谈解析几何中的数形结合
第四章 解析几何的产生与数形结合思想
具体说来，所谓数形结合思想，就是根据数与形之间的对 应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。 实现数形结合，常与以下内容有关： （1）实数与数轴上的点的对应关系； （2）函数与图象的对应关系； （3）曲线与方程的对应关系； （4 ）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复 数、三角函数等； （5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
第四章 解析几何的产生与数 形结合思想
在17世纪以前，代数和几何基本是分离的。代数主要研 究“数”，而几何主要研究“形”。第一个在代数和几何上架 起一座桥梁的人是法国的笛卡尔。
第一节 笛卡尔与解析几何的产生
一、笛卡尔生平
笛卡尔（1596-1605）生活在资产阶级与封建领主、 科学与神学进行激烈斗争的时代。从读书始便对僵化的说 教有强烈的怀疑批判精神，坚定不移地寻找真理。
从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代 数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念 密切联系了起来。
三、中学数学中的数形结合思想
数形结合的思想，是通过数形间的对应与互助来研究并解 决问题的思想，是最基本的数学思想之一。 它可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽 象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。 正如我国著名数学家华罗庚对数形结合思想的精辟论 述:“数以形而直观，形以数而入微”。
如果能巧妙运用数形结合的思想方法，很多问题特 别是一些抽象的数学问题，往往能迎刃而解，且解法简 捷，起到事半功倍的效果。数形结合的重点是研究“以 形助数”。
在中学数学中, 数形结合的思想方法应用范围较为广泛， 常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最 值问题中，在求复数和三角函数解题中等等。运用数形结思 想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推 理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其 优越。
数形结合思想在高中数学解析几何中的应用
数形结合思想在高中数学解析几何中的应用摘要：高中数学的解析几何部分是高中板块数学教学的重点和难点，所以，教师在教学中要对解析几何教学展开深入教研，采取一定的教学手段，教育和引导学生掌握一定的解析几何思维，才能让学生充分理解和掌握解析几何的知识点和解题思路。
数形结合思想是高中数学解析几何教学非常重要的数学思想方法，在数与形的对应转换中使抽象问题具体化、复杂问题简单化。
本文将对数形结合四线在高中数学解析几何中的应用。
关键词：数形结合；高中数学；解析几何；应用高中生学习数学的方式方法主要是在结合数字和形状来探究如何解答数学题，这种学习的方法可以让高中复杂的数学问题简易化且直观化，有利于高中生更加深入理解高中数学问题。
在将复杂问题简化过程中，学生可以进一步理解数学图形和数字之间的逻辑关系，在解决代数和图形问题时能够准确地找到解答方式，进而提高做数学题的效率。
一、关于数形结合思想及其在高中数学解析几何中的重要性分析数，意味着严谨；形，意味着直观。
数形结合是综合了数的严谨性、形的直观性，并以数、形的对应转换来解决数学问题，它通过“数”与“形”之间的灵活切换，借用直观的图形语言具象抽象的数学语言，或借用数学语言的数量关系解释图形的本质属性。
数形结合思想就像架起数、形的桥梁纽带，联结起数学的抽象思维和几何图形的形象思维，带领学生“以形助数”、或“以数解形”，从难以理解的抽象思维走向易感知、易理解的形象思维。
[1]高中数学解析几何，一直是高中数学教学的重要知识模块。
解析几何一般需要借助于直角坐标系，在直角坐标系中展现圆锥曲线在平面中的位置关系，运用代数运算手段，研究抛物线、双曲线、椭圆等圆锥曲线的定义、概念、性质以及其与直线的位置关系等。
[2]数学解析几何问题的解答，往往考察学生综合处理数学问题的能力，也检验学生的计算能力。
但如果学生具备一定的数形结合思维和能力，就能够在数与形的一一对应关系中发现数学的规律性和灵活性，并迅速找到解题的突破点和捷径，减少复杂的推理和计算环节，可大大减少解题的繁琐运算过程，有效节约答题时间。
数形结合思想在初中数学几何图形中的应用
数形结合思想在初中数学几何图形中的应用摘要】在目前的初中数学教学中，最主要的教学内容就是对数与形的研究。
