第二讲因式分解应用知识讲解
第二讲 因式分解(必上)
,常数项
c
分解成
c1c2
,把
a1
,
a2
,
c1
,
c2
写成
a1 a2
c1 ,这 c2
里按斜线交叉相乘,再相加,就得到 a1c2 a2c1 ,如果它正好等于 ax2 bx c 的一次项系数 b ,
那么 ax2 bx c 就可以分解成 (a1x c1 )(a2 x c2 ) ,其中 a1, c1 位于上一行, a2 , c2 位于下一行.
一、公式法(立方和、立方差公式)
在第一讲里,我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式:
(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 (立方和公式)
(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 (立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,就得到:
解:(1) 12x2 5x 2 (3x 2)(4x 1)
3 2
41
(2) 5x2 6xy 8y2 (x 2 y)(5x 4 y)
1 2 y
5 4 y
说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是 1 时较困难,具体分解时,
为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看是否符合一
x2 5x 24 [x (3)](x 8) (x 3)(x 8)
(2) 15 (5) 3, (5) 3 2
x2 2x 15 [x (5)](x 3) (x 5)(x 3)
说明:此例可以看出,常数项为负数时,应分解为两个异号的因数,其中绝对值较大的因数
(1) 8 x3
第一单元 第二讲 整式、因式分解++++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)
C.(a-3)(a+3)
D.a2(a-9)
( A)
2.(2024·广西中考)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为 ( D )
A.0
B.1
C.4
D.9
3.(2024·广元中考)分解因式:(a+1)2-4a=__________.
(a-1)2
21
考点4
整式的运算及乘法公式(一题多设问)
81
(7)化简:2b2+(a+b)(a-b)-(a-b)2=_________.
2ab
(8)一个长方形的面积是5xy+4y,宽为y,则长为__________.
5x+4
12
4.因式分解
几个整式的积
因式分解的概念 把一个多项式化成__________________的变形
提取公因
式法
如果一个多项式的各项含有____________,那么就可以把
±12
26
本课结束
C.-1
D.1
(2)若x-5y=7,则代数式3-2x+10y的值为_________.
-11
( C )
5
知识要点
2.整式及有关概念
6
对点练习
2.下列说法中,正确的是
2
A.
不是整式
4
3
B.的系数是-3,次数是3
2
C.3是单项式
D.多项式2x2y-xy是五次二项式
(C )
7
知识要点
3.整式的运算
D.(x3)2=x6
(3)化简-x(x-2)+4x的结果是 ( A )
A.-x2+6x
2022年广西桂林中考数学复习课件:第2讲 整式、因式分解
幂的运算 【示范题 2】(2021·北部湾中考)下列运算正确的是(A ) A.a2·a3=a5 B.(a2)3=a5 C.a6÷a2=a3 D.3a2-2a=a2
1.(2021·安徽中考)计算 x2·(-x)3 的结果是(D )
A.2 025 B.2 023 C.2 021 D.2 019
3.(2021·嘉兴中考)观察下列等式:1=12-02,3=22-12,5=32-22,…按此规 律,则第 n 个等式为 2n-1=__n_2_-__(_n_-__1_)_2__.
4.(2021·江西中考)如表在我国宋朝数学家杨辉 1261 年的著作《详解九章算法》 中提到过,因而人们把这个表叫做杨辉三角,请你根据杨辉三角的规律补全表第 四行空缺的数字是__3__.
(3)(2021·荆门中考)把多项式x3+2x2-3x因式分解,结果为___x_(_x_+__3_)(_x_-__1_)__.
3.(1)(2021·十堰中考)已知xy=2,x-3y=3,则2x3y-12x2y2+18xy3=__3_6____.
(2)(2021·苏州中考)若m+2n=1,则3m2+6mn+6n的值为__3____.
3.(2021·金华中考)已知 x=16 ,求(3x-1)2+(1+3x)(1-3x)的值. 【解析】(3x-1)2+(1+3x)(1-3x) =9x2-6x+1+1-9x2=-6x+2, 当 x=61 时,原式=-6×16 +2=-1+2=1.
考点四 因式分解 【示范题4】(1)(2021·贺州中考)多项式2x3-4x2+2x因式分解为(A ) A.2x(x-1)2 B.2x(x+1)2 C.x(2x-1)2 D.x(2x+1)2 (2)①(2021·衡阳中考)因式分解:3a2-9ab=___3_a_(a_-__3_b_)___. ②(2021·北部湾中考)分解因式:a2-4b2=__ _(a_+__2_b_)_(a_-__2_b_)___. ③(2021·陕西中考)分解因式:x3+6x2+9x=__x_(_x_+__3_)_2 __.
