十分重要的地位，极限求法众多，而等价无穷小替换是一类重要的方法．在求极限时，灵活运用等价无穷小，往往会使一些复杂的问题简单化．但现在的高等数学和数学分析教材中，只给出积、商运算中等价无穷小因子的替换规则，对四则运算、变上限积分及幂指运算等广泛使用的情况未能提及．本文作了一个比较系统和全面的总结及适当的拓展，并对等价无穷小求极限的优势和常见错误举例分析，以加深对等价无穷小性质的认识和理解． 2 等价无穷小的定义及性质
定义1 如果函数)(x f 当0x x →(或∞→x )时的极限为零，那么称函数)(x f 为当0x x →(或∞→x )时的无穷小．
定义2 设)(x f 与)(x g 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且
0)(≠x g ，如果1)
()
(lim
=x g x f ，就说)(x f 与)(x g 是等价无穷小，记作)(~)(x g x f ． 常用的等价无穷小：
当0→x 时，x x ~sin ，x x ~arcsin ，x x ~tan ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+，
x e x
~1-，22
1
~cos 1x x -，x n x n 1~1)1(1
-+．
关于等价无穷小，有三个重要性质：
性质1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为
)(ααβo +=．
性质2 设αα'~，ββ'~，且αβ''
lim
存在，则 αβαβ'
'=lim lim ． 性质3 βα~，)(~)(~a x a x →⇒→γαγβ． 3 等价无穷小在求函数极限中的应用 3.1 含四则运算的等价无穷小替换
定理2表明求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替．因此，如果用来代替的无穷小选得适当的话，可以使计算简化．
例1 求极限2
0sin )1()
cos 1(lim
x e x x x x --→．
解 当0→x 时，2
2
1~
cos 1x x -，x e x --~1，22~sin x x ，因此 20sin )1()cos 1(lim x e x x x x --→＝22
021lim x x x x x ⋅-⋅→＝2
1-． 例2 求极限)
cos 1cos(11lim
4
x x e x x ---→．
解 )cos 1cos(11
lim 4
x x e x x ---→＝42
121lim )cos 1(21lim
224
024
0=⋅=-→→x
x x x x x x x ． 注意0→x 时，424
1
~)cos 1(21~
)cos 1cos(1x x x x x ---．用到了性质3． 利用等价无穷小因子替换求极限，可以大大减少计算量，但利用等价无穷小
因子替换求极限应注意在求极限的乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，在加减运算中，等价无穷小的替换是有条件的．
关于加减运算能否用等价无穷小来替换求极限，很多教材上都没有涉及到，只是强调加减情况不能随意使用，这就会使人产生困惑，下面就加减项的等价无穷小替换作一些补充．
性质4 设αα'~，ββ'~，且C =α
β
lim ，若1≠C ，则βαβα'-'-~；若1-≠C ，则
βαβα'+'+~．
证明 若1≠C ，βββββαβ
αβββαβαβαβα'-'⋅''-='-'-='
-'-1
lim 1lim lim ，因为ββ'~，
所以1lim
='ββ，又由定理2，C =''
=α
βαβlim lim ，
所以111lim lim =--='-'-C C βαβα，即βαβα'-'-~．
同理，若1-≠C ，111lim 1
lim 1lim lim
=++='+'⋅''+='+'+='+'+C C βββββαβ
α
βββαβαβαβα，即βαβα'+'+~．
定理3说明，在求极限时，若某个因子是两个无穷小之差（或和）时，只要这两个无穷小不等价，这个因子就可以用相应的等价无穷小之差（或和）替换．
推论 设αα'~，ββ'~，γγ'~，μμ'~，且1lim
≠β
αb a ，1lim ≠μγ
d c ， a ，b ，c ，d 为常数，
则当μγβα'±''±'d c b a lim 存在时，有=±±μγβαd c b a lim μ
γβα'±''
±'d c b a lim ．
例3 求极限x
x
x x 3sin sin 2tan 3lim
0-→．
解 当0→x 时，x x ~tan ，x x ~sin ，12
3
23lim sin 2tan 3lim
00≠==→→x x x x x x ，所以
3
1323lim 3sin sin 2tan 3lim 00=-=-→→x x x x x x x x ． 例4 求极限2
22
203sin 2tan lim x x x x x +-→．
解 当0→x 时，2
2
2~2tan x x ，2
2
~sin x x ，122lim 2tan lim
22
02
20≠==→→x x x x x x ，1313lim 3sin lim 220220-≠==→→x x x x x x ，所以41
4lim 32lim 3sin 2tan lim 2202222022220==+-=+-→→→x
x x x x x x x x x x x x ． 例5 求极限x
x x x 220sin )
cos 1(sin lim --→．
解 因为当0→x 时，2
2
1~
cos 1x x -，22~sin x x ，22~sin x x ，且 12cos 1sin lim 20≠=-→x x x ，所以2121lim sin )cos 1(sin lim 222022
0=-=--→→x
x x x x x x x ． 注 当α与β等价，则未必有βαβα'-'-~．
以上三例说明了加减运算并不是绝对不能作等价无穷小替换，只要满足一定条件即可．
在很多题目中，往往需要综合运用等价无穷小、洛必达法则、重要极限和泰勒公式等相关知识才能达到简化运算的目的．
例12 求极限)1
1
1(lim 0--→x x e x ．
解 21
2lim 21lim 1lim )1(1lim )111(lim 002000==-=--=---=--→→→→→x x x e x x e e x x e e x x x x x x x x x x x ．
例13 求极限[]4
sin )sin(sin sin lim
x x x x x -→．
解 []4
0sin )sin(sin sin lim
x x x x x -→[]40)sin(sin sin lim x x x x x -=→
30)sin(sin sin lim x x x x -=→203cos )cos(sin cos lim x x x x x -=→2
03)
cos(sin 1lim
x x x -=→ 6
13sin 21lim 220==→x x
x ．
极限计算是《微积分理论》中的一个重要内容，等价无穷小量替换又是极限运算中的一个重要的方法，以其快捷、简便、适用性强等优点成为一类代表算法．利用等价无穷小量替换计算极限，主要是指在求解有关无穷小的极限问题时利用等价无穷小量的性质、定理施行的等价无穷小量替换的计算方法，通常与洛必达法则一起使用，目的是使解题步骤简化，减少运算错误．进行等价无穷小量代换的原则是整体代换或对其中的因子进行代换，而在加减运算中的替换是有条件的．
参考文献
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