通过以数解形或者是以形助数的学习思维来帮助学生更好地学习数学，同时以上教学思维还是初中数学教学中最为主要的。
由此可见，数形结合不仅是初中数学中非常重要的教学思维，同时也是帮助学生学习数学，培养学生探索数学的重要途径。
数学对于学生而言，是一门非常重要的学科，是一门贯穿学生整个教育生涯的学科。
但是由于初中阶段的数学学习难度增加，面对这种更加抽象化的数学学习，更多的学生表现出的都是束手无措。
学生对数学学习的兴趣降低，学生的数学学习能力也会相应的降低。
在这种状况下，在初中数学教学过程中适当的应用数形结合的思维可以更好地帮助学生解决数学困惑。
帮助学生培养一种成熟的数学解题思维。
在目前的初中数学教学中，应用数形结合思维最多的部分就是初中数学中解析几何。
在解决解析几何基本思路这一模块的问题时，教师经常就会运用到数形结合的思想。
可见，数形结合是一种常常应用于初中数学几何图形的学习思维。
在初中阶段几何图形的教学过程中，教师如果能够适当地融入数形结合的教学思维，那么学生所面对的很多问题都会迎刃而解。
本文主要研究了数形结合的学习思维在初中几何图形的学习中的应用。
通过对数形结合学习思维的详细分析提出了一系列的解决数学几何问题的方法策略，以期对初中数学几何教学有所提升。
【关键词】数形结合；初中数学；结合图形中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2020）10-021-01随着时间的不断推移，我国的素质教育进程也开始不断推进，越来越多的数学教师开始在数学教学过程中适当的数学思想渗入，尤其是对于初中数学教学而言，教师们开始借助数形结合的思想来将原本抽象复杂的数学知识变得更加地简单。
另外，学生也可以通过该思想学会用绘图的方式来解答数学疑惑。
除此之外，数形结合的思想不仅可以提升学生的数学解题能力，还可以有效锻炼学生的动手探索能力。
浅析解析几何中的数形结合意识
浅析解析几何中的数形结合意识解析几何是高中数学课程中的重要内容之一，也是高考的重要内容。
它体现了解析方法和代数方法在刻画平面曲线方面的强大作用，反映了数形结合的重要思想.然而笔者在高中数学教学过程中发现学生对解析几何中的数形结合意识的学习变成了经验主义。
这个问题以前见过，现在照猫画虎能解决；那个问题以前没有见过，就素手无策了。
在高中教学过程当中，笔者在解析几何教学中尝试将解析几何中对于数形结合思想的应用由旧有的经验教学转变为模式化的可操作的思维模式。
基于几道常见例题给出如下见解。
一、形与数的一一对应【例】1、动圆与圆外切，与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程。
【思考】利用两圆位置关系判定的条件找出点点满足的几何条件，结合圆锥曲线定义求解. 然而数形结合思想对于学生而言常常是只可意会不可言传的感性认知。
如何在教学过程中引导学生正确切入，寻找数形结合的方向成为教师教学的主要难点。
【解】设动圆的半径为，则由已知知又又因为，故而有双曲线的定义知的轨迹是以为焦点的双曲线右支。
而后由待定系数法求得的轨迹方程为。
【反思】本题采用数形结合沟通双曲线定义，确定求解轨迹方程的办法为待定系数法。
而值得思考的是数形结合的形式是将几何图形中圆的相切关系转化为具体代数式从而沟通双曲线的定义。
即用代数式描述几何特征，体现数与形的一一对应特征。
特殊图形位置一定对应着代数式上的特征。
比如直线与圆锥曲线位置关系中相离对应联立二次方程判别式小于零；相切对应判别式等于零；两交点相交判别式大于零；一交点相交二次项系数等于零。
二、图形与点坐标间的对应【例2】已知抛物线，动弦长为2，求弦中点到轴的最小距离。
如图：【分析】记要求得中点到轴的最距离实际为点的纵坐标最小值，即为梯形的中位线长度。
借助于抛物线的定义沟通为点到准线距离求解。
然而抛物线的定义在具体解题中的优势是什么呢？如何将图形中的几何信息转化为抛物线的定义式呢？【解】：设，中点。
抛物线的焦点，准线。
数形结合思想在解析几何中的一些应用
数形结合思想在解析几何中的一些应用曾婷 在高中数学的解析几何中，方程中总是存在多元二次方，如果用纯代数的方法进行解题的话，数据的复杂程度往往会让学生不能继续完成解答，如果是在解答填空选择题的情况下，花大量时间去求解且不一定能把答案解出来，是非常吃亏的。
因此，在解答解析几何题型时，培养数形结合思想尤为重要。
下面分析几类数形结合思想在实践中的一些应用。
一、动与定的分析。
在一些解析几何题型中，一般会出现一些类似求离心率的取值范围，像这些要求的答案是一个范围的话，那么此时数形结合时分析的“形”中一定要出现变化的量，即要得出一个不等式，比如线段在一定范围内变化；如果要求的是一个确定值，那么此时就找等量关系，列出一个等式，比如线段之间相等，在解析几何中，一些线段的长度可以用c b a ,,的式子表示，这样就会出现只有c b a ,,的一个等式，这个等式也是常用来求解析几何中的离心率e 的。