2020初中数学竞赛辅导(初2)第02讲因式分解
第二讲因式分解(二)1.双十字相乘法分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式.例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数,于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),可以看作是关于x的二次三项式.对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1).再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)]=(x+2y-3)(2x-11y+1).上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得到下图:它表示的是下面三个关系式:(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2;(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3;(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3.这就是所谓的双十字相乘法.用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是:(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列);(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx.例1 分解因式:(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2;(2)x2-y2+5x+3y+4;(3)xy+y2+x-y-2;(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2.解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1).(2)原式=(x+y+1)(x-y+4).(3)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解.原式=(y+1)(x+y-2).(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).说明 (4)中有三个字母,解法仍与前面的类似.2.求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号表示,如f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0;f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12.若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根.定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a.根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根.定理2的根,则必有p是a0的约数,q是a n的约数.特别地,当a0=1时,整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数.我们根据上述定理,用求多项式的根来确定多项式的一次因式,从而对多项式进行因式分解.例2 分解因式:x3-4x2+6x-4.分析这是一个整系数一元多项式,原式若有整数根,必是-4的约数,逐个检验-4的约数:±1,±2,±4,只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0,即x=2是原式的一个根,所以根据定理1,原式必有因式x-2.解法 1 用分组分解法,使每组都有因式(x-2).原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2).解法 2 用多项式除法,将原式除以(x-2),所以原式=(x-2)(x2-2x+2).说明在上述解法中,特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数,反之不成立,即-4的约数不一定是多项式的根.因此,必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证.例3 分解因式:9x4-3x3+7x2-3x-2.分析因为9的约数有±1,±3,±9;-2的约数有±1,±为:所以,原式有因式9x2-3x-2.解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根,可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式,如上题中的因式可以化为9x2-3x-2,这样可以简化分解过程.总之,对一元高次多项式f(x),如果能找到一个一次因式(x-a),那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式,这样,我们就可以继续对g(x)进行分解了.3.待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用很广泛,这里介绍它在因式分解中的应用.在因式分解时,一些多项式经过分析,可以断定它能分解成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待定字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待定系数法.例4 分解因式:x2+3xy+2y2+4x+5y+3.分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式,应用待定系数法即可求出m 和n,使问题得到解决.解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,比较两边对应项的系数,则有解之得m=3,n=1.所以原式=(x+2y+3)(x+y+1).说明本题也可用双十字相乘法,请同学们自己解一下.例5 分解因式:x4-2x3-27x2-44x+7.分析本题所给的是一元整系数多项式,根据前面讲过的求根法,若原式有有理根,则只可能是±1,±7(7的约数),经检验,它们都不是原式的根,所以,在有理数集内,原式没有一次因式.如果原式能分解,只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式.解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,所以有由bd=7,先考虑b=1,d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7).说明由于因式分解的唯一性,所以对b=-1,d=-7等可以不加以考虑.本题如果b=1,d=7代入方程组后,无法确定a,c的值,就必须将bd=7的其他解代入方程组,直到求出待定系数为止.本题没有一次因式,因而无法运用求根法分解因式.但利用待定系数法,使我们找到了二次因式.由此可见,待定系数法在因式分解中也有用武之地.练习二1.用双十字相乘法分解因式:(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3;(2)x2-xy+2x+y-3;(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2.2.用求根法分解因式:(1)x3+x2-10x-6;(2)x4+3x3-3x2-12x-4;(3)4x4+4x3-9x2-x+2.3.用待定系数法分解因式:(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20;(2)x4+5x3+15x-9.。
初一数学提优讲义--第二讲 因式分解——拆项与添项
第二讲:因式分解——拆项与添项法一.基础梳理考点一:因式分解的有关概念1.把一个多项式________________________,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.2.因式分解和整式乘法的过程__________.3.一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式.4.如果一个多项式的各项含有公因式,那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式提出公因式后的式子放在括号里,作为另一个因式.这种分解因式的方法叫做提取公因式法.5.提取的公因式应是各项系数的最大公因数(系数都是整数时)与各项都含有的相同字母的最低次幂的积.6.逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.平方差公式:a²+b²=(a+b)(a-b)(2) 完全平方公式:a²±2ab+b²=(a±b)².7.利用平方差公式分解因式的条件:(1)多项式是两项式(或可以看成两项式);(2)每一项(除符号外)都是平方的形式;(3)两项系数异号.8.利用完全平方公式分解因式的条件:(1)多项式是二次三项式;(2)其中的两项是两个整式的平方和;(3)另外还有一项是这两个整式乘积的2倍.9.因式分解的注意事项:(1)先提公因式,首项为负时提取负号;(2)分解到不能再分解为止;(3)每个因式化成最简;10.分组分解法:利用分组来分解因式的方法.二.复习巩固类型一:简便运算(1)517.8×143.2+5178×(-4.32)(2)类型二:利用因式分解求值(1)若a+b=6,a³+b³=72,求a²+b²的值.(2)已知x≠y,且x³-x=7,y³-y=7,求x²+xy+y²的值.类型三:分组分解法分解因式(1)x³-xyz+x²y-x²z (2)4a²-4-4ab+b²(3)4x³-8x²y-xy²+2y³(4)a³+b³+(a+b)³(5)x²-4xy+4y²-6x+12y+9(6)三、拓展提高——拆项与添项法1.把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和,叫做拆项.2. 在代数式中添加两个相反项,叫做添项.3. 因式分解与整式乘法是互逆变形,拆项添项与合并同类项为互逆变形. 例1.分解因式:x +x³-3x²-4x-4例2.分解因式:x²-2(a+b)x-ab(a-2)(b+2)例3.分解因式:2x -15x³+38x²-39x+14例4.分解因式:x +x+1练习:分解因式(1)x +x³+4x²+3x+3 (2) x +x+1 (3) 6x +7x³-36x²-7x+6三.收获总结·。
《公式法》因式分解PPT课件(第2课时)
B. + −
C. − +
D. − + +
D
)
课堂检测
基础巩固题
3.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
A . 11
B. 9
C. -11
)
B
D. -9
4.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
±8
课堂检测
∴++=(+) =112=121.
连接中考
(2020•眉山)已知 + = − − ,则 −
. 4
的值为
解析:由 +
得
+
= − − ,
− + + = ,
即 − + + + + = ,
∵ − = , = ,
∴原式=2.
巩固练习
变式训练
已知-+-+=,求++的值.
解:∵x2-4x+y2-10y+29=0,
∴(-)+(-)=.
∵(-) ≥ ,(-) ≥ ,
∴-=,-=,∴=,=,
是.
巩固练习
变式训练
将前面例题的(2)(3)(4)变为完全平方式?
(2) + ²;
+ ² + ;
(3) + − ;
+ + ;
(4) + + .
+ + .
