第二讲因式分解应用知识讲解

无法按老人的意图把马分开。
把x4+4分解因式
“借马还马”的思想给我们 的启示：
x4+4 = x4+4x2+4-4x2 = (x2+2)2-4x2
= (x2+2x+2)(x2-2x+2)
练习
1. 若a=101,b=99,求a2-b2的值. 2. 若x=-3,求20x2-60x的值. 3. 1993-199能被200整除吗?还能被哪些整
解:(y-3)(y+5)+ (y-3)2 - (y-3)(2y+5) =15
(y-3)[(y+5)+( y-3) –( 2y-5)]=15 (y-3)(y+5+y-3–2y+5)=15 -3(y-3 ) =15 y-3 =-5 y=-2
2
题型三：多项式分解因式求字母值：
例1、关于x的多项式2x－11x＋m因式分解后有一 个 因式是x－3，试求m的值
解： 2x36x24x 2x(x2 3x2)
2x0
0
• 例7.已知 xy1，求 1x2xy1y2 的值。
解：
1x2xy1y2
21 ( x 2
2
xy
2
y
2)
2
22
1 (x y)2 2
1 12 2
1 2
题型二：利用分解因式解方程：
(y-3)(y+5)+ (3-y)2 - (y-3)(2y+5)=15
=π(R+2r)(R –2r) =π(7.5+2×1.25)(7.5 –2×1.25) =π×10×5=50π
例2.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm, 它们的面积相差960cm2.求这两个正方形的边长.
解:设正方形Ⅰ的边长为xcm,正方形Ⅱ的边长为y cm; 列方程得：4x2x4y2y99660 化简得：(xxyy)(2x4y)96
题型六：分解因式的实际应用
例1.如图，在一个半径为R的圆形钢板上，机械加工时 冲去半径为r的四个小圆． （1）用代数式表示剩余部分的面积； （2）用简便方法计算：当R=7.5，r=1.25时，剩余部分 的面积．
解：(1)S=πR2 –4πr2
(2)当R=7.5，r=1.25时，
S=πR2 –4πr2
解：2481
(2241)(2241) (2241)(2121)(2121)
反复利用平方差公 式进行分解因式， 分解过程中需注意 题目中的条件要求， 分解因式“适可而止”
(2241)(2121)(26 1)(26 1)
(2241)(2121)6563 答：这两个数分别为65和63。
例4. 对于任意自然数n,(n+7)2-(n-5)2 是否 能被24整除?
整理得：xx
y y
24 40
解得：xy
32 8
答：两个正方形的边长分别为32cm, 8cm.
从前有个牧民，辛苦一辈子所得的全部财产是17 匹马。临终前，他把三个儿子叫到身边留下遗嘱： “孩子们啊！我把17匹马留给你们，老大得1/2， 老二得1/3，老三得1/9，把马分完，但不许把马宰 了在分。”事后，三兄弟在一起商量了很久，始终
)(1312
)(1412
)
_
_
5
__8
_
_
_.__
_
你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法
吗？请你利用你找到的简便方法计算下式：
( 1 2 1 2 ) 1 ( 3 1 2 ) 1 ( 4 1 2 )1 . 9 . 1 2 ) . 1 ( 1 1 2 )0 1 . n . 1 2 ) .n. ( 2n1
数整除? 4. 求满足4x2－9y2=31的正整数解
5.把下列多项式分解因式
(1). xn-xny2
(2). a(x-y)-b(x-y)-c(y-x) (3). －x2－4y2＋4xy (4). 3ax2＋6axy＋3ay2 (5). 9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2
Hale Waihona Puke Baidu
6.利用分解因式计算： (1) 32005-32004 (2) 6.42-3.62 (3) 992+198+1
解：(n+7)2-(n-5)2 =[(n+7)+(n-5)][(n+7)-(n-5)] =12(2n+2) =24(n+1) 故能被24整除
题型五：利用分解因式找规律
例.计算下列各式：
3 (1)1 1 ___4_____;
22
2
(2)(1212)(1312) ____3 _____;
(3)
(1
1 22
=(10x)2-kxy+(7y) 所以k=±2×10×7=±140
题型四：利用分解因式说明多项式被数整除
例1.利用分解因式说明:257-512能被120整除.
提示：底数不同，且指数不全为偶数，若考虑使 用平方差公式则需要 转化底数。
解：257 512
527 512 (57 56 )(57 56 ) 56 6 56 4 120 511
例3、已知x2+mx+n =(x-1)(x+2),求m和n的值。
解: 因为已知式从左到右是分解因式, 所以上式从右到左是整式乘法, 由(x-1)(x+2)=x2+x-2, 知m=1,且n=-2. 所以m=1，且n=-2 。
例4.当k取何值时，100 x2-kxy+49y2是一 个完全平方式？
解: 100 x2-kxy+49y2
解：令原式＝（x－3）A。 当x＝3时，右边＝0， 把x＝3代入左式 应有2×3－11×3＋m＝0，故m＝15。
2
例2、已知关于x的二次三项式3x－2 mx＋n因 式分解的结果式（3x＋2）（x－1），试求m， n的值 。
解: 由3x2－mx＋n＝（3x＋2）（x－1） ＝3x2－x－2， 故m＝1，n＝－2。
例2.999３－999能被998整除吗？能被998和1000整 除吗？为什么？
解：∵999３－999=999（999２－1） =999×（999－1）
×(999+1)=999×998×1000 ∴999－999能被998整除，也能被
998３和1000整除
例3. 248-1可以被60和70之间某两个自然数 整除，求这两个数。
第二讲因式分解应用
4、已知：2x-3=0，求代数式x(x2-x)+x2(5-x)-9的值 解：原式=x3-x2+5x2-x3-9 =4x2-9 =(2x+3)(2x-3) 又∵ 2x-3=0, ∴ 原式=0
1、 若 100x2-kxy+49y2 是一个完全平方式, 则k=（±140 ）
• 例6.已知 x23x20，求 2x36x24x的值。