例1：已知椭圆()012222>>=+b a by a x 中，F 为右焦点，C 为准线与x 轴的交点，A 为椭圆上的点，AC 的中垂线过点F ，求椭圆离心率的取值范围。
分析：像这种题型，条件中没有具体的数据，且关键条件就只有AC 的中垂线过点F 这一个，考生一般会难以下手，或者就漫无目的地求中垂线方程，设点A 坐标，列方程组等，这样不仅是个大工程的运算，而且还是难以求出最终答案的。
往往越是复杂的题目，解答过程一般都是比较简单的，此时用数形结合去分析的话，解答过程就显得简单多了。
现在主要对中垂线进行分析，可以发现FC AF =，而FC 为一个定值，AF 是一个变化值，通过这个等式可以列出关于c b a ,,的不等式。
解：∵AC 的中垂线过点F ，∴FC AF =c ca FC -=2，∵A 在椭圆上运动且要使AC 的中垂线过点F ∴c a AF c a +≤<-，∴c a c ca c a +≤-<-2解不等式c a c ca c c a c a +≤--<-22和， c ca c a -<-2解得1<e c a c ca +≤-2得222c ac c a +≤-左右同除2a 得到0122≥-+e e ∴21≥e ，综上⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,21e 点评：数形结合思想主要培养学生对图像的分析处理能力，去寻找图像中的几何等量关系，比如角平分线上的点到两边的距离相等或者中垂线下的线段等量关系等等，然后根据几何等量关系转化为代数等式，这样就比传统代数解题快捷很多。
解析几何初步的数形结合(最新整理)
解析几何初步的数形结合一．关于数形结合数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。
”数形结合在数学研究中有着不可忽视的作用。
二．课题背景高中数学不少问题都涉及数形结合，数形结合是高中数学新课程中所渗透的重要思想方法之一。
阶级初步这部分内容能很好的培养和发展学生的数形结合思想，特别是覆盖范围极广！一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。
二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。
函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。
三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。
四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。
五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。
从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。
六、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。
用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。
七、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。
八、解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。
高中数学的数形结合思想方法_全(讲解+例题+巩固+测试)
数形结合的思想方法(1)---讲解篇一、知识要点概述数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。
因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
二、解题方法指导1．转换数与形的三条途径：①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。
②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。
③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。
解析几何题的解题法宝—数形结合
解析几何题的解题法宝—数形结合作者：衡飞来源：《中学课程辅导·教学研究》2017年第17期摘要：数形结合思想是中学到高等数学解题中极其重要的解题方法，数形结合思想是解决解析几何题的法宝，数学问题的解决中起着关键作用。
数形结合思想是提高学生分析问题、解决问题的能力，美国著名数学教育家波利亚说过：“掌握数学就意味着要善于解题。