探究新知
知识点 2
用完全平方公式因式分解
初中复习方略数学第二讲 整式、因式分解
第二讲整式、因式分解列代数式及求代数式的值1.代数式:用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的__字母__连接起来的式子,叫做代数式.2.求代数式的值:用__数__代替字母,并按照运算关系求出结果.代数式求值的两种方法1.直接代入法:把已知字母的值代入代数式,并按原来的顺序计算求值.2.整体代入法:观察已知条件和所求代数式的关系,将所求代数式变形后与已知代数式成倍分关系,把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值.整式的相关概念1.52的次数是2.(×)2.x3y2的系数是0,次数是5.(×)3.多项式3x2y-m2的次数是5.(×)1.同类项与系数无关,与字母的排列顺序无关.2.所有常数项都是同类项.3.只有同类项才能合并,如x2与x3不能合并.整式的运算1.整式的加减2.幂的运算3.整式的乘法4.整式的除法单项式除以单项式把系数、同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式中含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式 先用多项式的每一项分别除以这个单项式,再把所得的商相加5.整式混合运算的顺序先算__乘方__,再算__乘除__,最后算__加减__,同级运算按照从左到右的顺序计算.遇到幂的乘方时,需要注意:(1)当括号内有“-”号时,(-a m )n =⎩⎪⎨⎪⎧-a mn (n 为奇数)a mn (n 为偶数); (2)当含有系数时,一定也要给系数进行乘方运算.1.3a(5a -2b)=15a -6ab.(×)2.(1+x)(-1+x)=x 2-1.(√)3.(-3a -2)(3a -2)=9a 2-4.(×)1.6m÷3m=2m.(×)2.(6a 2b -4a 2c)÷(-2a 2)=-3b +2c.(√)3.(2a 3-a 2)÷(-a)2=2a -1.(√)因式分解的定义1.因式分解的定义:把一个多项式化成几个__整式__的乘积的形式,叫做把这个多项式因式分解.2.基本方法:(1)提公因式法:ma+mb+mc=__m(a+b+c)__.(2)公式法:a2-b2=(a+b)(a-b),a2±2ab+b2=(a±b)2.3.因式分解的步骤:(1)因式分解一定要分解到每个因式都不能再分解为止;(2)有数字因式时,不要忘记提取;(3)结果必须是乘积的形式.考点一列代数式及其求值【典例1】(2021·自贡中考)已知x2-3x-12=0,则代数式-3x2+9x+5的值是(B)A.31 B.-31C.41 D.-41【思路点拨】由已知可得:x2-3x=12,将代数式适当变形,利用整体代入的思想进行运算即可得出结论.【例题变式】(变换条件)(2020·连云港中考)按照如图所示的计算程序,若x=2,则输出的结果是__-26__.【思路点拨】把x=2代入程序中计算,当其值小于0时将所得结果输出即可.1.(2021·温州中考)某地居民生活用水收费标准:每月用水量不超过17立方米,每立方米a元;超过部分每立方米(a+1.2)元.该地区某用户上月用水量为20立方米,则应缴水费为(D)A.20a元 B.(20a+24)元C.(17a+3.6)元 D.(20a+3.6)元2.(2021·金华中考)某超市出售一商品,有如下四种在原标价基础上调价的方案,其中调价后售价最低的是(B)A.先打九五折,再打九五折B.先提价50%,再打六折C.先提价30%,再降价30% D.先提价25%,再降价25% 3.(2021·台州中考)已知(a+b)2=49,a2+b2=25,则ab=(C)A.24 B.48 C.12 D.2 6考点二整式的相关概念【典例2】(2021·青海中考)已知单项式2a4b-2m+7与3a2m b n+2是同类项,则m+n=__3__.【思路点拨】根据同类项的定义,列方程求解即可.1.单项式是表示省略了乘法符号的乘法运算.2.多项式是单项式之间的加减运算.1.(2020·日照中考)单项式-3ab的系数是(B)A.3 B.-3 C.3a D.-3a2.(2021·上海中考)下列单项式中,a2b3的同类项是(B)A.a3b2 B.3a2b3 C.a2b D.ab33.(2020·滨州中考)若8x m y与6x3y n的和是单项式,则(m+n)3的平方根为(D)A.4 B.8 C.±4 D.±84.(2020·绵阳中考)若多项式xy|m-n|+(n-2)x2y2+1是关于x,y的三次多项式,则mn=__0或8__.考点三整式的运算【典例3】(2021·自贡中考)下列运算正确的是(B)A.5a2-4a2=1 B.(-a2b3)2=a4b6C.a9÷a3=a3 D.(a-2b)2=a2-4b2【思路点拨】按照合并同类项的运算方法、整数指数幂的运算法则、完全平方公式逐个验证即可.【例题变式】(变化问法)(2021·北京中考)已知a2+2b2-1=0,求代数式(a-b)2+b(2a+b)的值.【思路点拨】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式运算法则化简,进而把已知代入得出答案.【自主解答】原式=a2-2ab+b2+2ab+b2=a2+2b2,∵a2+2b2-1=0,∴a 2+2b 2=1,∴原式=1.1.幂的运算要注意区分幂的乘方和同底数幂的乘法.2.单项式的乘法是利用交换律和结合律转化为幂的运算.3.多项式的乘法是利用分配律转化为单项式的乘法.4.整式的除法与乘法互为逆运算.5.乘法公式中的字母可以表示数,也可以表示单项式或多项式.1.(2021·连云港中考)下列运算正确的是(D)A .3a +2b =5abB .5a 2-2b 2=3C .7a +a =7a 2D .(x -1)2=x 2+1-2x2.(2021·遂宁中考)若|a -2|+a +b =0,则a b=__14 __. 3.(2021·重庆中考A 卷)计算:(x -y)2+x(x +2y).【解析】(x -y)2+x(x +2y)=x 2-2xy +y 2+x 2+2xy =2x 2+y 2.4.(2021·长沙中考)先化简,再求值:(x -3)2+(x +3)(x -3)+2x(2-x),其中x =-12. 【解析】原式=x 2-6x +9+x 2-9+4x -2x 2=-2x , 当x =-12时, 原式=-2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12 =1. 考点四 因式分解【典例4】(2021·恩施中考)分解因式:a -ax 2=__a(1+x)(1-x)__.【思路点拨】直接提取公因式,再利用公式法分解因式.公因式的确定1.系数:取各项系数的最大公约数;2.字母:取各项相同的字母;3.指数:取各相同字母的最低次数.1.(2021·杭州中考)因式分解1-4y2=(A)A.(1-2y)(1+2y) B.(2-y)(2+y)C.(1-2y)(2+y) D.(2-y)(1+2y)2.(2021·盐城中考)分解因式:a2+2a+1=__(a+1)2__.3.(2021·北京中考)分解因式:5x2-5y2=__5(x+y)(x-y)__.4.(2020·内江中考)我们知道,任意一个正整数x都可以进行这样的分解:x=m×n(m,n是正整数,且m≤n),在x的所有这种分解中,如果m,n两因数之差的绝对值最小,我们就称m×n是x的最佳分解.并规定:f(x)=mn .例如:18可以分解成1×18,2×9或3×6,因为18-1>9-2>6-3,所以3×6是18的最佳分解,所以f(18)=36=12.(1)填空:f(6)=________;f(9)=________.(2)一个两位正整数t(t=10a+b,1≤a≤b≤9,a,b为正整数),交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54,求出所有符合条件的两位正整数;并求f(t)的最大值.(3)填空:①f(22×3×5×7)=________;②f(23×3×5×7)=________;③f(24×3×5×7)=________;④f(25×3×5×7)=________.【解析】(1)6可分解成1×6,2×3,∵6-1>3-2,∴2×3是6的最佳分解,∴f(6)=23 .9可分解成1×9,3×3,∵9-1>3-3,∴3×3是9的最佳分解,∴f(9)=33 =1.答案:23 1(2)设交换t 的个位上数与十位上的数得到的新数为t′,则t′=10b +a , 根据题意,得t′-t =(10b +a)-(10a +b)=9(b -a)=54, ∴b =a +6.∵1≤a≤b≤9,a ,b 为正整数,∴满足条件的t 为:17,28,39;∵f(17)=117 ,f(28)=47 ,f(39)=313 ,∵47 >313 >117 ,∴f(t)的最大值为47 .