”只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。
中、高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。
因此本文中我主要从2017年数学高考题第15题的三种解法入手，展示数形结合的主要解题方法与妙解。
关键词：数形结合；思想方法2017年全国高考数学卷（Ι）第15题15已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为.解法一：如图所示，作AP⊥MN，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则MN为双曲线的渐近线y=bax上的点，且A（a，0），|AM|=|AN|=b，而AP⊥MN，所以∠PAN=30°，点A（a，0）到直线y=bax的距离|AP|=|b|1+b2a2，在Rt△PAN中，cos∠PAN=|PA||NA|，代入计算得a2=3b2，即a=3b，由c2=a2+b2得c=2b，所以e=ca=2b3b=233.【考点】双曲线的简单几何性质双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc.以上是网上给的解析答案，笔者仍然利用数形结合的思想给出另外两种解法。
解法二：双曲线C：x2a2-y2b2=1 （a>0，b>0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。
利用数形结合解决解析几何
利用数形结合解决解析几何一、数形结合思想的概念：所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．二、高考地位：数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。
若要更好运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.三、用数形结合思想解决最值问题：例1 已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点A （3，1），则MF MA +的最小值为（ ）A.3B.4C.5D.6变式 已知M 为抛物线x y 42=上一动点，过M 作准线的垂线交准线于点D ，定点A （1，3），则MD MA +的最小值为（ ）A.3B.4C.5D.6例2 若P 为椭圆2212x y +=上的一动点，则点P 到直线0x y +-=的最大距离为（ ）B. C.变式 已知点P 为椭圆2212x y +=在第一象限部分的点，则x y +的最大值为______。
小结：用数形结合可以解决圆锥曲线的最值问题，但解题时需让图象动起来，直到找出最符合题目的一种图象为止。
四、三．用数形结合解决直线与圆锥曲线的交点问题例3 已知抛物线x y 42=，过定点(2,1)P - 的直线l ,斜率为k ，则k 为何值时，直线l 与抛物线有且只有一个公共点？变式3 已知抛物线x y 42=，定点P(0,2)，若过点P 的直线与抛物线有且只有一个交点，求该直线的方程。
小结：解决交点问题时需将图像转动或平移，观察图像交点情况进行转化，最后用代数解题。
提高：已知双曲线22194x y -=，斜率为k 的直线l 过定点(0,2)，求下列情况下的k 的取值范围；（1）与双曲线有且只有一个公共点；（2）与双曲线没有公共点；（3）与双曲线有两个公共点；五．课后作业1.已知A （4，0），B(2,2),M 是椭圆221259x y +=上的动点，则MB MA +的最大值为（ ）A.10B.6C.10+10- 2.已知A(1,4),P 为双曲线22194x y -=右支上的一动点，12F F 、为双曲线的左右焦点，则1PF PA +的最小值为_______。
数形结合在解析几何中的应用
O
x
2、 圆 x 2 + 2 x + y 2 + 4 y − 3 = 0 到直线 x + y + 1 = 0 的距离等于 2 的点共有 、 （ ）. (B)2 个 (C) 3 个 (D)4 个 （A）1 个 ） 分析】本题涉及到圆与直线的位置关系,为求点的个数 就要解方程组,有一 为求点的个数,就要解方程组 【分析】本题涉及到圆与直线的位置关系 为求点的个数 就要解方程组 有一 定的运算量,但是 题目只要求点的个数,而不要求点的坐标 所以可以不解出方程, 定的运算量 但是,题目只要求点的个数 而不要求点的坐标,所以可以不解出方程 但是 题目只要求点的个数 而不要求点的坐标 所以可以不解出方程 因此,可以借助于图形求解 可以借助于图形求解. 因此 可以借助于图形求解 画出圆 C : ( x + 1) + ( y + 2 ) = 2 2 ,
| 2a + 2b |
2
2、已知方程 x 2 − a − x + 3 = 0 ( a > 0 ) 有两个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围 、 有两个不相等的实数根， 的取值范围. 【分析】已知方程化为 x 2 − a = x − 3 . 分析】 的图象， 作函数 y = x 2 − a , y = x − 3 的图象， 已知方程 x 2 − a − x + 3 = 0 有两个实数根就是两个函数的图象有两个交点，由图可 有两个实数根就是两个函数的图象有两个交点， 由图可 才有可能。 知，只有 a > 3 ， 即 a > 9 时。才有可能。故实数 a 的取值范围是 a > 9 .
π (D) 0， 2
( x − 2) 2 + ( y − 2) 2 = (3 2) 2 ，
数形结合必考题型全梳理!(附例题)
高中数学：数形结合必考题型全梳理！（附例题）一、数形结合的三个原则一、等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．首先，由代数式、方程、不等式构造函数时一要注意变量(包括自变量和因变量)的取值范围。
二、双向性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，直观的几何说明不能代替严谨的代数推理.另一方面，仅用直观分析，有时反倒使问题变得复杂，比如在二次曲线中的最值问题，有时使用三角换元，反倒简单轻松.三、简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，确定好主元；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线(直线中含有参数)与定二次曲线．二、数形结合的应用一、利用数轴、韦恩图求集合利用数形结合的思想解决集合问题，常用的方法有数轴法、韦恩图法等。
当所给问题的数量关系比较复杂，不好找线索时，用韦恩图法能达到事半功倍的效果。
二、数形结合在解析几何中的应用解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的.构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：（一）与斜率有关的问题（二）与距离有关的问题三、数形结合在函数中的应用（一）利用数形结合解决与方程的根有关的问题【点拨】数形结合可用于解决方程的根的问题，准确合理地作出满足题意的图象是解决这类问题的前提.（二）利用数形结合解决函数的单调性问题（三）利用数形结合解决比较数值大小的问题（四）函数的最值问题（五）利用数形结合解决抽象函数问题四、运用数形结合思想解不等式（一）解不等式（二）求参数的取值范围五、运用数形结合思想解决三角函数问题时间，提高考试效率，起到事半功倍的效果.六、借助向量的图象解决几何问题利用向量可以解决线段相等，直线垂直，立体几何中空间角（异面直线的角、线面角、二面角）和空间距离（点线距、线线距、线面距、面面距），利用空间向量解决立体几何问题，将抽象的逻辑论证转化为代数计算，以数助形，大大降低了空间想象能力，是数形结合的深化。
解析几何中数形结合思想运用的三个途径
解析几何中数形结合思想运用的三个途径作者：文／张红红来源：《高中生·高考》2019年第02期解析几何的实质是通过建立坐标系，用代数方法研究几何问题.数形结合正是解决解析几何问题的一种重要的数学思想方法，主要分为两条思维可逆的主線：第一，将代数问题几何化，即以形助数，运用图形的几何性质来解决问题：第二，将几何问题代数化，运用代数特征进行运算来解决问题，即以数助形.当然，数与形并不是孤立的，常常在一道题中既有数向形转化，也有形向数转化，两者相得益彰.一、形向数转化——重在代数运算以数助形，突出问题的代数特征，通过合理简捷的运算来解决问题，思维量不大，但是对代数运算能力要求较高.这类题型体现了用代数方法研究解析几何问题，是最基本的题型.小结线段的长度和三角形的高是“形”，由两点间的距离公式和点到直线的距离公式得到的代数式是“数”，设出动点Q的坐标后，就可以将形转化为数，利用基本不等式得到定值，二、形与形互化——重组几何量突出问题的几何特征，通过几何量的重新组合，思维量较大，常常需要融入等量代换等化归思想.这类题型的理解层次较高.例2已知A（1，1）为椭圆内的一点，F，为椭网的左焦点，P为椭圆上的一动点，求PF1+PA的最大值和最小值.分析解这道题常有三种思路.思路1：设点P的坐标为（x0，y0），由F1（-2，0），A （1，1），将几何量PF1+PA表示成接下来求该式的最值时考生往往会陷入困境.思路2：由PF1+PA≥AF1，即三角形的两边之和大于第三边，当点P落在线段AF1上时等号成立，此时PF1+PA取得最小值.可是P为椭圆上的一动点，无法落在线段AF1上，所以常规思路受挫.思路3：PF1为焦半径，不妨通过椭圆的定义将其转化成2a-PF7，即6-PF2，则原式转化为PFi+PA =6+PA-PF2，再通过三角形的两边之差小于第三边来求解.解由题设可得a=3，6=5，c=2，左焦点F1的坐标为（-2，0），右焦点F2的坐标为（2，0）.。