(3)①∵22×3×5×7的最佳分解为20×21,∴f(22×3×5×7)=2021 .答案:2021 ②∵23×3×5×7的最佳分解为28×30, ∴f(23×3×5×7)=2830 =1415 . 答案:1415③∵24×3×5×7的最佳分解是40×42,∴f(24×3×5×7)=4042 =2021 . 答案:2021④∵25×3×5×7的最佳分解是56×60,∴f(25×3×5×7)=5660 =1415. 答案:1415人教版七年级上册 P112 T4先化简,再求值:(2x +3y)2-(2x +y)(2x -y),其中x =13 ,y =-12 . 【思路点拨】利用平方差公式,以及完全平方公式化简,去括号合并得到最简结果,把x 与y 的值代入计算即可求出值.【自主解答】原式=4x 2+12xy +9y 2-4x 2+y 2=10y 2+12xy ,当x =13 ,y =-12,原式=0.5.(变换条件)(2021·南充中考)先化简,再求值:(2x+1)(2x-1)-(2x-3)2,其中x=-1.【解析】原式=4x2-1-(4x2-12x+9)=4x2-1-4x2+12x-9=12x-10. ∵x=-1,∴12x-10=12×(-1)-10=-22.(变换条件与问法)(2020·邵阳中考)已知:|m-1|+n+2 =0,(1)求m,n的值;(2)先化简,再求值:m(m-3n)+(m+2n)2-4n2.【解析】(1)根据非负性得:m-1=0且n+2=0,解得:m=1,n=-2.(2)原式=m2-3mn+m2+4mn+4n2-4n2=2m2+mn,当m=1,n=-2,原式=2×1+1×(-2)=0.人教版七年级上册P120 T10观察下列式子:2×4+1=9=32;6×8+1=49=72;14×16+1=225=152;…你得出了什么结论?你能证明这个结论吗?【思路点拨】式子可以整理为:(22-2)×21+1+1=(22-1)2;(23-2)×22+1+1=(23-1)2;(24-2)×23+1+1=(24-1)2;…得到第n个式子的结论即可.【自主解答】(2n+1-2)·2n+1+1=(2n+1-1)2.证明:(2n +1-2)·2n +1+1=22n +2-2n +2+1=(2n +1)2-2×2n +1+1=(2n +1-1)2.(变换条件)(2020·青海中考)观察下列各式的规律:①1×3-22=3-4=-1;②2×4-32=8-9=-1;③3×5-42=15-16=-1.请按以上规律写出第4个算式__4×6-52=24-25=-1__.用含有字母的式子表示第n 个算式为__n(n +2)-(n +1)2=-1__.(变换条件与问法)(2021·眉山中考)观察下列等式:x 1=1+112+122 =32 =1+11×2 ; x 2=1+122+132 =76 =1+12×3 ; x 3=1+132+142 =1312 =1+13×4 ; …根据以上规律,计算x 1+x 2+x 3+…+x 2 020-2 021=__-12 021 __.。
第二讲、代数式—整式与因式分解复习讲义
一、知识点归纳 ★整式部分 (1)代数式的分类⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧无理式分式多项式单项式整式有理式代数式 (2)概念:①代数式: 用______把数与表示数的字母连接而成的式子叫___________.注:单独一个_____或一个_____也是代数式.②代数式的值: 用_____代替代数式的字母计算后所得的_____,叫代数式的________. ③整式: 分母中不含有________的_______式叫整式. ④同类项:条件是 _______________,_____________________.⑤单项式:是数与字母的______.注:★不含_____运算,★★单独的一个_____或____也是单项式.⑥多项式:是几个单项式的______. (3)运算:整式的加减:(实质是去括号,合并同类项)①合并同类项:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母及字母的指数不变; ②去括号法则:括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里面各项都不变;括号前面是“-”号,把括号和它前面的“-”号去掉,括号里各项都变号.③添括号法则:括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变;括号前面是“-”号,括到括号里的各项都变号. 整式的乘除:①单项式相乘:把它们的系数、相同字母分别相乘;对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.②单项式与多项式相乘:就是根据分配律用单项式乘以多项式的每一项,在把所得的积相加.mc mb ma c b a m ++=++)(.③多项式与多项式相乘:方法★bn bm an am n m b a +++=++))((方法★★乘法公式(用于多项式乘法的简便运算) 平方差公式:__________))((=-+b a b a ;完全平方公式:___________)(2=+b a ;___________)(2=-b a .④单项式相除:把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的因式.⑤多项式除以单项式:先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加. ⑥幂的运算性质(m 、n 为正整数)____=⋅n m a a ; ____=÷n m a a (0≠a ); _____)(=n m a ;____)(=n ab .10=a )0(≠a ,)0(1≠=-a aa n n . ★分解因式部分:(1)概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种式子变形叫做把这个多项式因式分解. (2)常用分解因式方法: ①提取公因式法:_____________=++mc mb ma .其分解步骤为:★确定多项式的公因式:公因式=各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积;★★将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式. ②运用公式法:__________22=-b a ;__________222=+±b ab a .注意:★如果多项式中各项含有公因式,应该先提取公因式,再考虑运用公式法;★★公式中的字母,即可以表示一个数,也可以表示一个单项式或者一个多项式. ③分组分解法.多项式四项及以上的考虑用这种方法.(3)分解因式的一般步骤:一提二套三分组,二次三项想十字. 注:必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (4)整式乘法与分解因式的区别和联系:互为逆变形 .多项式整式的积因式分解方法 1. 提取公因式法:例:将2x 3n -20x 2n y 3+50x n y 6分解因式. 解:原式=2x n (x 2n -10x n y 3+25y 6) =2x n (x n -5y 3)2 2. 公式法:a 2-b 2=(a -b )(a +b ) a 2±2ab +b 2=(a ±b )2 a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b )2 a 3-b 3=(a -b )(a 2+ab +b 2)例:64x 6-y 12解:原式=(8x 3+y 6)(8x 3-y 6)=(2x +y 2)(4x 2-2xy 2+y 4)(2x -y 2)(4x 2+2xy 2+y 4) 3. 分组分解法:例:(am +bn )2+(an -bm )2+c 2m 2+c 2n 2解:原式=a 2m 2+b 2n 2+2abmn +a 2n 2+b 2m 2-2abmn +c 2m 2+c 2n 2=a 2m 2+b 2n 2+a 2n 2+b 2m 2+c 2(m 2+n 2) =(m 2+n 2)(a 2+b 2+c 2) 4.十字相乘法:例:12x 2+10xy -12x +5y -9 解:原式=12x 2+(10y -12)x +5y -9 2x 16x 5y -9∴ 原式=(2x +1)(6x +5y -9) 5.配方法:例:将x 4+y 4+z 4-2x 2y 2-2x 2z 2-2y 2z 2分解因式。
2024--2025学年初升高数学衔接课+++第二讲-因式分解
的两个实数根是x1、x2 ,则二次三项式ax2 bx c(a 0)
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【典例例题】 题型一:十字相乘法
例1分解因式 x2 2x 8 x__4__x__2 .