数形结合在平面解析几何中的重要性
数形结合在平面解析几何中的重要性
在平面解析几何中，多项式通常用于解决许多相关问题。
多项式
可以用来表示函数，而这些函数又可以用来描述数学中的形状，因此
它们对于理解平面解析几何具有重要性。
多项式的一个重要性质是，它们可以描述出一个平面形状的特征。
例如，假设我们有一个多项式f(x)=ax^2+bx+c，它可以表示一个二次
曲线，其特征如系数a的非零值所示。
这些系数可以用来表示曲线的
凹凸性和形状，使曲线变得更加容易理解和描述。
另外，多项式在解决类似于高斯线和泰勒线计算问题时也发挥了
重要作用。
高斯线是指一组多项式及其导数值的集合，它与一个特殊
函数f(x)相关，使得所有的多项式函数在不同点上的值都相等。
这样
的多项式可以用来求解复杂的几何问题，而不需要考虑其他的约束条件。
此外，多项式也可有用在曲线积分方面。
曲线积分是一种求解某
一曲线下一定区间内函数值的积分算法。
曲线积分可以利用多项式函
数表示出一个特定形状，可以用来求解整个曲线积分问题。
可以看出，多项式在平面解析几何中具有十分重要的作用。
它们
能够描述出一幅图像的特征，使图像变得更加容易理解和描述；同时，它们也能有效地解决高斯线等复杂问题，以及曲线积分等问题。
因此，多项式在平面解析几何中扮演着重要的角色，是解决平面解析几何问
题的基础。
解析几何中的数学思想
教学实践2014-03解析几何的本质是用代数的方法研究几何问题，解几知识中，蕴含着深刻的数学思想，对解几本质的考查往往通过对其思想应用的考查得以体现。
首先是由解几本质特征所决定的函数与方程思想，数形结合思想，其次是研究几何问题常用到的化归与转化的思想方法，分类与整合的思想方法，一般与特殊的思想方法等。
一、数形结合思想解析几何的基本思想就是数形结合，因为数与形是数学中最古老、最基本的研究对象，在解题中要善于将数形结合的数学思想运用于对圆锥曲线和平面几何性质以及相互关系的研究，即通过“以形辅数”“以数解形”“数形结合”将抽象的数学问题与直观的几何图形相结合，从而达到优化解题的途径。
例1（2012年福建理19题）如图椭圆E ∶x2a2+y2b2（a >b >0）的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e =12，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8。
（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线l ∶y =kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x =4相交于点Q ，试探究在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由。
评析：本题是一道循规蹈矩的解析几何题，对于问题（2）在探求“数”与“形”之间的联系时，若发现只需判断∠PMQ 为直角即证明MP ，MQ 即可将问题化繁为简.然而，在平时如果能注意结合探究教学，不难得出如下结论：已知F 1（-c ，0）、F 2（c ，0）分别是椭圆C ∶x2a2+y 2b2=1（a >b >0）的左右焦点，点P （x 0，y 0）为椭圆上的一个动点，过点P 作椭圆的切线e 1与过右焦点F 2作与焦半径PF 2垂直的直线l 2交于点Q ，则点Q 的轨迹即为椭圆的左准线x =a2c，那么，由此进行必要的合情推理，是可以猜想出所求的点M 应该是右焦点，设为M （x 0，0），这样就大大减少了计算量。
例谈解析几何中的数形结合思想
数学模型SHUXUE MOXING•例谈解折几何中的数形结合思想◎张增乐（重庆文理学院数学与大数据学院，重庆402160）【摘要】解析几何是数学发展史上一个跨时代的发现，其出现在数学史上具有至关重要的意义，并蕴含丰富的数学思想•本文主要从了解解析几何的历史背景开始,探索解析几何的数形结合思想，主要探讨数形结合思想中几何问题代数化的思想、几何图形方程化的思想以及代数方程图形化的思想.剖析解析几何的数学思想有助于提升教师在解析几何教学方面的素养,提高解析几何的教学效果.