例2分解因式mx2 6mx 5m m__(x___1_)_(_x___5_)_.
练习1.分解因式 x2 xy 6 y2 _x__2_y___x___3_y__.
x 12 x2 2x 1
(2)原式
3a
b2
9
2
36b2
3ab2 9 6bb2 9 6b
3a b 32 b 32
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之积,即ax2 bx c a1x c1a2x c2 .
要点诠释:(1)分解思路为“看两端,凑中间”
a (2)二次项系数 一般都化为正数,如果是负数,则提出负号,分解括号里
返
面的二次三项式,最后结果不要忘记把提出的负号添上.
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知识点3:提取公因式法与分组分解法
1、提取公因式法:如果多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提到 括号外面,把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形,这种因式分解的方法 叫做提公因式法。
,则 p、q同号(若c 0 ,则 p、q异号),然后依据一次项系数b的正负再确定p、q
的符号;
(2)若x2 bx c 中的b,c为整数时,要先将c分解成两个整数的积(要考虑到分解
的各种可能),然后看这两个整数之和能否等于b,直到凑对为止.
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知识点2:首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式ax2 bx c ( a ≠0)中,如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积,
【挑战】
(2)请用分组分解法将ax a2 2ab bx b2 因式分解;
因式分解法(第2课时)课件
05
2. 交叉相乘,将得到的
步骤
02
04 两个积相加,若等于一
次项系数,则分解成功;
典型例题解析
例1
分解因式 $x^2 + 5x + 6$
分析
将常数项6分解成1和6的乘积,将二次项系数1分解成1和1 的乘积,交叉相乘后得到1×6+1×1=7,不等于一次项系数 5,因此分解失败。
正确解法
将常数项6分解成2和3的乘积,将二次项系数1分解成1和1 的乘积,交叉相乘后得到1×3+1×2=5,等于一次项系数5, 因此分解成功。所以 $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$。
练习题2
分解因式 $5a^2b^2 + 10ab + 5$。
练习题1答案
$4x^2y^2(2x + 3y)$。
练习题2答案
$5(a^2b^2 + 2ab + 1) = 5(ab + 1)^2$。
04 分组分解法
分组原则与技巧
分组原则:将多项式按照一定的规则分 成几组,使每组内的项能提取公因式或 应用公式法进行分解。
因式分解法(第2课时)课件
contents
目录
• 引言 • 因式分解法基本概念 • 提取公因式法 • 分组分解法 • 十字相乘法 • 综合应用与拓展
01 引言
回顾上节课内容
因式分解法的基本概念 提取公因式法
公式法(平方差公式、完全平方公式)
引入本节课主题
01
分组分解法
02
十字相乘法
03
拆项、添项法
答案
$x(x - y)(y - x + y) = x(x - y)(2y - x)$
2020年四川省成都地区中考数学第一部分系统复习第二讲因式分解(共37张PPT)
四位数等均可以用此记法,如a__ b__ c__ =100a+10b+c.
【基础训练】
(1)解方程填空:
______ ______
2
①若2x+x3=45,则 x=____;
4 ————
————
②若 7 y - y 8 =26,则 y=____;
7 ③若—t9—3—+5——t8—=13t1,则 t=____;
课堂精讲
因式分解的应用 例 7 如图 1,有足够多的边长为 a 的小正方形(A 类)、长为 a,宽为 b 的长方形(B 类)以及边长为 b 的大正方形(C 类),发现利用图 1 中的三种 材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式.比如图 2 可以解释为: (a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.
课堂精讲
(1)取图1中的若干个(三种图形都要取到)拼 成一个长方形,使其面积为(2a+b)(a+2b),在 如图4虚线框中画出图形,并根据图形回答(2a+ b)(a+2b)=____________________; (2)若取其中的若干个(三种图形都要取到)拼 成一个长方形,使其面积为a2+5ab+6b2. ①你画的图中需C类材料________张; ② 可 将 多 项 式 a2 + 5ab + 6b2 分 解 因 式 为 ____________________;
【分析】首先把 a2-b2-b 化成(a+b)(a-b)-b,然后把 a-b=12代入,求出算 式的值是多少即可.
【答案】14
课堂精讲
例5 四边形的四边顺次为a,b,c,d,且满 足a2+b2+c2+d2=2(ab+cd),则这个四边形一 定是( )
A.对角线互相垂直的四边形 B.两组对角分别相等的四边形 C.平行四边形 D.对角线长相等的四边形 【分析】首先把a2+b2+c2+d2=2(ab+cd)变形
线性代数下02最大公因式与因式分解
f(x)与 g(x) 互素.
定理2 设 f(x), g(x)∈F[x],则 (f(x), g(x)) = 1 ⇐⇒ ∃u(x), v(x)∈F[x],s.t. u(x)f (x)+v(x)g(x) = 1. 证明思路:“⇒”由定理1即得 “⇐”若d(x)|f(x),d(x)|g(x), 则d(x)|1 ⇒ d(x)=1.