【关键词】解析几何;数形结合;数学思想【基金项目】重庆市教委科学技术研究项目（KJQN201901312）；重庆文理学院2019年度校级教学改革一般项目（190214）一、弓I言解析几何是数学专业的一门必修基础课程，该课程通过建立标架，研究图形与方程间的关系，是对中学平面解析几何及立体几何课程的进一步扩展与延伸，同时，它也是微分几何等后续几何课程的基础•该课程与代数学、分析学息息相关，注重培养学生利用代数工具解决几何问题的能力，通过代数方程作出几何图形的能力，提升学生数形结合的思想数形结合思想是解析几何中的主要数学思想,其主要利用笛卡尔标架,建立数与形之间的内在联系•本文将对解 析几何的数形结合思想做一些探索，主要从几何学的历史背景与解析几何的数形转换思想（几何问题代数化思想、几何图形方程化思想与代数方程图形化思想）出发做一些探索，旨在提升教师的数学素养，提高教师的教学水平，同时激发学生对几何的学习兴趣、研究兴趣，启发学生自主探索学习二、主要内容（一）解析几何历史简介及历史意义我国科学家傅鹰曾说:“一种科学的历史是那门科学最宝贵的一部分•科学只给我们知识，而历史给我们智慧.”几何学拥有漫长的历史，内容更是丰富多彩•在课程学习前向 学生介绍几何学的历史，可以帮助学生形成完整的知识体系，激发学生的学习兴趣.在大约公元前300年,欧几里得编写了《几何原本》,这便意味着几何学的第一本著作诞生了.《几何原本》里的几何被称为欧氏几何，其包含了现今中小学的大部分几何知识，如三角形内角和为180。
解析几何中数形结合思想方法的挖掘与呈现探究
２０ 年 １ ０６ ２月
套２ ２券 第 ６１
思茅师范高等专科学校学报
Ｊｕ ａ ｏ Ｓ ａ Ｔ ａｈｒ’ ｏ ｅｅ ｏ ｒ ｌ ｉ ｏ ｃｅ Ｃ ｌ ｅ ｎ ｆ ｍ ｅ ｓ ｌ
几何学基础知识外， 对学生今后从事的中学数学 教育工作也具有指导作用。因此， 如何把解析几 何“ 教活” ？使学生通过学习这门课程掌握必要 的几何学知识， 更好地指导学生驾驭中学数学的 能力就成为了一个十分有意义的课题。国内同行 对解析几何中加强数学思想方法的教学研究较 多， 但这些研究大多只在理论上阐明了在解析几 何教学中加强数学思想方法的重要性和必要性等
Ｐ ＝ａ Ａ
婴 Ａ Ｔｋ ｉ ｉ Ｗ ０ ｑ ７ ｝ Ｒ Ｊ ｔ ． Ｉ Ｊ ＇ Ｒ Ｃ ｔ
那么 Ａ 二ｂ一 ａ， Ｃ＝ 一 ，Ａ二 ａ Ｂ Ｂ ｃ ｂＣ
二ａ＋ｃ
一 ｃ
＝ ，Ｃ二 ｂＰ ｃ
Ｐ ＝ｂ＋ Ｄ
而数形结合的基本思想是： 在研究问题的过 程中， 注意把数形结合起来考察， 斟酌问题的具体 情形， 把图形性质的问题转化为数量关系的问题， 或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题， 使复杂问题简单化、 形象化， 抽象问题具体化， 直 观问题深刻化， 从而使问题得到正确有效的解决。 因此， 数形结合的思想方法是解析几何的一个核 心思想方法， 是统领解析几何知识结构的一根主 要红线。我国著名数学家华罗庚先生曾对数形结 合思想做过深刻而透彻的阐述：数缺形时少直 “ 观， 形缺数时难入微” 。并风趣地教导人们， 千万 不要“ 得意忘形” 。实际上， 解析几何沟通了数学 内数与形， 代数与几何等最基本对象之间的联系， 几何的概念得以用代数方式表示， 几何目 标得以 用代数方法达到， 反之， 代数语言可得到几何解释 而变得直观、 易懂。可以这样说， 解析几何是数形 结合的典范。
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论 。下面将灌水乐园版块 的一 则精 华帖子 化 吧 。 摘录如下。 短 文…… ， 大家 围绕“ 请 发展 ” 的主题 畅所 欲言 、 己见， 各抒 注意 ： 本版以文宁帖为主。 版 主：ａｏ，ｉ ｘ６ ， ｃｒｌｋｒ ６ ６ 快乐无 限 ｋ
【 灌水乐 园 】 寓言典故 ， 趣闻轶事 ， 原创 展 吗 ？
２ １－ ２ ００ ０
同学发 言 ， 对一些有争议 的帖子 ， 学生讨 论 很针锋相对 ， 在争论僵持不下时 ， 我便站出 来进行调解 ， 再及时给予小结 回答 ， 引导学
３Ｂｅｃ ： 认 为 ， 动 难 道 不 也 是 发 的就很热烈 。在出现分歧时 ， ．ｌａｈ 我 运 同学们 的辩论
Ｄ ］
Ａ
当 且 仅 当
Ｏ： ＢＧ≥６ 。， 当 且 仅 当 ｓ Ｏ ：： Ｏ ｉ ｎ ＢＦ ≥
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即当 尸点的坐标为 （，） ， １２ 时 Ｊ ｌ ＋
ＩＦ１ Ｐ 的值最小 ， 最小值 为 ３ 。
ｆ ｆ显然 ， ， 当Ａ、 、 Ｐ Ｂ在一 条直线上 （ Ｐ 即
点移动到 点 ， 相应地 移动到 Ｄ点 ） ， 时
Ｉ ｌ蹦 Ｉ ＋Ｉ 的值最小 ，最小值 为 ２ （ １＝ 一 一 ）
３ 这时 Ｐ点 （ Ｍ 点 ） ； 即 的坐标为（ ， ） １２ 。
］一
．
曰
・
．
在椭圆上存在点 Ｐ ，使 ＬＦＰ ：１０ Ｉ ＝２。 Ｆ ≥１０ ２ 。， 当 且 仅 当
ｅ的取值范 围是［ —
，） １。
，
点评 ： 合图形 ， 结 用运动 变化 的观点提
点 评 ： 问题 是 距 离 之 和 最 小 的 问 题 ， 炼 出 本
点评 ： １本题用初等 函数 的方法很难 （） 腹 何 时最大是本题 的关键 之处 ， 解决 ，用数形结合法将双 曲线 的定 义与两