多项式的最大公因式 & 因式分解
1
上讲复习
1、代数基本系统简介
群(Group):集合+运算+4个条件(凤姐咬你) 环(Ring):集合+2运算(凤姐咬你脚、凤姐) 域(Field):集合+2运算(凤姐咬你双脚) 数域:包含 的域 (最小ℚ ,最大 )
2、多项式环F[x]: F上全体多项式对加法和乘法构成环
多项式的最大公因式 & 因式分解
一、多项式的最大公因式 二、互素多项式 三、唯一分解定理 四、 [x]中的因式分解 五、 [x]中的因式分解
4
一、多项式的最大公因式
问题: 中的最大公因子如何定义? 公因子+最大 这个概念是否可移植到多项式环F[x]中? 何谓最大? 定义1 (最大公因式) 设f(x), g(x)∈F[x],若∃d(x)∈F[x],s.t. (1) d(x) | f(x), 且 d(x) | g(x); (2) ∀h(x)∈F[x], h(x) | f(x), h(x) | g(x) =⇒ h(x) | d(x), 则称 d(x)是 f(x)与g(x)的最大公因式 (the Greatest Common Divisor). 并记 d(x)=gcd(f(x),g(x))=(f(x),g(x)) 注记:与 类似,条件(1)+(2 ⟺ 公因子+最大; 但这样定义的GCD不唯一! GCD( f , g ) d1 | d d q1d1 d q1qd deg( q1q ) 0 d d1 d | d1 d1 qd 约定:GCD为首一多项式(首项系数为1)——从而GCD唯一! 5
初高中数学衔接:第2讲+因式分解
第2讲 因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外,还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等.在第一节里,我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式:2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式);2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,就得到:3322()()a b a b a ab b +=+-+;3322()()a b a b a ab b -=-++【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式: (1) 38x +(2)30.12527b -解:(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+ (2)333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++说明:(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时,经常要逆用幂的运算法则,如3338(2)a b ab =,这里逆用了法则()n n n ab a b =;(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时,一定要看准因式中各项的符号.【例2】分解因式:(1) 34381a b b - (2) 76a ab -分析:(1) 中应先提取公因式再进一步分解;(2) 中提取公因式后,括号内出现66a b -,可看着是3232()()a b -或2323()()a b -.解:(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++.(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a ab a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+2.2提取公因式法与分组分解法【例3】把22x y ax ay -++分解因式.分析:把第一、二项为一组,这两项虽然没有公因式,但可以运用平方差公式分解因式,其中一个因式是x y +;把第三、四项作为另一组,在提出公因式a 后,另一个因式也是x y +.解:22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+ 【例4】分解因式:(1)()()255ab a b -+-; (2)32933x x x +++.解:(1)()()255a b a b -+-=(5)(1)a b a --;(2)32933x x x +++32(3)(39)x x x =+++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++.【例5】分解因式: (1)32933x x x +++;(2)222456x xy y x y +--+-.解:(1)32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++.或32933x x x +++=32(331)8x x x ++++=3(1)8x ++=33(1)2x ++=22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+=2(3)(3)x x ++. (2)222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-.或 222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +---- =(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-.【例6】把2222428x xy y z ++-分解因式.分析:先将系数2提出后,得到22224x xy y z ++-,其中前三项作为一组,它是一个完全平方式,再和第四项形成平方差形式,可继续分解因式. 解:22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-练习:1.多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是__________. 2.()()()∙-=-+-y x x y n y x m _____. 3.()()()∙-=-+-222y x x y n y x m ____.4.()()()∙--=-++--z y x x z y n z y x m _________. 5.()()∙--=++---z y x z y x z y x m ______. 6.2105ax ay by bx -+-=_________________ 7.2222()()ab c d a b cd ---【答案】1.2xy ;2.()m n -;3.()m n +;4.()m n -;5.(1)m -.6.21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=-- 7.22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+2222()()abc a cd b cd abd =-+-()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+2.3 十字相乘法2.3.1 形如2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:(1) 二次项系数是1;(2) 常数项是两个数之积;(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和.22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此,2()()()x p q x pq x p x q +++=++,运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式. 我们也可以用一个图表示,此方法叫做十字相乘法. 【例7】把下列各式因式分解:(1)x 2-3x +2; (2)x 2+4x -12; (3)22()x a b xy aby -++; (4)1xy x y -+-.解:(1)如图1.1-1,将二次项x 2分解成图中的两个x 的积,再将常数项2分解成-p qx x1与-2的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为-3x ,就是x 2-3x +2中的一次项,所以,有x 2-3x +2=(x -1)(x -2).说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1中的两个x 用1来表示(如图2所示).(2)由图3,得x 2+4x -12=(x -2)(x +6).(3)由图4,得 22()x a b xy aby -++=()()x ay x by -- (4)1xy x y -+-=xy +(x -y )-1=(x -1) (y+1) (如图5). 练习:把下列各式因式分解(1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ (3) 2524x x +- (4) 2215x x -- 解:(1)6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-,∴276[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x -+=+-+-=--.(2) 3649,4913=⨯+=,∴21336(4)(9)x x x x ++=++.(3)24(3)8,(3)85-=-⨯-+=,∴2 524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x +-=+-+=-+.(4)15(5)3,(5)32-=-⨯-+=-,∴2215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x --=+-+=-+. 【例8】把下列各式因式分解:(1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++分析:(1) 把226x xy y +-看成x 的二次三项式,这时常数项是26y -,一次项系数是y ,把26y -分解成3y 与2y -的积,而3(2)y y y +-=,正好是一次项系数;(2) 由换元思想,只要把2x x +整体看作一个字母a ,可不必写出,只当作分解二次三项式2812a a -+.解:(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-.-1 -2x x图1-1 -21 1图2-2 61 1图3-ay -byx x图4-1 1x y图5(2)22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-.2.3.2 形如一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解我们知道,2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++. 反过来,就得到:2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现,二次项系数a 分解成12a a ,常数项c 分解成12c c ,把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到1221a c a c +,如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ,那么2ax bxc ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++,其中11,a c 位于上一行,22,a c 位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,也叫做十字相乘法.【例9】把下列各式因式分解:(1) 21252x x --(2) 22568x xy y +-解:(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+3241-⨯(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-1 254y y -⨯说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难,具体分解时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看是否符合一次项系数,否则用加法”凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号. 2.4 配方法【例10】把下列关于x 的二次多项式分解因式:(1)221x x +-; (2)2244x xy y +-.解: (1)令221x x +-=0,则解得11x =-21x =--,∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤-----⎣⎦⎣⎦=(11x x +-++.(2)令2244x xy y +-=0,则解得1(2x y =-+,1(2x y =--,∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++.【练习】分解因式2616x x +-解:222222616233316(3)5x x x x x +-=+⨯⨯+--=+-(35)(35)(8)(2)x x x x =+++-=+-说明:这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法,配方后将二次三项式化为两个平方式,然后用平方差公式分解.当然,本题还有其它方法,请大家试验. 2.5 拆、添项法【例11】分解因式3234x x -+分析:此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式,分组也不易进行.细查式中无一次项,如果它能分解成几个因式的积,那么进行乘法运算时,必是把一次项系数合并为0了,可考虑通过添项或拆项解决.解: 323234(1)(33)x x x x -+=+-- 22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-说明:本解法把原常数4拆成1与3的和,将多项式分成两组,满足系数对应成比例,造成可以用公式法及提取公因式的条件.本题还可以将23x -拆成224x x -,将多项式分成两组32()x x +和244x -+.1.把下列各式分解因式: (1) 327a +(2) 38m -(3) 3278x -+(4) 3311864p q --(5) 3318125x y -(6)3331121627x y c + 2.把下列各式分解因式:(1) 34xy x +(2) 33n n xx y +-(3) 2323()a m n a b +-(4) 2232(2)y x x y -+3.把下列各式分解因式: (1) 232x x -+ (2) 23736x x ++(3)21126x x +-(4) 2627x x --(5) 2245m mn n --(6) 2()11()28a b a b -+-+4.把下列各式分解因式: (1) 5431016ax ax ax -+ (2) 2126n n n a a b a b +++- (3) 22(2)9x x -- (4) 42718x x --(5) 2673x x --(6) 2282615x xy y +-(7) 27()5()2a b a b +-+-(8) 22(67)25x x --5.把下列各式分解因式: (1) 233ax ay xy y -+-(2) 328421x x x +-- (3) 251526x x xy y -+-(4) 224202536a ab b -+- (5) 22414xy x y +-- (6) 432224a b a b a b ab +-- (7) 66321x y x --+(8) 2(1)()x x y xy x +-+参考答案1.222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++222222211211(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216p q p pq q xy x y xy xy c x y xyc c -+-+-+++-+2.2222()(),()(),nx x y y xy x x x y x xy y +-+-++22222432()[()()],(1)(4321)a m n b m n b m n b y x x x x x +-++++--+++3.(2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)x x x x x x x x --+++--+(9)(3),(5)(),(4)(7)x x m n m n a b a b -+-+-+-+4.322(2)(8),(3)(2),(3)(1)(23),(3)(3)(2)nax x x a a b a b x x x x x x x --+--+-+-++2(23)(31),(2)(415),(772)(1),(21)(35)(675)x x x y x y a b a b x x x x -+-++++-+--+5.2()(3),(21)(21),(3)(52),(256)(256)x y a y x x x x y a b a b -++--+---+23333(12)(12),()(),(1)(1),()(1)x y x y ab a b a b x y x y x x y x y -++-+----+-++.。
第2讲 因式分解(2)
(2)9x2-y2-4y-4;
(3)a2+(b2-2b)a-b3+b2;
(4)(a+b)2(a-b)2-a4+b4.
【答案】(1)(a- b +x)(a― b ―x)(2)(3x+y+2)(3x-y-2)(3)(a-b)(a-b+b2)
2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(4)-2a2(a+b)(a-b)
c1c2=c,a1c2+a2c1=b.
2. 双字母型 双字母型与单字母型的分解方法是一样的,只是结构上的区别.
考点一 单字母型十字相乘法
例 1.分解因式. (1)x2+3x+2;
(2)x2+x-20;
(3)6x-27+x2;
(4)x2-2x-99.
【答案】(1)(x+1)(x+2)(2)(x+5)(x-4)(3)(x+9)(x-3)(4)(x-11)(x+9)
(2)4x2-xy-5y2;
(3)-9xy+2x2-5y2;
(4)a2b2-7ab3+10b4.
【答案】(1)(x-6y)(x-8y)(2)(x+y)(4x-5y) (3)(x-5y)(2x+y)(4)b2(a-2b)(a-5b)
分组分解法
1. 分组分解法 很多多项式都不能直接运用提公因式法或直接运用公式法分解,但是,进行分组后,
(2)x2-15x+36; (4)x2-5x-104.
【答案】(1)(x+2)(x+4)(2)(x-12)(x-3) (3)(x-12)(x+6)(4)(x-13)(x+8)
变 2.把下列各式因式分解. (1)-3x2-2-7x;
(3)3x2-2x-8;
(2)2x2-x-3; (4)-2m2-5m+12.
就可以运用这两种方法进行分解,使问题迎刃而解.常见的分组方式有“2+2”型,“3 +1”型,“3+2”型等.
2021年中考数学复习第2讲 整式与因式分解(教学课件)
对应训练
考点精讲
对对应应训训练练
14.(2020·宁波)分解因式:2a2-18= 2(a+3)(a-3) .
15.(2020·哈尔滨)把多项式m2n+6mn+9n分解因式的结果 是 n(m+3)2 .
精讲释疑
重重点点题题型型
题 型 一 整式的运算、化简求值 例1.(2020·宁波)计算:(a+1)2+a(2-a). 解:(a+1)2+a(2-a) =a2+2a+1+2a-a2 =4a+1;
差为l,若要知道l的值,只要测量图中哪条线段的长( D )
A.a B.b C.AD D.AB
【解析】图1中阴影部分的周长=2AD+2AB-2b,图2中阴影部 分的周长=2AD-2b+4AB,l=2AD-2b+4AB-(2AD+2AB -2b)=2AD-2b+4AB-2AD-2AB+2b=2AB.故若要知道l的 值,只要测量图中线段AB的长.
(6)(-12 ab2)2=
1 4
a2b4
.
学 无 止 境
本课结束
(1)从初始状态按2次后,分别求A,B两区显示的结果; (2)从初始状态按4次后,计算A,B两区代数式的和, 请判断这个和能为负数吗?说明理由.