１ Ｉｌ ＋Ｐ ｌ Ｆ 的最小值，并求出相应的Ｐ 点
的坐标 。
解析 ： 根据抛物线 的定义 ， ｌ ｌ 等于 Ｐ
到抛物线准线 ￡ （ 其方程 为 一 １ ）的距离
Ｐ
．
１ ｌ如下图， ， 因此 ， Ｉ
ＩＩ Ｉ ＝船 ＋
一
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＼ Ｆ １ ０ ’
当点 Ｐ为 双曲线右支上 任意一 点时 ， 同理 可 证得 上 述 结 论 。
ｎ这就是说 ， 两圆圆心距 ｆＭ ｝ Ｏ 等于两圆 绝对的位置 。下而练 习解 析几何 中 的数形 Ｂ ， ：如下 图 ， 图上 不 难 看 出 ， Ｐ从 Ａ （ 从 当 按 ＋，
逆 时 针 ）向 Ａ。 动时 ， 移 经 历 了一 个
解析 ：设椭 圆的顶点分别为 Ａ 、 ：曰 、 。 、 Ａ
２ 由本题 得出一个统一的结论 ： 以双 例 ３ 双曲线 一； １ａ０６ ｏ 上一 解 。（ ） ： ｛ ＝ （＞ ，＞ ）
例２ ． 如果椭圆 ＋ １０ ６ ０上存 乓＝ （＞ ＞ ）
Ｄ一
７８ 一
Ｉ １ Ｏ ｝ Ｍ
（Ｆ ） ｝ ｌ ＩＩ ＝ ＰＩ 争
半径之和（ 或差 ）故两圆外切（ 内切 ） ， 或 。
， Ｌ ，
例１ ．设抛物线 ＝ 的焦点为 Ｆ Ｐ是 从小变大 ， 缸 ， 再从大变小的过程 ， 即当 Ｐ移动 抛物线 上的动 点 ， 又设 』 坐标 （ ， ）求 到 曰 点时 ， Ｐ ４点 ２２ ， 达到最大。
４阿宝 ： ， ． 错 运动都是发展吗？
５一只小 猪哼哼 ： ． 运动是 口 １以向前也可 生 自己得 出了结论 。这样 就达 到了对课 本
以向后 ， 而发展是 向前的。所以运动包含发 知识点 的消化和 吸收 的效果 。在学 生讨论
精 华 帖 ：． ｒｌ标 题 ： 尚的算命 ： 展 的 。 １ａ ： ｃｏ 时 打 开电脑 ， 鼠标轻轻一点 ， 的命运就 轻而易 你
七 电 七 七 七 七 七 七 七
作者单位 ： 安徽师范大学政法学院
七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 电 七
七 七 七 七 七 七 电 七 电 七 七 七 七 电 七 电 七 电 电 七 弋 电 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 电 七 七 七 七
而电脑算 命只是变了形式 ， 们的欢声笑语 中落下了帷幕。 举地显示在电脑荧屏上 了， 容易操作 ， 多先 旧事物的更替 ，
进啊！比较过去到小摊子上算命 ， 方便快捷 内容却没有改变。 准确多了 ！从过 去的算命到 电脑算命是 不
是 发展 呢 ？
７籽吱 ： ． 楼上的说得好 ， 我赞成 ， ！ 顶
一
周后 ， 我把 《 界是永恒 发展 的》 世 这 “ 我喜欢你这样的老师， 我为你感到骄傲。”
穷就—个字 ： 这种现象好像不是发展啊。 节课 安排在计算机教室进行 ，课 堂上 同学 我发现其实学生们喜欢的是这样 的互动教
２／ 草图 ： ＿、 Ｊ 你说得对 ， 是发展啊 ， 不 发展 们进 行了热烈 的交流 。由各版 主将本 版的 学方式 ， 喜欢的是 自主学习的快乐体验。 应该 是好 的运动 变化 吧 ，这只能称之 为变 精华 贴和人气帖公布。请这些帖子 的楼 主
发言后 ， 我将 我原来制作的课 件穿插 进去 ，
６快 乐 无 限 ： 是 发 展 ， 展 应 该 是 新 帮助学生梳理知识点 。一节 网络课 在学生 ． 不 发 同 学 们 对 以 这 样 的方 式 表 现 了极 大 的 热情 ，一位 同学 在 论 坛 上 给我 的 帖子 中说 ：
谈 解 析 几 何 中 的 数 形 结 合
冯小红 魏 小 娟
一
数形结合思想是把代数上 的 “ （ 在一 点 Ｐ 使 得 ＦＰ ２ １０ ， 数” 代 ， ＩＦ＝ ２ 。 其中 、 是
点 ， 根 据 双 曲 线 的 定 义 ，有
数式或变量之间 的数景关 系 ）与几何上 的 椭 圆的两个焦 点， 求该椭圆的离心率 ｅ的取 ｆ Ｆ ｆＩ ｆ＝ａ设 Ｐ Ｉ ２—啊 ２， Ｆ 的中点为 肘， ｌ Ｐ ｆ 则 “ （ 形” 曲线或 区域 ）结合起来认识 问题 、 值 范 围。 理 解 问题并解决问题 的思想 ，在 高考 中占着 结合。
如果把 距离之 和表示成 某变量 的 函数 ， 体现了数形结合之妙 。 然 后求其最小值 ， 将是很困难的。本解法巧妙
地利用抛物线的定义 ， 结合图形 ， 并 很直观
地 得 出 了结 论 。
矿
一
圆相切有机地结合在一起 ，问题将迎 刃而
曲线的一条焦半径为 直径 的圆必与以双曲 点 Ｐ Ｆ是一个焦点 ， Ｐ ， 以 Ｆ为直径 的圆与圆 线实轴为直径的圆相切 。 ！ 竹 的位置关 系？ 作者单 位 ： 山西省 长治 市平顺 县职业 解析 ：如下图 ， Ｐ为双曲线左支上任意 ： 中学