重重点点题题型型
解:(1)A区显示的结果为:25+2a2, B区显示的结果为:-16-6a; (2)这个和不能为负数,理由:根据题意得, 25+4a2+(-16-12a) =25+4a2-16-12a =4a2-12a+9; ∵(2a-3)2≥0,∴这个和不能为负数.
重点题型
1.(2020·嘉兴)化简:(a+2)(a-2)-a(a+1). 解:原式=a2-4-a2-a =-4-a.
题题组组训训练练
重点题型
题题组组训训练练
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题型四:利用分解因式说明多项式被数整除
例1.利用分解因式说明:257-512能被120整除.
提示:底数不同,且指数不全为偶数,若考虑使 用平方差公式则需要 转化底数。
解:257 512
527 512 (57 56 )(57 56 ) 56 6 56 4 120 511
例2.9993-999能被998整除吗?能被998和1000整 除吗?为什么?
解:∵9993-999=999(9992-1) =999×(999-1)
×(999+1)=999×998×1000 ∴999-999能被998整除,也能被
9983和1000整除
例3. 248-1可以被60和70之间某两个自然数 整除,求这两个数。
题型六:分解因式的实际应用
例1.如图,在一个半径为R的圆形钢板上,机械加工时 冲去半径为r的四个小圆. (1)用代数式表示剩余部分的面积; (2)用简便方法计算:当R=7.5,r=1.25时,剩余部分 的面积.
解:(1)S=πR2 –4πr2
(2)当R=7.5,r=1.25时,
S=πR2 –4πr2
整理得:xx
y y
24 40
解得:xy
32 8
答:两个正方形的边长分别为32cm, 8cm.
从前有个牧民,辛苦一辈子所得的全部财产是17 匹马。临终前,他把三个儿子叫到身边留下遗嘱: “孩子们啊!我把17匹马留给你们,老大得1/2, 老二得1/3,老三得1/9,把马分完,但不许把马宰 了在分。”事后,三兄弟在一起商量了很久,始终
)(1312
)(1412
)
_
_
5
__8
_
_
_.__
_
你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法
吗?请你利用你找到的简便方法计算下式:
( 1 2 1 2 ) 1 ( 3 1 2 ) 1 ( 4 1 2 )1 . 9 . 1 2 ) . 1 ( 1 1 2 )0 1 . n . 1 2 ) .n. ( 2n1
=π(R+2r)(R –2r) =π(7.5+2×1.25)(7.5 –2×1.25) =π×10×5=50π
例2.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm, 它们的面积相差960cm2.求这两个正方形的边长.
解:设正方形Ⅰ的边长为xcm,正方形Ⅱ的边长为y cm; 列方程得:4x2x4y2y99660 化简得:(xxyy)(2x4y)96
解:(y-3)(y+5)+ (y-3)2 - (y-3)(2y+5) =15
(y-3)[(y+5)+( y-3) –( 2y-5)]=15 (y-3)(y+5+y-3–2y+5)=15 -3(y-3 ) =15 y-3 =-5 y=-2
2
题型三:多项式分解因式求字母值:
例1、关于x的多项式2x-11x+m因式分解后有一 个 因式是x-3,试求m的值
无法按老人的意图把马分开。
把x4+4分解因式
“借马还马”的思想给我们 的启示:
x4+4 = x4+4x2+4-4x2 = (x2+2)2-4x2
= (x2+2x+2)(x2-2x+2)
练习
1. 若a=101,b=99,求a2-b2的值. 2. 若x=-3,求20x2-60x的值. 3. 1993-199能被200整除吗?还能被哪些整
解:(n+7)2-(n-5)2 =[(n+7)+(n-5)][(n+7)-(n-5)] =12(2n+2) =24(n+1) 故能被24整除
题型五:利用分解因式找规律
例.计算下列各式:
3 (1)1 1 ___4_____;
22
2
(2)(1212)(1312) ____3 _____;
(3)
(1
1 22
例3、已知x2+mx+n =(x-1)(x+2),求m和n的值。
解: 因为已知式从左到右是分解因式, 所以上式从右到左是整式乘法, 由(x-1)(x+2)=x2+x-2, 知m=1,且n=-2. 所以m=1,且n=-2 。
例4.当k取何值时,100 x2-kxy+49y2是一 个完全平方式?
解: 100 x2-kxy+49y2
第二讲因式分解应用
4、已知:2x-3=0,求代数式x(x2-x)+x2(5-x)-9的值 解:原式=x3-x2+5x2-x3-9 =4x2-9 =(2x+3)(2x-3) 又∵ 2x-3=0, ∴ 原式=0
1、 若 100x2-kxy+49y2 是一个完全平方式, 则k=(±140 )
• 例6.已知 x23x20,求 2x36x24x的值。
解:2481
(2241)(2241) (2241)(2121)(2121)
反复利用平方差公 式进行分解因式, 分解过程中需注意 题目中的条件要求, 分解因式“适可而止”
(2241)(2121)(26 1)(26 1)
(2241)(2121)6563 答:这两个数分别为65和63。
例4. 对于任意自然数n,(n+7)2-(n-5)2 是否 能被24整除?
解: 2x36x24x 2x(x2 3x2)
2x0
0
• 例7.已知 xy1,求 1x2xy1y2 的值。
解:
1x2xy1y2
21 ( x 2
2
xy
2
y
2)
2
22
1 (x y)2 2
1 12 2
1 2
题型二:利用分解因式解方程:
(y-3)(y+5)+ (3-y)2 - (y-3)(2y+5)=15
解:令原式=(x-3)A。 当x=3时,右边=0, 把x=3代入左式 应有2×3-11×3+m=0,故m=15。
2
例2、已知关于x的二次三项式3x-2 mx+n因 式分解的结果式(3x+2)(x-1),试求m, n的值 。
解: 由3x2-mx+n=(3x+2)(x-1) =3x2-x-2, 故m=1,n=-2。
数整除? 4. 求满足4x2-9y2=31的正整数解
5.把下列多项式分解因式
(1). xn-xny2
(2). a(x-y)-b(x-y)-c(y-x) (3). -x2-4y2+4xy (4). 3ax2+6axy+3ay2 (5). 9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2
6.利用分解因式计算: (1) 32005-32004 (2) 6.42-3.62 (3) 992+198+1